潘旦光，李冬晴

(北京科技大學(xué) 土木與資源工程學(xué)院,北京 100083)

箱梁彎曲變形時(shí)，由于翼板中剪力滯后的影響使截面的應(yīng)力分布不均勻，存在剪力滯效應(yīng).目前，剪力滯效應(yīng)常用的分析方法有協(xié)調(diào)函數(shù)法、比擬桿法、變分法、有限元解法等.其中，E Reissner[1]基于最小勢(shì)能原理的剪力滯效應(yīng)分析方法，由于計(jì)算簡(jiǎn)便且精度較高而得到廣泛應(yīng)用.Kuzmanovic等[2]在此基礎(chǔ)上分析了帶對(duì)稱伸臂的矩形箱梁的剪力滯.張士鐸等[3]用有限差分法對(duì)變截面懸臂梁的變系數(shù)剪力滯微分方程進(jìn)行分析，研究了負(fù)剪力滯規(guī)律.肖軍等[4]采用級(jí)數(shù)展開的方法構(gòu)造了剪力滯翹曲位移函數(shù)的解析解.雒敏等[5]提出了滿足全截面軸力平衡的附加軸向位移參數(shù)用于荷載作用下雙箱室簡(jiǎn)支箱梁剪力滯分布.何志剛等[6]研究了配筋對(duì)箱梁剪力滯效應(yīng)的影響.

除荷載外，凡能引起箱梁軸向應(yīng)力的作用都將引起剪力滯效應(yīng)，如慣性力作用[7]、溫度作用等.由于箱梁的豎向溫度分布是非線性的[8-10]，即使靜定結(jié)構(gòu)也會(huì)產(chǎn)生溫度自應(yīng)力.劉興法[11]基于平截面假定建立了內(nèi)力平衡的箱梁溫度自應(yīng)力簡(jiǎn)化分析方法，也是目前分析溫度自應(yīng)力的常用方法[12-14]，本文將這種方法簡(jiǎn)稱為平截面方法.事實(shí)上，在非線性溫度梯度作用下箱梁并不符合平截面假定，而存在剪力滯效應(yīng)，平截面方法無(wú)法考慮自應(yīng)力中的剪力滯效應(yīng).鄭日亮等[15-16]采用有限元方法研究了混凝土梁橋的溫度剪力滯效應(yīng).文獻(xiàn)[17]針對(duì)在非線性溫度作用下，上、下翼板可能呈現(xiàn)同凹同凸的情況，提出了考慮翼板厚度范圍內(nèi)應(yīng)力變化的雙參數(shù)位移函數(shù)，建立單箱單室懸臂梁的自應(yīng)力求解微分方程.但該方法在建立位移函數(shù)時(shí)，沒(méi)有考慮截面的軸力平衡.

本文在文獻(xiàn)[17]的基礎(chǔ)上，結(jié)合雒敏等[5]的研究成果建立了滿足截面軸力平衡的雙參數(shù)位移函數(shù)，基于最小勢(shì)能原理建立了箱梁溫度自應(yīng)力溫度剪力滯效應(yīng)的微分方程和邊界條件.對(duì)簡(jiǎn)支箱梁在非線性溫度作用下的自應(yīng)力進(jìn)行分析，討論了簡(jiǎn)支箱梁溫度自應(yīng)力的變化規(guī)律，可供類似工程的計(jì)算分析參考.

1 溫度剪力滯方程

簡(jiǎn)支箱梁在非線性溫度作用下上下翼板的軸向應(yīng)力和變形示意如圖1所示.其中坐標(biāo)原點(diǎn)位于端部截面形心點(diǎn).在討論其剪力滯效應(yīng)時(shí)，做出如下假設(shè)：1)僅考慮溫度沿z軸的分布，不考慮沿y軸及x軸的分布.2)忽略σy、σz對(duì)σx的影響.3)腹板仍符合平截面假定.4)簡(jiǎn)支梁的約束施加在梁端腹板中面上，x=0，z=0處加x和z方向約束，即ux=0,uz=0，x=l，z=0處僅施加z向約束，uz=0，其中l(wèi)為全橋長(zhǎng)度.

在應(yīng)用最小勢(shì)能原理分析箱梁的變形時(shí)，梁的豎向位移w(x)、上翼板軸向位移uu(x,y,z)和下翼板軸向位移ub(x,y,z)分別為

w=w(x),

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：u0(x)為截面形心點(diǎn)軸向位移，v(x)為剪切轉(zhuǎn)角的最大差值，b為箱室凈寬的一半，z為到截面形心的距離，nb為懸臂翼緣板寬度.D為滿足全截面軸力自平衡的附加軸向位移.β和η為描述剪切轉(zhuǎn)角最大差值方向與幅值的參數(shù).當(dāng)β=1，η=-1，且z分別取上下翼板中面到原點(diǎn)距離時(shí)，式(3)及(4)分別為荷載作用下的上下翼板位移函數(shù).而在非線性溫度梯度作用下，上下翼板出現(xiàn)剪力滯效應(yīng)的原因不同，溫度的影響和截面整體協(xié)調(diào)平衡的影響占比不同，導(dǎo)致v(x)的幅值和方向有較大差別.因此，引入β和η兩個(gè)參數(shù).

圖1 箱形簡(jiǎn)支梁溫度自應(yīng)力計(jì)算模型

Fig.1 Calculation model of self-equilibrating thermal stresses in box girder

全截面的剪力滯翹曲位移函數(shù)為

(5)

(6)

在溫度變化情況下，彈性體系的總勢(shì)能Π可表示為

Π=U+Ut.

(7)

式中:U表示體系溫度變形過(guò)程中所存儲(chǔ)的應(yīng)變能.Ut表示溫度變形勢(shì)能.在溫度作用下梁順橋向應(yīng)變的勢(shì)能為

(8)

式中：E為楊氏彈性模量，α為材料的熱膨脹系數(shù)，T(z)為溫度沿高度的分布函數(shù).ε為梁的軸向應(yīng)變.根據(jù)前述假定，可得梁腹板應(yīng)變?chǔ)舧、上翼板應(yīng)變?chǔ)舥和下翼板應(yīng)變?chǔ)舃分別為

(9)

(10)

(11)

對(duì)于對(duì)稱截面，根據(jù)對(duì)稱性，取一半進(jìn)行勢(shì)能計(jì)算.將式(9)～(11)代入U(xiǎn)t，得到不同部位的溫度變形勢(shì)能

(12)

(13)

(14)

在溫度作用下，梁發(fā)生軸向變形和彎曲變形，梁不同部位的應(yīng)變能分別為

腹板

(15)

上下翼板應(yīng)變能

(16)

(17)

(18)

(19)

將式(9)～(11)及式(18)、(19)代入式(16)、(17)中得到上下翼板應(yīng)變能，即

(20)

(21)

則桿件總勢(shì)能為

Π=Utw+Uw+Utu+Uu+Utb+Ub,

(22)

將式(22)求變分，由其一階變分等于零δΠ=0，可得非線性溫度梯度作用下箱梁的微分方程和邊界條件：

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

式(29)～(31)的形式與文[17]的雙參數(shù)相同，差別在于本文中的參數(shù)包括滿足全截面軸力自平衡的附加軸向位移值D.為描述方便，將文獻(xiàn)[17]的方法稱為雙參數(shù)法，本文方法稱為修正雙參數(shù)法.將式(29)進(jìn)行求導(dǎo)，代入式(30)可得

v″-k2v=0.

(32)

由此可得方程的通解為

v=c1coshkx+c2sinhkx.

(33)

對(duì)于簡(jiǎn)支梁，桿件的邊界條件可表示為

由此可得

(34)

對(duì)式(34)求導(dǎo)得

(35)

由此對(duì)式(27)和(29)積分可得

(36)

(37)

式中D1和D2為積分常數(shù)，根據(jù)邊界條件uw(0,±b,0)=u0(0)+Dv(0)=0；w′(0.5l)=0，可得

(38)

(39)

將式(34)、(36)、(37)代入式(3)和(4)即可求出上、下翼板的位移.則考慮剪力滯效應(yīng)后翼板的自應(yīng)力為

(40)

(41)

2 算 例

2.1 無(wú)懸臂翼板箱梁

以文獻(xiàn)[18]無(wú)懸臂翼緣板箱梁為例，即令圖1(a)中n=0得單箱單室簡(jiǎn)支箱梁，截面幾何參數(shù)和材料參數(shù)分別為b=3 m，tw=0.4 m，tu=tb=0.4 m，h=3.3 m，l=60 m，α=1×10-5/℃，E=35.5 GPa，G=15.2 GPa.假設(shè)箱梁的非線性溫度梯度分布如圖2所示.

圖2 豎向溫度分布

為驗(yàn)證本文方法的合理性，對(duì)該箱梁分別采用有限元方法、雙參數(shù)法、修正的雙參數(shù)法和平截面假定方法進(jìn)行計(jì)算.有限元模型如圖3所示，共有552 920個(gè)結(jié)點(diǎn)，441 600個(gè)面體單元.

圖3 有限元模型

圖4為x=57 m處上下翼板中面軸向應(yīng)力的計(jì)算結(jié)果.基于平截面假定計(jì)算的應(yīng)力在橫橋向y方向頂板分布為常數(shù)，而有限元計(jì)算結(jié)果與修正雙參數(shù)法計(jì)算結(jié)果均出現(xiàn)明顯剪力滯現(xiàn)象.并且根據(jù)β和η的取值不同，幅度有所變化.當(dāng)頂板的參數(shù)β與底板參數(shù)η的比值越大，頂板幅值越大，底板幅值越小.當(dāng)β=0.64、η=0.32時(shí)，修正雙參數(shù)法和有限元計(jì)算結(jié)果的變化規(guī)律吻合較好.本文其余討論皆在β=0.64、η=0.32的基礎(chǔ)上進(jìn)行.

圖5為順橋向x方向上翼板與腹板交角處的應(yīng)力分布.圖中包含了考慮D的修正雙參數(shù)法、不考慮D的雙參數(shù)法、有限元解以及平截面假定方法所得順橋向應(yīng)力.

圖4 上下翼板中面應(yīng)力(x=57 m)

Fig.4 Middle plane stresses of the top and bottom flanges(x=57 m)

圖5 上翼板與腹板交角處軸向應(yīng)力

計(jì)算結(jié)果表明：

1)在非線性溫度梯度作用下，有限元所得的同一高度軸向應(yīng)力不是常量，而忽略剪力滯的平截面假定計(jì)算結(jié)果為常量，這表明箱梁在非線性溫度作用下，將產(chǎn)生剪力滯效應(yīng).2) 修正雙參數(shù)法和雙參數(shù)法在簡(jiǎn)支梁跨中附近區(qū)域的計(jì)算結(jié)果基本相同，主要差別在于支座附近.以有限元的計(jì)算結(jié)果為精確解，修正雙參數(shù)法的應(yīng)力結(jié)果比雙參數(shù)法與有限元結(jié)果吻合更好，表明考慮D之后的位移函數(shù)與實(shí)際更為接近，從而提高了計(jì)算精度.3)由于剪力滯的影響，在簡(jiǎn)支梁的端部應(yīng)力大于平截面的計(jì)算結(jié)果，影響范圍為10 m左右，這表明對(duì)于簡(jiǎn)支梁而言，溫度自應(yīng)力所導(dǎo)致的剪力滯主要局限于支座附近的局部應(yīng)力，影響范圍約為1.5倍箱梁寬度.4)基于平截面假定的應(yīng)力解沿全橋?yàn)槌?shù)-0.7 MPa，計(jì)算結(jié)果在梁中部的40 m范圍內(nèi)是可行的，而在端部10 m以內(nèi)小于有限元解及雙參數(shù)法的結(jié)果.如在57 m處，應(yīng)力為-0.9 MPa.因此，按平截面假定計(jì)算簡(jiǎn)支箱梁溫度自應(yīng)力在工程上偏不安全.

圖6為x=57 m及x=45 m處腹板z向應(yīng)力分布的計(jì)算結(jié)果.可以看出，基于平截面假定的溫度自應(yīng)力計(jì)算方法與本文的修正雙參數(shù)法皆能較好地反應(yīng)腹板自應(yīng)力分布情況.其中，在簡(jiǎn)支梁端部1.5倍箱梁寬度距離內(nèi)存在明顯的剪力滯效應(yīng)，在x=57 m處本文方法與有限元方法有偏差，但相差不大.在簡(jiǎn)支箱梁中間段剪力滯效應(yīng)不明顯，可認(rèn)為符合平截面假定，因此，在x=45 m處腹板應(yīng)力吻合較好.修正雙參數(shù)法和基于平截面假定的計(jì)算方法中求得的腹板應(yīng)力與有限元所求值相差較小，在計(jì)算過(guò)程中腹板采用平截面假定可滿足工程計(jì)算精度要求.

圖6 腹板處z向應(yīng)力

2.2 帶懸臂翼板箱形

2.2.1 局部三角形溫度梯度

令懸臂翼板寬度為nb=3 m，截面其余的幾何參數(shù)、材料參數(shù)和非線性溫度分布同2.1.圖7為帶懸臂翼板箱形截面的上翼板應(yīng)力分布.其中圖7(a)為腹板內(nèi)側(cè)與上翼板中面交點(diǎn)處應(yīng)力沿順橋向x方向分布，圖7(b)為x=57 m處上翼板中面的應(yīng)力沿橫橋向y方向的分布圖.計(jì)算結(jié)果表明，雙參數(shù)法的計(jì)算結(jié)果與有限元法的結(jié)果相近，顯示了良好的精度.對(duì)于平截面法所得的結(jié)果，即使在箱梁跨中附近也明顯小于有限元的計(jì)算結(jié)果.這是由于平截面所得的應(yīng)力為

(42)

對(duì)于簡(jiǎn)支箱梁跨中附近，剪力滯效應(yīng)很小而忽略情況下，由式(40)可得箱梁翼板的應(yīng)力為

(43)

圖7 帶懸臂翼板截面上翼板中面應(yīng)力

Fig.7 Middle plane stresses of the top flanges with cantilever flange

2.2.2 規(guī)范正溫差分布

以上兩個(gè)算例中采用簡(jiǎn)化的局部三角形溫度梯度分布，用以闡述非線性溫度梯度作用下剪力滯效應(yīng)的機(jī)理.真實(shí)橋梁暴露在大氣環(huán)境中，受日輻射強(qiáng)度、橋梁方位、日照時(shí)間、地理位置、地形地貌等環(huán)境因素的影響而使溫度分布非常復(fù)雜.許多學(xué)者對(duì)各種類型橋梁截面的溫度分布進(jìn)行了試驗(yàn)研究，提出了不同的豎向溫度梯度模式[19].在實(shí)驗(yàn)研究的基礎(chǔ)上，各國(guó)規(guī)范分別確定了相應(yīng)的溫度梯度函數(shù).中國(guó)《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》[20]和英國(guó)[21]采用的是折線型函數(shù)，新西蘭規(guī)范[22]采用冪函數(shù).本節(jié)以中國(guó)《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》中正溫差溫度梯度為例進(jìn)行溫度剪力滯計(jì)算.計(jì)算中的豎向溫度梯度分布如圖8所示.

在上翼板0.4 m范圍內(nèi)分布非線性溫度，其中上部0.1 m內(nèi)由25 ℃降至6.7 ℃，0.1至0.4 m內(nèi)由6.7 ℃降至0 ℃.對(duì)于不同的溫度梯度統(tǒng)一用T(z)函數(shù)進(jìn)行描述，由此，對(duì)溫度應(yīng)力的影響反映在式(12)～(14)中改變溫度變形勢(shì)能的6個(gè)參數(shù)ATw、ATu、ATb、STw、STu、STb以及最后的應(yīng)力表達(dá)式(40)、(41)中的T(z).其他計(jì)算過(guò)程與局部三角形溫度梯度的相同.

圖8 規(guī)范溫度分布

對(duì)于帶懸臂翼板的箱型截面梁，幾何參數(shù)及材料參數(shù)同算例二.在圖8溫度梯度作用下的應(yīng)力分布如圖9所示.圖9(a)為上翼板與腹板交角中面處應(yīng)力沿順橋向x方向分布，圖9(b)為x=57 m處上翼板中面的應(yīng)力沿橫橋向y方向的分布圖.由圖9(a)可知，在箱梁跨中附近剪力滯影響小而使應(yīng)力基本為常量，但是平截面假定的應(yīng)力計(jì)算結(jié)果明顯小于有限元.這是由于非線性溫度梯度下有翼緣板箱形截面的曲率受剪力影響，在平截面假定中沒(méi)有考慮這項(xiàng)影響而導(dǎo)致誤差，在修正雙參數(shù)法中考慮了這項(xiàng)的影響而精度較高，這與局部三角形溫度梯度作用下的規(guī)律相同.圖9(b)x=57 m處橫橋向的應(yīng)力分布可知，修正雙參數(shù)法所得的應(yīng)力基本反映了溫度應(yīng)力沿y方向的變化情況，且計(jì)算結(jié)果與有限元法吻合較好，顯示了良好的適應(yīng)性.

圖9 規(guī)范溫度分布下應(yīng)力

3 結(jié) 論

1)在非線性溫度梯度作用下，上下翼板形成剪力滯的原因不同導(dǎo)致上下翼板的縱向位移函數(shù)的幅值不同，且方向與荷載條件下的縱向位移方向有所區(qū)別.修正雙參數(shù)法既反映了上下翼板變形的差異，又滿足了截面軸力的平衡，從而提高了計(jì)算精度.

2)非線性溫度梯度作用下簡(jiǎn)支箱梁在端部存在剪力滯效應(yīng)，影響范圍約為1.5倍箱梁寬度.受剪力滯效應(yīng)影響，端部的最大應(yīng)力大于平截面的計(jì)算結(jié)果.因此，平截面假定算法對(duì)于端部是不安全的.

3)對(duì)于截面上下對(duì)稱的無(wú)懸臂翼板箱梁，在離開端部1.5倍箱梁寬度后的跨中區(qū)域，剪力滯影響很小，可采用平截面假定進(jìn)行計(jì)算.對(duì)于截面不對(duì)稱的帶懸臂翼板箱梁，平截面假定無(wú)法考慮非線性溫度引起的剪力對(duì)截面曲率的影響，即使在跨中區(qū)域計(jì)算誤差依然較大，而雙參數(shù)法修正了剪力對(duì)截面曲率的影響而顯著提高了計(jì)算精度.