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        個(gè)體行為與信息滯后性對(duì)疾病傳播的影響

        2020-03-18 10:52:24劉茂省
        關(guān)鍵詞:個(gè)體強(qiáng)度疾病

        周 苗,劉茂省

        (中北大學(xué) 理學(xué)院,山西 太原 030051)

        0 引言

        從某種意義上說(shuō),人類的歷史是一部與各種疾病抗?fàn)幍臍v史。從早期的瘟疫、登革熱、西北部的黑熱病到近幾年的豬流感,這些疾病都給家庭和社會(huì)帶來(lái)了巨大的損失,因此對(duì)傳染病動(dòng)力學(xué)的研究一直都是科學(xué)研究的重點(diǎn)[1-5]。為了更好的理解疾病的傳播方式和發(fā)生機(jī)制,科學(xué)家們提出了很多研究方法,比如:基于微分方程的數(shù)學(xué)方法[5]、逾滲方法[6]、馬爾可夫鏈方法[7]以及特征值法[8-9]等等,但是這些方法都假定人們?cè)诩膊”l(fā)期間不會(huì)改變他們的行為方式。結(jié)合現(xiàn)實(shí)情況,當(dāng)疾病在人群中爆發(fā)的時(shí)候,人們會(huì)自發(fā)的采取一定的保護(hù)措施,如戴上口罩、接種疫苗、勤洗手、減少和外界的接觸等。這些行為方式的改變必然會(huì)對(duì)疾病的傳播方式產(chǎn)生很大的影響。因此為了更加真實(shí)的反映疾病的傳播機(jī)制,在疾病傳播模型中我們有必要引入人們對(duì)疾病的行為反應(yīng)。

        雖然在當(dāng)前社會(huì)人們可以通過(guò)多種渠道獲取信息,但是由于媒體不一定能夠及時(shí)的報(bào)道病情,以及諸多疾病具有一定的潛伏期或者由于某些個(gè)人/機(jī)構(gòu)對(duì)疾病的隱瞞,人們想要及時(shí)并準(zhǔn)確的了解到疾病信息依然很困難(如,為了防止別人的歧視,感染了艾滋病的患者并不愿意讓別人知道他們的患病情況)。因此在模型中有必要引入疾病信息的滯后性。

        由于很多傳染病是通過(guò)人與人之間的接觸從而在人群中傳播,如果把人看作為網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn),人與人之間的接觸方式看作網(wǎng)絡(luò)中的邊,那么疾病在人群中的傳播方式可以抽象為疾病在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳播,并且我們發(fā)現(xiàn),基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究可以更真實(shí)的反映疾病的傳播途徑。假定最初的網(wǎng)絡(luò)是隨機(jī)網(wǎng)絡(luò),為了研究方便,網(wǎng)絡(luò)中的個(gè)體采取斷邊重連,即如果健康者和感染者連接,那么健康者就會(huì)和感染者斷了連接而重新連接到另外一個(gè)健康者以保證網(wǎng)絡(luò)中邊數(shù)不變。很顯然這與現(xiàn)實(shí)情況相違背,當(dāng)疾病在人群中爆發(fā)的時(shí)候,人們不能知道哪些鄰居被感染,因此他們只能隨機(jī)的減少和外面的接觸,如不去上學(xué)、上班、旅行等,而不是重新和別人建立新的連接。一旦人們認(rèn)為疾病的風(fēng)險(xiǎn)較低的時(shí)候,人們往往又會(huì)恢復(fù)原來(lái)的生活狀態(tài)(上學(xué)、上班、旅行)。

        基于此,我們構(gòu)造合適的網(wǎng)絡(luò)平均度來(lái)體現(xiàn)個(gè)體行為反應(yīng)和信息滯后性對(duì)疾病傳播的影響。假定網(wǎng)絡(luò)上的每個(gè)個(gè)體根據(jù)自身對(duì)疾病信息的了解程度來(lái)決定保留多少個(gè)鄰居,如果個(gè)體i在初始時(shí)刻有ki(0)條邊, 那么他在t時(shí)刻保留的邊數(shù)為:

        其中ceil表示取不小于x的最小整數(shù),γ表示個(gè)體對(duì)疾病的反應(yīng)強(qiáng)度,τ表示個(gè)體對(duì)疾病信息的滯后時(shí)間,I(t-τ)表示在t-τ時(shí)刻的總的感染比例。在每個(gè)時(shí)間步,個(gè)體決定保留一部分邊還是斷一部分邊。如果ki(t)ki(t-1),則隨機(jī)的恢復(fù)ki(t)-ki(t-1)條邊;如果ki(t)=ki(t-1),則保持原狀。

        研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)傳染病在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳播較為廣泛的時(shí)候,網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)會(huì)相應(yīng)的發(fā)生變化,從而導(dǎo)致傳染過(guò)程中呈現(xiàn)多樣的動(dòng)力學(xué)行為特征:如Hopf分支、跨臨界分岔、鞍結(jié)分岔等多種分岔,使系統(tǒng)從穩(wěn)定態(tài)轉(zhuǎn)化為周期態(tài),從而出現(xiàn)周期振蕩的現(xiàn)象。雖然科學(xué)家從不同角度對(duì)傳播過(guò)程中的周期振蕩現(xiàn)象提供了許多理論依據(jù),比如:假定傳染率是時(shí)間的周期函數(shù)[10]、考慮人群在不同斑圖之間的遷移[11]、自愿接種機(jī)制中個(gè)體的模仿行為[12]等等,但是面對(duì)更加復(fù)雜的傳播行為,這些解釋是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,因此對(duì)傳播動(dòng)力學(xué)中的周期振蕩現(xiàn)象的研究遠(yuǎn)未結(jié)束,還需要進(jìn)一步的研究。考慮到傳播過(guò)程中的個(gè)體行為反應(yīng)[13、14、15、16]和信息滯后性[17、18、19、20]對(duì)傳播動(dòng)力學(xué)的影響,本文結(jié)合這兩個(gè)因素從全新的角度解釋傳播過(guò)程中的周期振蕩現(xiàn)象。

        1 模型的建立

        在本文中,我們利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)作為載體,提出了一類SIS疾病傳播模型, 模型如下:

        (1)

        (2)

        分別對(duì)(2)式求導(dǎo)并把無(wú)病平衡點(diǎn)代入可得:

        F=(β〈k〉)V=(u)

        可以得到:

        βI*(1-I*)〈k〉 =μI*(1 +γI*2)

        解得:

        (3)

        則當(dāng)基本再生數(shù)R0>1時(shí),地方病平衡點(diǎn)唯一存在。

        2 理論分析

        在本小節(jié)中,我們利用平均場(chǎng)方法給出近似的理論分析。

        令I(lǐng)=I*+x,代入(4)式:

        (4)

        得:

        (5)

        通過(guò)使用一階近似,我們可以得到:

        (6)

        將(6)式代(5)式中,保留x的線性項(xiàng)則有:

        (7)

        令x=CeΛτ(C表示一個(gè)常數(shù))并代入(7)式可以得到如下的特征方程:

        (8)

        當(dāng)τ=0時(shí),則有:

        (9)

        由(9)式可知,對(duì)于τ=0的情況,地方病平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的。

        對(duì)于τ≠0的情況,在復(fù)平面上,特征值Λ隨著τ的增加向著虛軸逐步靠近。如果Λ穿過(guò)虛軸則會(huì)出現(xiàn)Hopf分支,也就是說(shuō)系統(tǒng)(1)從穩(wěn)定態(tài)轉(zhuǎn)化為周期態(tài)。為了求出臨界的τ*,令Λ=iy并代入(8)式中,得到:

        (10)

        通過(guò)方程組(10)可以求出臨界的τ*(n):

        (11)

        當(dāng)n=0時(shí),我們可以得到最小臨界值τ*

        可以證明:

        因此,表明τ≥τ*特征值Λ有正的實(shí)部,這就表明τ*是保證出現(xiàn)Hopf分支的最小臨界條件。

        圖1 系統(tǒng)關(guān)于(γ,τ)的相圖Fig.1 a phase diagram on the response strength γ and time delay τ in system

        在圖1中,根據(jù)(11)式模擬了關(guān)于(γ,τ)的相圖。從圖中可以發(fā)現(xiàn),相平面被曲線τ=τ*(γ)分為兩個(gè)區(qū)域—穩(wěn)定區(qū)域和振蕩區(qū)域。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)γ≤2的時(shí)候系統(tǒng)(1)永遠(yuǎn)處于穩(wěn)定態(tài),而對(duì)于γ>2的情況,臨界時(shí)間滯后長(zhǎng)度τ*隨著γ的增加而減小。

        3 數(shù)值模擬及討論

        本節(jié)利用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值模擬。首先考慮沒(méi)有時(shí)間滯后的情況(τ=0),利用微分方程(3)模擬了不同反應(yīng)強(qiáng)度對(duì)最終感染比例的影響。選取參數(shù):β=0.05,μ=0.1,〈k〉t=6。從圖2中可以看出:最終感染比例隨著反應(yīng)強(qiáng)度的增大而減小。

        圖2 當(dāng)τ=0時(shí),感染人數(shù)隨反應(yīng)強(qiáng)度的變化圖Fig.2 When τ=0,the change figure of number of infections with the response strength

        接著考慮對(duì)于不同的反應(yīng)強(qiáng)度γ和時(shí)間滯后長(zhǎng)度τ對(duì)感染人數(shù)的影響。圖1顯示當(dāng)γ≤2時(shí),無(wú)論τ取何值,感染人數(shù)始終趨于穩(wěn)定。當(dāng)γ>2時(shí),每個(gè)γ存在對(duì)應(yīng)的τ*值,使系統(tǒng)出現(xiàn)Hopf分支,出現(xiàn)周期振蕩的現(xiàn)象。對(duì)于γ=5的情況τ>15可以出現(xiàn)周期振蕩,而對(duì)于γ=10的情況τ>10可以出現(xiàn)周期振蕩。從圖3可以發(fā)現(xiàn),正如圖1所示,對(duì)于不同τ,γ≤2的時(shí)候感染人數(shù)都最終趨向穩(wěn)定;而對(duì)于γ=5,10的情況, 當(dāng)τ=10的時(shí)候,兩者的感染人數(shù)最終都趨于穩(wěn)定;當(dāng)τ=15的時(shí)候,γ=5的情況感染人數(shù)最終趨于穩(wěn)定。γ=10的情況出現(xiàn)周期振蕩現(xiàn)象;當(dāng)τ=20的時(shí)候,兩者的感染人數(shù)隨時(shí)間演化出現(xiàn)周期振蕩。比較圖1和圖3可發(fā)現(xiàn)兩者具有相似的結(jié)果,因此理論分析可以從一定程度上解釋模擬結(jié)果。

        圖3 感染人數(shù)隨反應(yīng)強(qiáng)度和滯后時(shí)間的變化圖Fig.3 The chang figure of number of infections with the response strength and time delay

        同時(shí)在前面我們假設(shè)每個(gè)個(gè)體都具有相同的滯后時(shí)間,在實(shí)際中,每個(gè)人獲取信息的時(shí)間是不一樣的,因此我們把固定的滯后時(shí)間推廣到滯后時(shí)間τ∈[20,30]的情況,同樣可以從圖4中發(fā)現(xiàn),在γ=5的時(shí)候,感染人數(shù)也隨著時(shí)間演化出現(xiàn)周期振蕩。

        圖4 當(dāng)滯后時(shí)間τ∈[20,30]的均勻分布且γ=5的時(shí)候,感染人數(shù)隨時(shí)間演化圖的影響Fig.4 When time delay τ satisfies uniform distribution τ∈[20,30], the effect of number of infections with time evolution diagram. Here γ=5

        假設(shè)每個(gè)人的反應(yīng)強(qiáng)度是一樣的,且個(gè)體時(shí)時(shí)都在決定是否斷邊還是恢復(fù)邊,從而不斷調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)的平均度。可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)γ=20的時(shí)候,不同的時(shí)間滯后長(zhǎng)度τ導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)不同的狀態(tài),同時(shí)發(fā)現(xiàn),τ值越大,振蕩幅度越大。

        圖5 當(dāng)γ=20,研究不同的滯后時(shí)間τ對(duì)網(wǎng)絡(luò)平均度的時(shí)間演化圖的影響Fig.5 When γ=20,the effect of different time delay τ on the time evolution diagram of network average degree is studied

        4 結(jié)論

        當(dāng)某種傳染病在人群中爆發(fā)的時(shí)候,人們通常會(huì)減少和外界的接觸,如不去上學(xué)、上班、旅行等。但是此時(shí)人們的正常生活方式會(huì)被打亂,所以一旦認(rèn)為疾病的風(fēng)險(xiǎn)降低到一定程度的時(shí)候,人們又會(huì)恢復(fù)原來(lái)的生活方式。同時(shí),人們對(duì)疾病風(fēng)險(xiǎn)的估計(jì)取決于他們對(duì)疾病信息的了解,因此他們獲得的信息可能具有一定的滯后時(shí)間?;诖?本文考慮個(gè)體行為和信息滯后性對(duì)疾病傳播的影響,通過(guò)數(shù)值模擬和理論分析發(fā)現(xiàn),只有個(gè)體反應(yīng)強(qiáng)度和時(shí)間滯后長(zhǎng)度都適當(dāng)大的情況下,系統(tǒng)會(huì)通過(guò)分支從穩(wěn)定態(tài)轉(zhuǎn)化為周期態(tài),出現(xiàn)周期振蕩現(xiàn)象,而過(guò)小的反應(yīng)強(qiáng)度或者過(guò)短的時(shí)間滯后長(zhǎng)度都不能導(dǎo)致周期振蕩的涌現(xiàn)。

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