李順群，張 翻，王彥洋，夏錦紅，陳之祥

1)天津城建大學土木工程學院，天津 300384；2)天津市軟土特性與工程環(huán)境重點實驗室，天津 300384；3)天津市建設工程技術(shù)研究所，天津 300204；4)新鄉(xiāng)學院土木工程與建筑學院，河南新鄉(xiāng) 453003；5)大連理工大學工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，遼寧大連 116085

導熱系數(shù)是寒區(qū)水工結(jié)構(gòu)物溫度場預測以及進行凍脹融沉量評估的重要參數(shù)．受礦物成分、含水量、密度和含冰量等多種因素影響，多孔、多相、碎散的巖土材料的導熱系數(shù)變化將變得更為復雜．因此，準確計算多種因素作用下巖土的導熱系數(shù)，對于溫度場預測、凍結(jié)溫度場模型試驗以及熱方程的解析求解具有重要意義[1-4]．

相體含量、溫度和干密度等條件是凍土導熱系數(shù)的重要因素，據(jù)此建立了考慮土、水和冰三相體積含量的飽和凍土導熱系數(shù)預估模型，即幾何平均法[5]；基于歸一化方法建立了考慮飽和度影響的非飽和(凍)土導熱系數(shù)預估模型[6]．除上述研究之外，眾多研究人員對凍土導熱系數(shù)的影響因素展開相應的研究，并取得一定的成果[7-8]．除了凍土中各物質(zhì)含量及溫度等條件是影響導熱系數(shù)變化的主要因素外，導熱系數(shù)變化還取決于凍土孔隙的分布形式．

凍土是一種各向異性的導熱體，即凍土在空間中任意一點的導熱能力都是各向異性的．但是，點的概念不能涵蓋土顆粒、孔隙冰和孔隙水的含量關(guān)系，因此引入空間代表體元(representative elementary volume, REV)的概念[9]，即空間中任意點的空間體積代表體，以此解釋凍土在空間中組成物質(zhì)含量的連續(xù)性．引入REV概念既可以保證凍土物質(zhì)含量在空間中的連續(xù)性，同時也能保證空間中凍土導熱的連續(xù)性．在保證凍土在空間中傳熱的連續(xù)性基礎上，基于REV概念，假設凍土在空間中的傳熱為各向同性．

本研究假設土顆粒為均質(zhì)的球缺球體(圖1)，且土顆粒彼此間為等效球缺接觸，以此建立密實與非密實排列的兩種土骨架模型及土水冰之間的復合傳熱模式，并根據(jù)建立的骨架幾何模型與復合傳熱模式，推導出飽和凍土導熱系數(shù)的預估模型．

1 土體球缺接觸

圖1 等效球缺接觸Fig.1 Equivalent ball missing contact

土顆粒在形成過程中，在受到風、水以及重力等外部因素主導的搬運沖刷作用下，土顆粒被磨圓成近似球體以及橢圓體[10-11]．為了方便研究，將土顆粒假設成均勻球體．實際上，土顆粒間存在諸如點接觸和面接觸等多種接觸方式，故假設土顆粒間接觸等效為球缺接觸， 如圖1． 由圖1可見， 球缺接觸的土顆粒體積Vs要小于等直徑球體的體積Vq，即

Vs

(1)

欲求得Vs，須求得球缺部分體積V′．球缺部分為圓弧體，球缺土顆粒與球缺部分的幾何關(guān)系如圖2．

圖2 球缺部分與球體之間的幾何關(guān)系Fig.2 Geometric relationship between the missing part of the ball and the sphere

圖2中存在如下關(guān)系：

x2+l2=R2

(2)

R-l=l′

(3)

其中，R為土顆粒半徑；x為球缺部分截面半徑；l′、l分別為球缺部分頂點和土顆粒中心點至球缺截面的距離．有

V′=πl(wèi)′2(R-l′/3)

(4)

x與R的關(guān)系為

(5)

其中，a為常數(shù)，且a>1． 將式(2)、式(3)和式(5)代入式(4)并化簡得

(6)

式(6)為1個球缺體積，就土體整體而言，土體中存在a′個球缺體，總的球缺體積為

V″=a′V′

(7)

其中，a′為不同排列方式下的土顆粒接觸點個數(shù)．

2 土顆粒骨架

根據(jù)土顆粒排列時的相對位置關(guān)系，可構(gòu)建兩個不同排列形式的土體骨架模型．一種為土顆粒正交排列的土骨架模型，另一種為土顆粒聚合密實排列的土骨架模型．

2.1 正交排列土骨架

該土骨架由相同排列方式的土顆粒層豎向疊加而成．每1個土顆粒與6個土顆粒接觸，每1個球形土顆粒缺少6個球缺體，如圖3．

圖3 正交排列土骨架Fig.3 The soil skeleton in an orthogonal pattern

如圖3(b)所示，球缺土顆?？蓡为氄紦?jù)1個邊長為l1的正方體，且l1=2R-2l′． 這種排列方式下的土骨架在空間中關(guān)于xoy、yoz和zox平面對稱．假設土顆粒組成一致，則該土骨架排列形式下的土體為各向同性．

2.2 聚合密實排列土骨架

空間中任意土顆粒與其他土顆粒聚合成為正四面體時，土骨架能達到相對密實狀態(tài)．相比正交排列的土骨架，聚合密實排列的土骨架更為密實，孔隙體積更小，同樣將該土骨架視為各向同性體．聚合密實排列的土骨架如圖4．

圖4 聚合密實排列的土骨架Fig.4 Aggregate compact arrangement of soil skeletons

如圖4(b)，密實狀態(tài)下的土顆粒聚合成邊長為l2的正四面體，聚合正四面體中缺少12ζ/180個球缺體，ζ為正四面體二面角，約為70°32′．

2.3 土骨架體積含量

根據(jù)圖3(b)以及圖4(b)，可計算不同排列形式土骨架所占土體體積含量．正交排列土骨架體積分數(shù)φs1為

(8)

(9)

化簡為

(10)

其中，Vs1為土骨架體積；V1為圖3(b)所示的立方體體積．

圖4(b)中土顆粒約為1/3球，根據(jù)式(8)可類比計算出聚合密實排列土骨架體積分數(shù)φs2為

(11)

l2=l1

(12)

整理得

(13)

其中，ζ為正四面體二面角，約為70°32′．式(10)與式(13)中a值存在最優(yōu)解，根據(jù)0<φs<1的限定條件，可得出式(10)和式(13)中a的取值范圍(兩式a的取值相互獨立)．除此之外，根據(jù)計算干土的目標孔隙率不同，a的取值也發(fā)生變化，式(10)中a>1.70， 式(13)中2.64

當式(10)中a趨于無窮大時，φs1收斂于0.52．式(13)中a為4.30時，土體為完全巖體．根據(jù)a的取值不同，可以模擬不同孔隙率土體的空間結(jié)構(gòu)，進而計算出土體導熱系數(shù)．

2.4 孔隙冰骨架

實際凍結(jié)過程，距離相鄰土顆粒的球心最遠端處的孔隙水最先凍結(jié)成孔隙冰．隨著凍結(jié)溫度的降低，孔隙冰體積含量逐漸增大并發(fā)展成為貫通的冰骨架．冰骨架具有空間整體性，但是受土顆粒排列方式的影響，正交排列土骨架中冰骨架的空間結(jié)構(gòu)更具有整體性．細顆粒土體中，在溫度<0 ℃條件下，土體中存在未凍水，且未凍水廣泛存在于土骨架與冰骨架之間．根據(jù)水冰含量轉(zhuǎn)化關(guān)系，可以計算出未凍水與孔隙冰的體積分數(shù)分別為

(14)

φi=1-φs-φu

(15)

其中，mu和ms分別為未凍水和土顆粒的質(zhì)量(單位g)；ρd和ρw分別為凍土的干密度和未凍水的密度(單位：g/cm3)；wu為未凍水含量；φu和φi分別為未凍水和孔隙冰的體積分數(shù).在土體凍結(jié)過程中，土體中將產(chǎn)生水分的遷移[12]，即當考慮水分遷移影響時，凍土內(nèi)部的水冰發(fā)生重新分布，為了簡化計算，可不考慮土體凍脹效應. 凍土中各物質(zhì)的體積分數(shù)可通過式(10)、式(13)、式(14)和式(15)計算獲得．

未凍水含量可通過核磁共振法與混合量熱法測得，對于一般土工熱計算，可采用經(jīng)驗公式計算獲得[13-15]．

3 導熱系數(shù)計算模型

3.1 垂直流法與平流法

凍土是多相介質(zhì)組成的混合體，通過測試可以獲得凍土熱參數(shù)值，而且任何實測數(shù)值的驗證對比均需要合理的計算公式．對凍土各組成物質(zhì)熱參數(shù)及其含量之間的聯(lián)系，可通過數(shù)學經(jīng)驗公式計算得到[4]．凍土各組成物質(zhì)的混合導熱系數(shù)λ為

(16)

其中，λi為凍土中各物質(zhì)的導熱系數(shù)；N為各組成物質(zhì)的數(shù)量．

類比電晶格框架，得出基于凍土熱傳遞的平層熱流的導熱系數(shù)表達式為

(17)

3.2 復合傳熱計算模型

JOHANSEN等[5]根據(jù)凍土中各物質(zhì)的體積分數(shù)，建立了飽和及非飽和凍土的導熱系數(shù)計算模型．該計算模型綜合考慮了凍土中各組成物質(zhì)含量的影響，但是卻忽視了土顆粒排列方式及凍土中孔隙分布對導熱系數(shù)的影響．根據(jù)Wiener理論模型，多孔介質(zhì)在平行傳熱與垂直傳熱的不同傳熱模式下，多孔介質(zhì)的導熱系數(shù)存在兩種不同計算方式．李順群等[16]提出了混合傳熱模式下的凍土導熱系數(shù)計算模型．

建立本研究導熱系數(shù)計算模型的關(guān)鍵問題，就是要證明凍土的土-水和冰-水之間的傳熱是獨立的．根據(jù)SASS等[17]的研究，當土體內(nèi)部各相體導熱系數(shù)相差較小時，可采用幾何平均法計算土體導熱系數(shù)．因此欲證明獨立，只需證明土-水混合物的導熱系數(shù)和冰-水混合物的導熱系數(shù)在數(shù)值上相近，因此需要獲得土骨架、冰骨架和未凍水的導熱系數(shù)．冰和水是均質(zhì)物質(zhì)，導熱系數(shù)已知．但土骨架是由土顆粒聚合而成的復雜聚合物，導熱系數(shù)較難確定，可通過試驗及計算得到．

干土是由土和氣組成的二相體，且干土的導熱系數(shù)受溫度影響很小，可視為定值．類比孔隙水在非飽和土體中的滲流，熱流在干土中會存在一個實際的傳熱路徑．同一土樣中，干土導熱截面面積與其土骨架導熱截面面積有如下關(guān)系：

ΔF1=(1-n)ΔF2

(18)

其中，ΔF1和ΔF2分別為土骨架和干土試樣的導熱截面面積；n為干土試樣的孔隙率．

根據(jù)導熱系數(shù)測試理論公式[15]和式(18)，可確定干土骨架的導熱系數(shù)，即

(19)

其中，Q為熱量； Δθ/Δh為溫度梯度；t為時間；λdry為干土的導熱系數(shù)．

根據(jù)文獻[7]中的干土導熱系數(shù)數(shù)據(jù)，利用式(19)可以求得不同干密度下的土骨架導熱系數(shù)，如圖5所示．

圖5 不同干密度下干土和土骨架的導熱系數(shù)Fig.5 Thermal conductivity of dry soil and the soil skeleton under different dry densities

由圖5可見，干密度為1.8 g/cm3時土骨架的導熱系數(shù)值為2.07 W/(m·K)，冰的導熱系數(shù)取值為2.22 W/(m·K)，未凍水的導熱系數(shù)取值為0.55 W/(m·K)．根據(jù)式(16)可以計算出土-水混合物和冰水混合物的導熱系數(shù)，即

λsw=λsφs+λwφu

(20)

λrw=λiφi+λwφu

(21)

φs=φi

(22)

其中，λsw和λiw分別為土水混合物和冰-水混合物的導熱系數(shù)．式(20)和式(21)的計算結(jié)果如圖6．

圖6 土水混合物和冰水混合物的導熱系數(shù)Fig.6 Thermal conductivity coefficient of soil-water mixture and ice-water mixture

從圖6可見，當組成物的體積分數(shù)相同時，土水混合物和冰水混合物的導熱系數(shù)在數(shù)值上相差較小，表示土水混合物和冰水混合物的導熱能力相近，可看作兩種混合物獨立傳熱．

圖7 傳熱模式和傳熱物理模型Fig.7 Heat transfer mode and its physical model

土骨架的導熱系數(shù)與孔隙冰的導熱系數(shù)相差不過一個數(shù)量級，可視為熱流在土骨架與孔隙冰中為獨立傳遞，而土骨架與孔隙水、孔隙冰與孔隙水之間為混合傳熱，構(gòu)成的土水、冰水之間的傳熱利用幾何平均法計算．基于上述假設，提出土、水和冰組合形式下復合熱傳遞模型．凍土中熱傳遞如圖7(a)．類比電流在電晶格中傳遞，復合傳熱模型如圖7(b)．基于式(16)和式(17)，可推導出復合傳熱計算模型：

1)當凍土中熱主要以土、水和冰、水路徑進行傳遞時，凍土的導熱系數(shù)分為兩部分．土、水間熱傳遞為

(23)

冰-水間熱傳遞為

(24)

2)考慮凍土中土-水與冰-水間的平行傳熱，則凍土導熱系數(shù)計算式為

λ=λ1φ1+λ2φ2

(25)

將式(23)和式(24)代入式(25)中，可得

(26)

其中，λs，λw和λi分別為土骨架、未凍水和孔隙冰的導熱系數(shù)．將式(10)、式(13)、式(14)和式(15)代入式(26)，可得到凍土導熱系數(shù)計算式．

實際上，凍土凍結(jié)過程可分成冰核形成與冰骨架形成兩個階段，這兩個階段的傳熱形式有所不同．冰核形成階段，冰核存在于孔隙水中，此過程主要為土水之間傳熱；冰骨架形成階段，凍土中冰核發(fā)展成完整孔隙冰骨架，此過程主要為土-水-冰之間傳熱．

4 對比驗證

基于瞬態(tài)平面熱源法測試凍土導熱系數(shù)，試驗配制干密度分別為1.4、1.6和1.7 g/cm3的飽和粉土試樣，并在低溫箱的不同溫度環(huán)境冷凍48 h以上，制成飽和凍土試樣．將凍土試樣平滑切成等大的兩部分，并將測試探頭放置于切割面上且加緊探頭．將加緊探頭的凍土試樣放入恒溫箱中，待探頭溫度與試樣溫度一致時開始測試．單個試樣的測試時間控制在5 min左右．測試發(fā)現(xiàn)，干粉土試樣導熱系數(shù)隨溫度變化幅度很小，可以認為干粉土導熱系數(shù)在不同溫度下為一個定值．

根據(jù)給定的干密度值可以確定干土試樣孔隙率．結(jié)合a值，基于土顆粒的兩種排列方式，可以擬算出不同干密度下凍土試樣的導熱系數(shù)，如圖8(a)．將復合傳熱法與Johansen法、混合流法、實測值進行數(shù)值比對，結(jié)果如圖8(b)．

圖8 復合傳熱模型計算值Fig.8 Calculation value of composite heat transfer model

如圖8(a)所示，利用復合傳熱法計算出3種干密度情況下的導熱系數(shù)值，實測導熱系數(shù)值均落在計算值區(qū)間內(nèi)．從圖8(a)可見，在溫度區(qū)間-5～0 ℃ 時，計算值大于實測值，這是由于凍結(jié)開始時，凍土內(nèi)部開始形成凍結(jié)的冰核，但是冰核并未發(fā)展成為貫通的骨架體系，故導致計算值大于實測值．除此之外，凍結(jié)過程中的水熱遷移也是導致實測值小于計算值的重要因素．干密度為1.4 g/cm3的土體的土顆粒排列與正交排列的土骨架模型相近，干密度為1.6 g/cm3和1.7 g/cm3的土體的土顆粒排列與聚合密實排列的土骨架模型相近．

如圖8(b)所示，由于Johansen法只考慮了土體相體含量的影響，而沒考慮熱流在土體中傳遞的規(guī)律，所以計算準確度較低，與實測值差別較大．在-5 ～ 0 ℃時，本研究提出的復合傳熱法的計算值要小于Johansen法與混合流法的計算值，與實測值較為吻合；在-20 ～ -5 ℃時，復合傳熱法的計算值要大于混合流法的計算值，小于Johansen法的計算值，整體計算數(shù)值處于兩種計算方法之間．由此可見，復合傳熱法的計算精度優(yōu)于Johansen法，計算精度處于Johansen法與混合流法之間，計算值與實測值之間誤差小于10%，符合土工熱計算的誤差要求．

本研究提出的導熱系數(shù)計算模型尚存在一定的局限性和適用條件．由于土體干密度決定土體中土顆粒的含量，干密度越大，土顆粒彼此間接觸越緊密，所以該計算模型適用于計算飽和、干密度較大的凍土導熱系數(shù)，對于飽和砂土和粉質(zhì)黏土較為適用．對于低密度土體，如淤泥質(zhì)土，土體中未形成有效的土骨架，因此利用該模型計算將會產(chǎn)生一定誤差．除此之外，該計算模型未考慮土體級配的影響，對于計算級配較好的凍土導熱系數(shù)，誤差可能較大．影響該模型計算精度的另一個重要原因是凍土未凍水測試結(jié)果，未凍水含量測試結(jié)果越精確，利用該模型計算的導熱系數(shù)越準確．

5 結(jié) 論

1)考慮土顆粒為均質(zhì)球體且土顆粒間為球缺接觸，給出了正交排列的土顆粒以及聚合密實排列的土顆粒兩種土骨架構(gòu)成形式．計算出了兩種排列方式土顆粒體積的計算方法，并給出了土骨架的體積分數(shù)表達式．依據(jù)表達式中未知數(shù)a的取值，可求得不同孔隙率時土骨架的體積含量．同時給出了對應的孔隙冰骨架模型，并依據(jù)未凍水含量可計算凍土中孔隙冰和孔隙水體積分數(shù)．

2)考慮到土骨架的導熱系數(shù)與孔隙冰的導熱系數(shù)相差不大，可以認為熱流在土骨架和孔隙冰中的傳熱過程相互獨立．而孔隙水與土骨架、孔隙冰之間存在熱量的相互交換，由此構(gòu)建出包括土-水、冰-水兩個熱交換過程的復合傳熱模式．基于建立的復合傳熱模型以及多孔介質(zhì)的導熱系數(shù)經(jīng)驗公式，推導出了相應的導熱系數(shù)計算模型．

3)通過復合傳熱法計算不同干密度凍土在不同溫度下的導熱系數(shù)，并與實測值、Johansen法與混合流法計算值進行對比驗證．驗證結(jié)果顯示，復合傳熱法的計算精度處于Johansen法與混合流法之間，優(yōu)于Johansen法計算精度．在-5 ～ 0 ℃ 溫度段內(nèi)，復合傳熱法的計算值要略大于實測值，這是由于凍結(jié)初始階段，凍土內(nèi)未形成貫通的孔隙冰骨架．復合傳熱法的計算值與實測值誤差小于10%，符合誤差要求．