(廣東財(cái)經(jīng)大學(xué) 廣東 廣州 510320)

一、對(duì)于非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的心得

以往的所有課程中，對(duì)于參數(shù)統(tǒng)計(jì)我們有著詳細(xì)的方法去估計(jì)，參數(shù)估計(jì)，假設(shè)檢驗(yàn)，大樣本正態(tài)分布，計(jì)算它的一系列樣本參數(shù)來(lái)推斷信息。例如，我們首先假設(shè)收入是服從正態(tài)分布的，于是我們就去計(jì)算樣本的期望、方差、峰度等來(lái)以此此來(lái)刻畫(huà)這一數(shù)據(jù)，再通過(guò)這些收集到的數(shù)據(jù)去做推斷。但是現(xiàn)實(shí)中的統(tǒng)計(jì)工作我們是不知道怎么分布情況的，不是t檢驗(yàn)，方差分析也做不了，線(xiàn)性回歸也不行，時(shí)間序列分析等等都不行，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，我們對(duì)于分布一無(wú)所知，甚至數(shù)據(jù)是殘缺的，不完整的，這時(shí)候我們就只能用非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法去處理這些處理不了的問(wèn)題。常用的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法有：符號(hào)檢驗(yàn)，Wilcoxon秩和檢驗(yàn)。

二、方法介紹

(一)符號(hào)檢驗(yàn)

符號(hào)檢驗(yàn)是最基本的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法，獲取到樣本X1，…Xn之后，不知道這是不是正態(tài)分布，因而就用不了t檢驗(yàn)。在非參數(shù)檢驗(yàn)里，用符號(hào)檢驗(yàn)要熟知分位點(diǎn)以及廣義的分位點(diǎn)性質(zhì)意義。簡(jiǎn)單的二項(xiàng)分布，與分位點(diǎn)結(jié)合就形成了符號(hào)檢驗(yàn)。對(duì)于符號(hào)二字的理解呢，則是這樣定義的：

檢驗(yàn)原假設(shè)是H0：Qπ=q0(Qπ是針對(duì)連續(xù)變量的π分位點(diǎn))

備擇假設(shè)則可以是大于也可以是小于，或者是不等，隨統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的具體而定。

假設(shè)都已經(jīng)做好的，樣本收集過(guò)來(lái)，記大于樣本的點(diǎn)數(shù)為N+，小于的則記為N-，用小寫(xiě)的n+和n-代表對(duì)應(yīng)的實(shí)現(xiàn)值。n=n++ n-。如果此時(shí)零假設(shè)是成立的，則應(yīng)該有n-與n之比約為π，或者說(shuō)n-是大約nπ。于是這樣就得到了，在零假設(shè)成立的情況下，N-是服從二項(xiàng)分布Bin(n，π)的(要么是大于，要么是小于，于是是二項(xiàng)分布)。這里的符號(hào)意思N+就是樣本中所有減去q0之后的，這個(gè)差值還是為正的個(gè)數(shù)，同理，負(fù)號(hào)就是差值為負(fù)值的個(gè)數(shù)。更加深入一點(diǎn)可以構(gòu)建卡方統(tǒng)計(jì)量：(|n_+-n_- |-1)2/(n++n-) 。這就是符號(hào)檢驗(yàn)，不需要知道分布，只需要計(jì)算所謂的“符號(hào)”即可了，是非參數(shù)統(tǒng)計(jì)中最基本的一個(gè)方法。

(二)Wilcoxon秩和檢驗(yàn)

用于多組數(shù)據(jù)的比較，對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)一的編秩，求出備組秩和，再以各組秩和的平方與例子推算的比值求得的總和來(lái)計(jì)算z值，類(lèi)似的，在符號(hào)檢驗(yàn)基礎(chǔ)上更加利用信息，減去要檢驗(yàn)的數(shù)值，得到差值，再對(duì)其取絕對(duì)值，再排序，求秩(相同的取一樣的秩)，令W+為差值為正的秩和，W-為差值為負(fù)的秩和。再去計(jì)算p值或者查詢(xún)臨界值。比符號(hào)檢驗(yàn)更加高明的是利用到了差值多少的信息，符號(hào)檢驗(yàn)只區(qū)分了正負(fù)，秩和檢驗(yàn)可以理解為對(duì)不同距離的差值賦予了不同的權(quán)數(shù)。

三、非參數(shù)估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)總結(jié)

1.減少模型誤差是必然的，用到了更多樣本中的信息，傳統(tǒng)的參數(shù)發(fā)放就是基于分布的假定上，然而實(shí)際統(tǒng)計(jì)工作往往是滿(mǎn)足不了這些分布形式的，導(dǎo)致傳統(tǒng)模型與現(xiàn)實(shí)相背離產(chǎn)生模型上的偏差。而非參數(shù)估計(jì)的則是完全更多的，盡可能的去利用樣本數(shù)據(jù)的信息，不需要總體分布強(qiáng)加條件?？梢匀ミx擇與數(shù)據(jù)匹配的模型，而不是摁死了模型去讓數(shù)據(jù)削足適履，具有較好的穩(wěn)健性。

2.適用范圍廣。從數(shù)據(jù)的角度來(lái)看的話(huà)，可以處理定距、定比數(shù)據(jù)，也可以處理定類(lèi)、定序數(shù)據(jù)。而實(shí)際上呢，定類(lèi)和定序則是大量存在社會(huì)科學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域的，應(yīng)用范圍更加廣。從模型角度來(lái)看，假定條件沒(méi)有那么苛刻，適用范圍更加廣闊。

3.簡(jiǎn)單易操作。秩在非參數(shù)統(tǒng)計(jì)來(lái)說(shuō)是最關(guān)鍵的一個(gè)東西，我們?cè)诓恢罉颖痉植记闆r下，秩就是唯一我們能夠依靠從樣本里面提取出來(lái)的信息，從小到大排列，也非常易于理解。

四、秩和檢驗(yàn)人口政策目標(biāo)

十二大國(guó)家制定的控制人口目標(biāo)是本實(shí)際末人口總量不超過(guò)12個(gè)億，雖然已經(jīng)在很早的計(jì)劃生育國(guó)策下，人口還是增長(zhǎng)，為此，我們需要做出預(yù)測(cè)趨勢(shì)是否會(huì)達(dá)到人口目標(biāo)。其《綱要》指出人口的自然增長(zhǎng)率控制在12.5%以?xún)?nèi)，可以用Wilcoxon秩和檢驗(yàn)。

注：數(shù)據(jù)來(lái)源國(guó)家統(tǒng)計(jì)局(人口資料).中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒.

基于兩個(gè)假設(shè)：1)總體分布連續(xù) 2)總體是對(duì)其中位數(shù)是對(duì)稱(chēng)的

zi=|xi-q0|,自然的，q0是目標(biāo)值，對(duì)z做秩和檢驗(yàn)。在這里以正秩和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。

H0：人口自然增長(zhǎng)率為12.5% H1：人口自然增長(zhǎng)率小于12.5%

檢驗(yàn)結(jié)果，這是1978年到1989年的

差值-0.5-0.89-0.632.051.99-0.96絕對(duì)值0.50.890.632.051.990.96符號(hào)秩-1-3-21211-4差值-1.69-1.271.581.891.71.83絕對(duì)值1.691.271.581.891.71.83符號(hào)秩-7-561089

正秩和為56，當(dāng)n12時(shí)候，取顯著性水平為0.005時(shí)候，查表得知道臨界值為17，故拒絕原假設(shè)。不認(rèn)為由足夠的證據(jù)證明可以控制人口自然增長(zhǎng)率可以控制在12.5%之內(nèi)，人口目標(biāo)需要重新調(diào)整，人口政策需要重新規(guī)劃。

五、小結(jié)

非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法與參數(shù)統(tǒng)計(jì)很大不同就是假定的基礎(chǔ)不一樣，或者說(shuō)條件更加的寬松，參數(shù)化更加的書(shū)本化，非參數(shù)統(tǒng)計(jì)在實(shí)際統(tǒng)計(jì)工作往往用的比參數(shù)統(tǒng)計(jì)多太多了。但是兩者的核心思想是一樣的，做出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量去進(jìn)行檢驗(yàn)。這是至關(guān)重要的，兩者的長(zhǎng)短處不同，應(yīng)用范圍也是不同的。在解決不知道總體分布情況下，對(duì)總體信息知道的不是非常明確條件下，非參數(shù)統(tǒng)計(jì)無(wú)疑是好過(guò)參數(shù)統(tǒng)計(jì)的。