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        一道高考?jí)狠S選擇題的多維賞析

        2020-03-17 02:37:52
        數(shù)理化解題研究 2020年1期
        關(guān)鍵詞:逆時(shí)針母題夾角

        周 春

        (江蘇省揚(yáng)州中學(xué) 225009)

        2017年高考全國(guó)卷Ⅰ選擇題的最后一題(第21題)考查了高中物理一個(gè)常見(jiàn)的問(wèn)題——?jiǎng)討B(tài)平衡問(wèn)題,但是,其解法并非都很常見(jiàn),下面從多個(gè)維度對(duì)此題進(jìn)行賞析.

        A.MN上的張力逐漸增大

        B.MN上的張力先增大后減小

        C.OM上的張力逐漸增大

        D.OM上的張力先增大后減小

        解析由題意可知,重物在變化過(guò)程中受重力G、繩MN拉力TMN、繩OM拉力TOM,在某一時(shí)刻受力分析示意圖如圖2所示.

        解法1 正交分解法

        以M為原點(diǎn),沿水平方向建立x軸,沿豎直方向建立y軸,如圖3所示,設(shè)繩OM由豎直逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)φ,則此時(shí)繩MN與x軸夾角為φ+90°-α(此式為負(fù)值時(shí)表示MN在x軸下方),根據(jù)平衡條件得

        TOMsinφ=TMNcos(φ+90°-α),

        TOMcosφ+TMNsin(φ+90°-α)=G.

        由于G和α均保持不變,而在OM由豎直被拉到水平的過(guò)程中,φ由0°緩慢增大至90°,故TMN由零逐漸增大.α-φ逐漸減小,且由鈍角逐漸減小為直角再減小為銳角,故TOM先增大后減小(當(dāng)α-φ=90°時(shí),TOM最大).故選AD.

        解法2 正弦定理法

        將圖2三個(gè)力平移為矢量三角形,并設(shè)力的矢量三角形的內(nèi)角如圖4所示.由正弦定理得

        由于重力G的大小、方向均不變,兩繩的夾角α不變,而圖4中β=π-α,則β角也不變,故裝置在逆時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中,上式比值為一定值.由題意得,γ由0°逐漸增大至90°,故TMN逐漸增大.又θ=α-γ,故θ逐漸減小,且由鈍角逐漸減小為直角再減小為銳角,故TOM先增大后減小(當(dāng)θ=90°時(shí),TOM最大).

        解法3 輔助圓法

        根據(jù)圓的性質(zhì)可知,同一條弦對(duì)應(yīng)的圓周角相等.而裝置在逆時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中,由解法2分析可知,圖4中G和β始終保持不變,故可以反推,圖4中TMN、TOM連接點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡必定是圓,且此圓即由TMN、TOM、G所構(gòu)成的矢量三角形的外接圓,如圖5所示(實(shí)線為末狀態(tài)).初始狀態(tài),TMN=0,TOM=G.由圖5可以直觀看出,把整個(gè)裝置逆時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)過(guò)90°的過(guò)程中,TMN從0逐漸變?yōu)橹睆?,故TMN逐漸增大,TOM先從弦變?yōu)橹睆皆僮優(yōu)橄?,故TOM先增大后減小.

        解法4 等效法

        題中“將重物向右上方緩慢拉起,并保持夾角α不變.在OM由豎直被拉到水平的過(guò)程中”,可等效為“整個(gè)裝置不動(dòng),把重力方向順時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)過(guò)90°(重力大小不變)的過(guò)程中”,這樣由“兩個(gè)力方向在改變”轉(zhuǎn)化為“只有一個(gè)力方向在改變”,問(wèn)題得到了大大簡(jiǎn)化.顯然,等效后的重力G矢量的箭頭端的變化軌跡是以重力G的箭尾端為圓心、以重力G大小為半徑的圓,作出TMN、TOM、G所構(gòu)成的矢量三角形動(dòng)態(tài)變化示意圖如圖6所示(實(shí)線為末狀態(tài)).由于重力G的大小和β是定值,故由圖6可以看出,在G順時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)過(guò)90°的過(guò)程中,TMN逐漸增大,TOM先增大后減小(當(dāng)G與TMN垂直時(shí),TOM最大).

        評(píng)析這是一道三力動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題,由于有兩個(gè)力的方向同時(shí)在變化,而常用的合成分解法、相似三角形法等解法很難奏效,不少考生感覺(jué)難度較大,短時(shí)間內(nèi)甚至束手無(wú)策,因此需要另辟蹊徑.以上探討了四種解法,從數(shù)學(xué)角度看,前兩種解法屬于代數(shù)法,后兩種解法屬于幾何法,從解法1到解法4基本上越來(lái)越簡(jiǎn)便,而對(duì)于選擇題這類“小題”,在考試時(shí)盡量不要“大做”,我們應(yīng)倡導(dǎo)考生更善于應(yīng)用后兩種幾何方法求解.

        母題如圖7所示裝置,OQ桿豎直,OP桿水平,AC、BC兩根輕繩拉住一球,其中AC繩水平.現(xiàn)保持兩細(xì)繩間的夾角不變,若把整個(gè)裝置順時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)過(guò)90°,則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中,設(shè)AC繩的拉力為F1,BC繩的拉力為F2,下列說(shuō)法中正確的是( )

        A.F1先減小后增大 B.F1先增大后減小

        C.F2逐漸減小 D.F2逐漸增大

        啟示上述母題是平時(shí)教學(xué)中曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)但又不很常見(jiàn)的一道老題目,用前面四種解法均可解出答案為BC.顯而易見(jiàn),本高考題來(lái)源于上述母題,兩題十分相似.因此,在平時(shí)的復(fù)習(xí)備考中,考生應(yīng)全面夯實(shí)基礎(chǔ),努力提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,全方位掌握各種題型及其解法,既要對(duì)常見(jiàn)題型爛熟于心,也要對(duì)非常見(jiàn)題型刻骨銘心,這樣應(yīng)對(duì)高考時(shí)方能游刃有余.

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