甘志國
(北京市豐臺二中 100071)
在解決與弦長(設(shè)直線l與二次曲線Γ交于兩點(diǎn)A,B,線段AB就是曲線Γ的弦,|AB|就是弦長)有關(guān)的平面解析幾何問題時(shí),往往需要求出|x1-x2|,其解法往往是這樣的:
先把直線l與曲線Γ的方程聯(lián)立,消去y(也可消去x),得到一個(gè)一元二次方程
ax2+bx+c=0 ①.
因?yàn)橹本€l與二次曲線Γ交于兩點(diǎn)A,B,所以a≠0,且其判別式Δ=b2-4ac>0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),可得x1,x2是方程①的兩個(gè)根,由韋達(dá)定理可得
所以
評注在韋達(dá)定理的兩個(gè)等式(見②)中沒有關(guān)于x1-x2的等式,但以上解法通過轉(zhuǎn)化求出了
有些巧妙!
還有其他方法能解決這個(gè)問題嗎?實(shí)際上,由一元二次方程的求根公式,可得一元二次方程①的兩個(gè)根是
由此可立得③式成立!
何必舍近求遠(yuǎn):用一元二次方程的求根公式比用韋達(dá)定理證明③式更簡潔!
(1)求橢圓C的方程及點(diǎn)P的坐標(biāo);
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),可設(shè)直線AB的方程是y=k(x-1)(k≠0).
(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0 ④.
這個(gè)關(guān)于x的一元二次方程的判別式Δ=(-8k2)2-4(4k2+3)(4k2-12)=144(k2+1)>0.
設(shè)兩點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別是x1,x2,可得一元二次方程④的兩個(gè)根分別是x1,x2.由結(jié)論③,可得
再由弦長公式,可得
105k4+73k2-36=0 ⑤,
(3k2-1)(35k2+36)=0,
注:也可這樣解方程⑤.
由一元二次方程的求根公式,可得
(2)的另解可設(shè)直線AB的方程是x=my+1.
(3m2+4)y2+6my-9=0 ⑥.
這個(gè)關(guān)于x的一元二次方程的判別式判別式Δ=(6m)2-4(3m2+4)·(-9)=144(m2+1)>0.
設(shè)兩點(diǎn)A,B的縱坐標(biāo)分別是y1,y2(y1y2<0),可得一元二次方程⑥的兩個(gè)根分別是y1,y2.由結(jié)論③,可得
所以
36m4-73m2-105=0 ⑧.
(m2-3)(36m2+35)=0,
注:也可這樣解方程⑧——
由一元二次方程的求根公式,可得
還可這樣解方程⑦
6t2-13t+2=0,
(t-2)(6t-1)=0(t≥1),
t=2.
換元法解題,有時(shí)能起到“四兩撥千斤”的作用.
題2(2013年清華大學(xué)夏令營數(shù)學(xué)試題第16題)設(shè)直線l:y=k(x+1)與橢圓Γ:x2+3y2=a2(a>0)交于A,B兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)C,記坐標(biāo)原點(diǎn)為O.
解(1)聯(lián)立直線l與橢圓Γ的方程后,可得
(3k2+1)x2+6k2x+(3k2-a2)=0.
(m2+3)y2-2my+1-a2=0 ⑨.
可求得關(guān)于y的一元二次方程①的判別式
Δ=(-2m)2-4(m2+3)(1-a2)
=4[(m2+3)a2-3] ⑩.
再由y1,y2是關(guān)于y的一元二次方程⑨的兩個(gè)根及韋達(dá)定理,可得
消去y1,y2后,可得
再由⑩,可得關(guān)于y的一元二次方程①的判別式
Δ=36m2>0
可得