李玉蓮，王虎林，何龍龍

哈爾濱哈飛航空工業(yè)有限責(zé)任公司，黑龍江哈爾濱150066

飛機(jī)的服役經(jīng)驗表明，很多構(gòu)件的斷裂是由于其內(nèi)部存在各種類型的裂紋，這些裂紋的存在和擴(kuò)展，使結(jié)構(gòu)承載能力在一定程度上削弱，從而影響飛機(jī)結(jié)構(gòu)安全。因此研究裂紋開裂以及擴(kuò)展規(guī)律，對飛機(jī)設(shè)計有重大指導(dǎo)意義?；谝陨系哪康?，國內(nèi)外學(xué)者從理論、試驗、數(shù)字仿真方面開展了大量的研究工作[1,2]。損傷容限分析的主要任務(wù)是以基于斷裂力學(xué)的裂紋擴(kuò)展為分析基礎(chǔ),結(jié)合剩余強(qiáng)度分析確定結(jié)構(gòu)的檢查門檻值和檢查間隔，從而保證飛行安全并得到最優(yōu)的結(jié)構(gòu)效率。飛機(jī)結(jié)構(gòu)損傷容限分析的基礎(chǔ)是飛機(jī)結(jié)構(gòu)應(yīng)力強(qiáng)度因子的確定。因為應(yīng)力強(qiáng)度因子計算的重要性，國內(nèi)外將應(yīng)力強(qiáng)度因子的研究作為疲勞損傷容限設(shè)計的重點之一。

有限元法計算應(yīng)力強(qiáng)度因子由于不受幾何以及載荷的復(fù)雜性限制而在工程上得到廣泛應(yīng)用。有限元法需要模擬裂紋尖端的奇異性，在固定裂紋長度下，傳統(tǒng)有限元法計算裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子精度已經(jīng)非常高，而在裂紋擴(kuò)展中，必須每次在裂紋擴(kuò)展后重新劃分網(wǎng)格，工作量巨大。而擴(kuò)展有限元[3]的提出很好地解決了這個矛盾。

擴(kuò)展有限元技術(shù)是用于模擬不連續(xù)問題的有限元技術(shù)，它是在傳統(tǒng)有限元框架內(nèi)，保留了有限元所有的優(yōu)點，并基于單位分解的思想，在連續(xù)位移場上加入特殊函數(shù)對不連續(xù)問題進(jìn)行建模的方法。它克服了傳統(tǒng)有限元在裂紋尖端應(yīng)力區(qū)必須細(xì)化網(wǎng)格帶來的困難，大大提高了分析效率。近年來擴(kuò)展有限元法在裂紋擴(kuò)展分析中得到了廣泛的應(yīng)用[4]，本文針對翼梁腹板的復(fù)合型裂紋擴(kuò)展問題，使用擴(kuò)展有限元分析手段，著重分析了網(wǎng)格密度和積分區(qū)域?qū)?yīng)力強(qiáng)度因子以及復(fù)合型裂紋開裂角度計算精度的影響，并使用單翼梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了翼梁腹板裂紋擴(kuò)展試驗驗證。

1 擴(kuò)展有限元法

對于含有裂紋的彈性體，一方面在裂紋面上產(chǎn)生不連續(xù)位移場，另一方面在裂紋尖端又會產(chǎn)生應(yīng)力集中，而采用基于連續(xù)介質(zhì)理論的傳統(tǒng)有限元法進(jìn)行計算時，通常需要對裂紋尖端網(wǎng)格加密或引入奇異單元，造成操作復(fù)雜、通用性差等不便。美國西北大學(xué)Belytchko等[5]基于差值函數(shù)單元分解的思想，在常規(guī)有限元的基礎(chǔ)上，提出了適合描述裂紋面的近似位移插值函數(shù)：

式中：N為所有常規(guī)點的集合；Ndic為被裂紋完全貫穿的單元節(jié)點的集合（圖1中的方塊節(jié)點）；Nasy為含裂尖單元點的集合（圖1中的圓圈節(jié)點）；ui，αj，分別表示常規(guī)單元節(jié)點、貫穿單元節(jié)點和裂尖單元節(jié)點的位移；H(x)為跳躍函數(shù)，用于反映裂紋面位移的不連續(xù)性，在裂紋面上、下側(cè)分別取+1和-1。

圖1 附加函數(shù)的加強(qiáng)節(jié)點和裂尖極坐標(biāo)Fig.1 Enriched nodes of addition function and local coordinate system of crack tip

φa(x)為裂尖漸進(jìn)位移場附加函數(shù)，反映裂尖的應(yīng)力奇異性。具體由以下基函數(shù)構(gòu)成：

式中：r，θ為以裂紋尖端為原點的極坐標(biāo)系，如圖1 右側(cè)所示。

擴(kuò)展有限元采用子區(qū)域積分法對不連續(xù)場進(jìn)行精確積分。

2 復(fù)合型裂紋

實際航空結(jié)構(gòu)斷裂力學(xué)的工程應(yīng)用中，由于結(jié)構(gòu)受力復(fù)雜，裂紋形式不局限于一種，常以復(fù)合形式存在，判定復(fù)合裂紋擴(kuò)展的斷裂準(zhǔn)則主要有最大周向正應(yīng)力準(zhǔn)則[6]和應(yīng)變能密度理論兩種。

最大周向正應(yīng)力準(zhǔn)則：假定裂紋初始擴(kuò)展沿著周向應(yīng)力σθ最大的方向，當(dāng)最大應(yīng)力達(dá)到臨界值時，裂紋開始擴(kuò)展。對于I型和Ⅱ型裂紋復(fù)合的情況，結(jié)合Irwin得到的裂尖區(qū)域應(yīng)力值，由應(yīng)力強(qiáng)度因子疊加原理可以得到I型和Ⅱ型復(fù)合裂紋的裂尖正應(yīng)力值：

取r=r0圓周上各點的σθ，有進(jìn)而有：

則開裂條件為：

復(fù)合裂紋作用下，裂紋將向與原裂紋成θ0的方向擴(kuò)展[7]，θ0的正負(fù)取決于的正負(fù)。

3 翼梁裂紋擴(kuò)展分析

3.1 翼梁受力以及應(yīng)力強(qiáng)度因子分析

機(jī)翼翼梁是飛機(jī)結(jié)構(gòu)疲勞及損傷容限設(shè)計中的危險部位，翼梁結(jié)構(gòu)失效直接關(guān)系到飛機(jī)的飛行安全。對于航空結(jié)構(gòu)的機(jī)翼翼梁，總體受力為承受剪力和彎矩的聯(lián)合作用，如圖2 所示。對于使用損傷容限設(shè)計的翼梁結(jié)構(gòu)，當(dāng)受拉緣條裂紋擴(kuò)展失效以后，裂紋擴(kuò)展到翼梁腹板，在腹板上的擴(kuò)展過程由于受到腹板切應(yīng)力和整個翼梁承受彎矩的共同作用時，裂紋擴(kuò)展速度較快，裂紋方向更為復(fù)雜，是飛機(jī)結(jié)構(gòu)的一種較為危險的失效模式，對于在翼梁腹板上的裂紋擴(kuò)展分析在工程上的應(yīng)用尤為重要。

圖2 翼梁受力示意圖Fig.2 Wing spar subjected to moment and force

在整個機(jī)翼翼盒結(jié)構(gòu)中，翼梁緣條裂紋擴(kuò)展過程中，翼梁承受的彎矩會小部分轉(zhuǎn)移到蒙皮結(jié)構(gòu)，翼梁腹板的切應(yīng)力保持不變，緣條完全斷裂后，腹板承受彎矩引起的拉應(yīng)力以及切應(yīng)力，屬于典型的I型和Ⅱ型裂紋同時存在的復(fù)合型裂紋擴(kuò)展。緣條斷裂以后裂紋會沿著一個角度繼續(xù)在腹板擴(kuò)展。裂紋擴(kuò)展示意圖如圖3所示。

翼梁的I型裂紋（見圖4）為彎矩引起的，根據(jù)手冊[8]的經(jīng)驗，當(dāng)梁腹板承受純彎曲應(yīng)力時，腹板邊裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子公式為：

圖3 翼梁腹板裂紋擴(kuò)展示意圖Fig.3 Crack growth trajectory of wing spar web

圖4 翼梁腹板Ⅰ型裂紋擴(kuò)展Fig.4 The Ⅰmodel crack growth of wing spar web

有限寬度板只承受切應(yīng)力時，裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子經(jīng)驗公式[9]為：

對于純Ⅱ型裂紋[10]，可以令KI=0，得出純Ⅱ型裂紋的擴(kuò)展角度為70.5°。當(dāng)機(jī)翼翼梁腹板為復(fù)合型裂紋擴(kuò)展時，裂紋擴(kuò)展角度的取值范圍為-70.5°～+70.5°。

3.2 翼梁裂紋擴(kuò)展有限元分析結(jié)果

在翼梁腹板裂紋擴(kuò)展分析中，翼梁組件包括緣條和腹板以及立柱結(jié)構(gòu)，翼梁選取三個肋間距的單翼梁長度進(jìn)行分析，僅研究裂紋在梁腹板的面內(nèi)擴(kuò)展時，初始裂紋切割為下緣條高度40mm完全斷裂。翼梁長度為1200mm，翼梁高度為330mm，翼梁腹板厚度為2mm，翼梁上下緣條為T 型材剖面，腹板材料為2014T3，詳細(xì)的翼梁材料性能以及翼梁的幾何參數(shù)見表1。

在翼梁腹板裂紋擴(kuò)展分析中，腹板厚度為2mm 時，有限元模型在外圍網(wǎng)格不變的情況下，在裂紋定義區(qū)域分別采用了三種網(wǎng)格尺寸，為1mm×1mm 網(wǎng)格、2mm×2mm 和4mm×4mm 的局部細(xì)化，主要分析網(wǎng)格密度對于擴(kuò)展有限元計算結(jié)果的影響，并與單翼梁結(jié)構(gòu)裂紋擴(kuò)展試驗的裂紋方向結(jié)果進(jìn)行對比分析。

表1 2014T3材料力學(xué)性能和翼梁幾何參數(shù)Table 1 Mechanical properties of 2014T3 and geometric parameter of wing spar

在翼梁腹板裂紋擴(kuò)展有限元模型中，翼梁一端施加剪力以及彎矩，在另一端為懸臂約束端，如圖5所示。

圖5 翼梁腹板裂紋擴(kuò)展分析示意圖Fig.5 Crack growth analysis of wing spar web

使用擴(kuò)展有限元的翼梁腹板裂紋擴(kuò)展分析計算結(jié)果如圖6 所示。在使用擴(kuò)展有限元分析過程中，使用單翼梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。在腹板的裂紋擴(kuò)展過程中，翼梁結(jié)構(gòu)開剖面的彎心會隨著裂紋長度的增長發(fā)生變化，而實際結(jié)構(gòu)中，翼盒中的翼梁與蒙皮組成閉剖面結(jié)構(gòu)，為簡便分析，有限元約束模擬簡化時，在翼梁緣條與腹板的交界線處增加垂直于腹板面的約束來限制翼梁的扭轉(zhuǎn)。

有限元分析結(jié)果表明，擴(kuò)展有限元在不重新劃分網(wǎng)格情況下，裂紋可以穿透單元，進(jìn)行裂紋擴(kuò)展模擬，大大提高分析效率，同時為復(fù)雜航空結(jié)構(gòu)裂紋擴(kuò)展分析提供方便途徑。

圖6 擴(kuò)展有限元裂紋擴(kuò)展計算示意圖Fig.6 XFEM crack growth analysis

4 翼梁腹板裂紋擴(kuò)展試驗驗證

4.1 試驗簡化

翼梁腹板裂紋擴(kuò)展試驗，翼梁組件包括緣條和腹板，翼梁選取4 個肋間距的單翼梁長度進(jìn)行分析及試驗，相鄰肋間距為300mm，腹板厚度為2mm，由于翼梁緣條斷裂后的裂紋擴(kuò)展過程直接威脅結(jié)構(gòu)安全，因此僅研究裂紋在梁腹板的面內(nèi)擴(kuò)展時，初始裂紋切割為下緣條高度40mm 的完全斷裂。

試驗過程中，翼梁加載端通過作動筒施加剪力以及彎矩，在試驗件翼梁另一端通過與實驗室承力墻連接進(jìn)行約束，同時使用三組防失穩(wěn)夾具限制翼梁的扭轉(zhuǎn)變形，翼梁腹板裂紋擴(kuò)展試驗的安裝圖如圖7所示。

圖7 翼梁腹板裂紋擴(kuò)展試驗圖Fig.7 Crack growth experiment of wing spar web

翼梁腹板裂紋擴(kuò)展試驗的過程結(jié)果如圖8 所示，裂紋擴(kuò)展方向發(fā)生轉(zhuǎn)折，以一定的角度擴(kuò)展。

4.2 應(yīng)力強(qiáng)度因子對比分析

在擴(kuò)展有限元分析中，針對某一固定長度裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行計算時，不需要重新劃分網(wǎng)格，但是需要定義增強(qiáng)函數(shù)的半徑，針對翼梁腹板的裂紋擴(kuò)展分析，著重分析了定義半徑對于裂紋的無量綱化應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響。擴(kuò)展有限元模型在裂紋擴(kuò)展區(qū)域分別采用三種較為精細(xì)的網(wǎng)格尺寸，分別為1mm×1mm、2mm×2mm和4mm×4mm時，網(wǎng)格結(jié)果對應(yīng)力強(qiáng)度因子影響不大，其中1mm×1mm 網(wǎng)格尺寸計算結(jié)果見表2。

圖8 翼梁腹板裂紋擴(kuò)展試驗過程Fig.8 Crack growth experiment process of spar web

表2 增強(qiáng)函數(shù)半徑對應(yīng)力強(qiáng)度因子影響Table 2 The effect of addition function R on stress intensity factor

隨著增強(qiáng)函數(shù)定義的半徑不同，無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子變化較大。

從圖9 中可以看出，增強(qiáng)函數(shù)半徑大于2.5 時，應(yīng)力強(qiáng)度因子的數(shù)值區(qū)域穩(wěn)定，收斂性較好，因此對于有限寬度的腹板裂紋擴(kuò)展，建議擴(kuò)展有限元的增強(qiáng)函數(shù)半徑取≥2.5。

4.3 混合裂紋擴(kuò)展角度對比分析

擴(kuò)展有限元模型在裂紋擴(kuò)展區(qū)域分別采用三種較為精細(xì)的網(wǎng)格尺寸，分別為1mm×1mm、2mm×2mm 和4mm×4mm。計算裂紋擴(kuò)展方向時，選用軟件中裂紋定義的XFEM，并允許裂紋擴(kuò)展。

圖9 增強(qiáng)函數(shù)半徑對應(yīng)力強(qiáng)度因子影響Fig.9 The effect of addition function R on stress intensity factor

根據(jù)式（5），計算裂紋擴(kuò)展角度，見表3，當(dāng)網(wǎng)格尺寸為1mm×1mm 時，計算翼梁腹板的轉(zhuǎn)角為21.92°，翼梁腹板裂紋擴(kuò)展的試驗結(jié)果為22.6°，擴(kuò)展有限元計算分析誤差較小，分析結(jié)果能夠滿足工程計算的需求，而且在裂紋尖端不需要重新劃分網(wǎng)格。

表3 復(fù)合型裂紋轉(zhuǎn)角對比Table 3 The mixed-model crack growth angles

擴(kuò)展有限元的裂紋擴(kuò)展路徑計算結(jié)果和試驗結(jié)果對比如圖10所示，三種網(wǎng)格尺寸的裂紋擴(kuò)展的角度經(jīng)測量均在21°左右，隨著網(wǎng)格密度的不同，裂紋擴(kuò)展的角度變化不大。

通過以上的分析及試驗驗證，結(jié)果表明，在擴(kuò)展有限元模型定義的裂紋擴(kuò)展區(qū)域，網(wǎng)格尺寸均為較精細(xì)前提下，網(wǎng)格尺寸對與復(fù)合型裂紋的擴(kuò)展角度影響較小。

5 結(jié)論

本文基于擴(kuò)展有限元裂紋擴(kuò)展方法，在翼梁腹板受到彎曲和剪切的載荷聯(lián)合作用下，開展了機(jī)翼梁腹板復(fù)合型裂紋擴(kuò)展分析及試驗驗證工作。分析和試驗的裂紋擴(kuò)展結(jié)果表明：

圖10 翼梁腹板復(fù)合裂紋擴(kuò)展角度對比Fig.10 The mixed-model crack growth angles of wing spar web

（1）擴(kuò)展有限元在不需要重新劃分網(wǎng)格的前提下，能夠模擬機(jī)翼翼梁腹板的復(fù)合型裂紋擴(kuò)展。擴(kuò)展有限元相對于傳統(tǒng)有限元在模擬不連續(xù)問題方面具有明顯的優(yōu)勢。

（2）擴(kuò)展有限元采用多種網(wǎng)格尺寸進(jìn)行對比分析，結(jié)果表明，擴(kuò)展有限元對于網(wǎng)格尺寸不敏感，能夠較好地模擬復(fù)合型裂紋的開裂角度。

（3）Abaqus擴(kuò)展有限元對于計算工程復(fù)雜受力結(jié)構(gòu)的應(yīng)力強(qiáng)度因子是可行的手段，計算精度能夠滿足工程實際的需求。