□ 王 賽，陳 巖

(南京林業(yè)大學(xué) 經(jīng)濟管理學(xué)院，江蘇 南京 210037)

1 引言

庫存作為一種為滿足未來需求而暫時閑置的資源，是管理者手中的一把雙刃劍。庫存不足，需要該存貨進行生產(chǎn)的工人和設(shè)備就要停歇，造成供應(yīng)中斷；庫存過多，卻會掩蓋生產(chǎn)或銷售中的許多問題，比如，前序階段生產(chǎn)速率下降，因為有存貨積壓后序階段未受到影響，一旦存貨消耗掉，才會發(fā)現(xiàn)前后生產(chǎn)速率不能匹配，過多的庫存甚至?xí)绊懫髽I(yè)的資金周轉(zhuǎn)。即便是在如今全渠道零售的環(huán)境下，研究重點也從渠道定價轉(zhuǎn)變成了庫存決策問題[1]。經(jīng)濟訂貨批量模型通過定量地分析庫存費用的構(gòu)成因素來求解最佳訂貨批量。本文意在對EOQ模型的部分假設(shè)做出適當(dāng)改動，降低其理想化程度，在新的條件下尋求新的最優(yōu)解。

EOQ模型理想的假設(shè)條件給學(xué)者們創(chuàng)造了巨大的研究空間。改變“需求率已知且為常量”的條件，黃世華等[2]在需求變化的之字形不確定分布條件下，以風(fēng)險最小化為目標(biāo)對EOQ模型進行修正；因高科技產(chǎn)品具有斜坡需求和延遲補貨的特點，羅兵等[3]將其顧客按價格偏好者和時間偏好者分類，采用數(shù)值仿真分析了系統(tǒng)主要參數(shù)對銷售商訂貨策略及總利潤的影響；Chanda等[4]為出售技術(shù)產(chǎn)品的公司尋找需求隨試驗重復(fù)購買情況下的訂貨策略。改變“完美批次”的條件，王嗣琦[5]為模型引入了安全存貨量進行修正，并證明了傳統(tǒng)EOQ模型是修正模型的一種特殊情況；Salehi,Hossein等[6]提出了一個具有隨機中斷和部分缺貨的EOQ模型，在由于質(zhì)量問題或正常短缺導(dǎo)致供應(yīng)鏈中斷時，客戶是否愿意等待下一批次交貨，又因為批次存在缺陷的概率有限，所以檢查批次后使用“全部接收或全部退回”策略，確定了最優(yōu)庫存成本及決策變量。考慮購置資金由借貸得到，張秀華等[7]建立新模型并尋求EOQ和JIT兩種采購方式之間的成本差，并改變利息率的大小畫出多條無差異曲線，發(fā)現(xiàn)年利息率越大，無差異平衡點的值越大，使得JIT在采購量較大的需求范圍內(nèi)成本更低；鄒裔忠[8]為模型加入了貸款利率參數(shù)，為資金需求方確定了存貨質(zhì)押融資的最優(yōu)定價策略?？紤]庫存品變質(zhì)、成本損失問題，倪郁東等[9]在EOQ模型中考慮帶有Taguchi成本損失下的最優(yōu)成本，并且假定品質(zhì)特性決定實際產(chǎn)品規(guī)格，品質(zhì)特性服從產(chǎn)品規(guī)格的指數(shù)分布，按照Taguchi方法計算質(zhì)量損失成本，進而分析年利潤受品質(zhì)特性的影響，發(fā)現(xiàn)年平均利潤比EOQ模型中求得的值要小，而最佳訂貨量卻高于EOQ；紀(jì)賢兵等[10]為模型加入了庫存變質(zhì)率參數(shù)，建立了多周期下生鮮農(nóng)產(chǎn)品考慮變質(zhì)的EOQ模型；陳杰等[11]建立多元馬爾科夫需求預(yù)測模型，研究了易變質(zhì)的多產(chǎn)品庫存控制策略。

唐飛[12]認(rèn)為在庫存控制中，成本因素不是唯一的衡量標(biāo)準(zhǔn)，像如社會因素、環(huán)境因素也應(yīng)被考慮其中，因而對EOQ模型進行了兩種改進：一是將環(huán)境因素(碳排放、碳足跡、可持續(xù)性等)作為約束條件；二是將環(huán)境因素成本化。朱連燕等[13]針對需求率、一次訂貨費、單位維持庫存費等不確定參數(shù)，結(jié)合徑向基函數(shù)模型和穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計的思想，提出新的優(yōu)化方法。EOQ模型多是在單一供需關(guān)系下被改進，而葉銀芳等[14]針對單供多需的供應(yīng)鏈關(guān)系，在需求為區(qū)間值的情況下構(gòu)建EOQ模型并給出多個需求方進行成本分?jǐn)偟牟┺姆椒?。Leopoldo Eduardo Cárdenas-Barrón等[15]在假定供應(yīng)商為零售商提供貿(mào)易信用期的情況下，為零售商求得庫存相關(guān)需求和維持庫存費非線性的EOQ模型[16]。

通過閱讀相關(guān)文獻，發(fā)現(xiàn)學(xué)者在EOQ模型的改進上做了大量的研究工作。他們?yōu)槟Ｐ湍軌蚪咏诱鎸嵉膸齑姝h(huán)境，將確定的參數(shù)變?yōu)椴淮_定，或者增加新的參數(shù)進行限制，指導(dǎo)企業(yè)更加合理地進行訂貨，為庫存管理提供了豐富的理論。本文的特色與創(chuàng)新主要體現(xiàn)在以下兩個方面：模型改進上，雙峰型需求變動的EOQ模型是針對產(chǎn)品的需求特性提出的，而維持庫存費非線性的EOQ模型是分析實際庫存環(huán)境下維持庫存費與庫存量的關(guān)系作出的，前者更具針對性，后者更具普遍性；模型構(gòu)建上，雙峰型需求變動的模型根據(jù)需求量關(guān)系式作出函數(shù)圖像，而維持庫存費非線性的EOQ模型先作出符合實際情況的曲線圖像，再為圖像找到合適的函數(shù)表達式。

2 EOQ模型改進研究

本文主要針對經(jīng)典EOQ模型兩條假設(shè)進行改進研究，分別改動并提出了雙峰型產(chǎn)品需求變動的EOQ模型和維持庫存費非線性的EOQ模型。

2.1 EOQ模型的基本假設(shè)和計算方法

EOQ模型有以下9個假設(shè)條件：

①外部對庫存系統(tǒng)的需求率已知、需求率均勻且為常量；

②一次訂貨量無最大最小限制；

③采購、運輸均無價格折扣；

④訂貨提前期已知，且為常量；

⑤訂貨費與訂貨批量無關(guān)；

⑥維持庫存費是庫存量的線性函數(shù)；

⑦不允許缺貨；

⑧補充率為無限大，全部訂貨一次交付；

⑨采用固定量系統(tǒng)。

其中，模型所涉及到的字母及其表示含義如下所示：

CT，CH，CR，CP，CS——庫存總費用，維持庫存費，訂貨費，購買費，缺貨損失費。

H——單位庫存量一年維持庫存費；

Q——最大庫存量，Q*為最佳訂貨批量或經(jīng)濟訂貨批量；

D——年需求量；

S——一次訂貨費；

P——進貨單價。

2.2 雙峰型產(chǎn)品需求變動的EOQ模型改進研究

EOQ模型的假設(shè)①提出，外部對庫存系統(tǒng)的需求率已知、需求率均勻且為常量。在現(xiàn)實生活中，企業(yè)里、市場上大部分物品或許能夠基本保持穩(wěn)定的需求量，可以適用此假設(shè)條件，而對于新上市的產(chǎn)品或季節(jié)性產(chǎn)品卻并不適用。因為新上市的產(chǎn)品無法確定消費者對其接受程度，即使之前做過充足的市場調(diào)查，仍然存在客觀原因譬如競爭者調(diào)價等非己方能夠控制的因素影響實際需求量；而對于季節(jié)性產(chǎn)品來說，大部分存在需求量按年波動的規(guī)律，譬如空調(diào)、冰箱是雙峰型產(chǎn)品，在夏季和冬季需求量較高，而圍巾、手套等是單峰型產(chǎn)品，只在冬季有較高的需求量。

①考慮峰值下t的取值。

一年的12個月，人們常把3月、4月、5月定為春季，6月、7月、8月定為夏季，9月、10月、11月定為秋季，12月、1月、2月則是冬季。我們假定雙峰型產(chǎn)品在6月末及12月末取得最高點，即函數(shù)在6、12處取得最大值，3、9處有最小值。

②確定ω。

③確定φ。

④確定A和k。

根據(jù)最大最小值可得二元一次方程組：

圖1 雙峰型產(chǎn)品月需求量變化圖

我們尋求經(jīng)濟訂貨批量是通過使得年費用最小來做到，所以，在其他假設(shè)條件不變的情況下，再來看下年庫存費用的表達式的變化。

在EOQ模型中，訂貨費和購買費都與D有直接關(guān)系。而在雙峰型產(chǎn)品需求變動的情況下，要求得一年的總需求量，就要依次算出每個月的需求量再加和。這里有必要說明一點，雖然我們在作圖時表現(xiàn)出來的函數(shù)圖像是連續(xù)的，這樣是為了方便觀察，但實際上是它離散的。因為t取某一值時，它的含義是“在某月期間內(nèi)，總需求量為多少”，因此t也只能取1-12之間的整數(shù)值。

現(xiàn)將1-12分別代入需求量關(guān)系式計算每月需求量經(jīng)計算，年需求量為8Dm。

所以，在需求變動的模型下，年庫存總費用為：

此時的經(jīng)濟訂貨批量：

2.3 維持庫存費非線性的EOQ模型改進研究

EOQ模型的假設(shè)⑥提出，維持庫存費是庫存量的線性函數(shù)。其實，在現(xiàn)實生活中并非如此，為了維持最初的那部分庫存量所需要的費用比較高，后來費用的增量會比庫存的增量要慢，也就是每增加一單位庫存量，所需要的增加的庫存費用會逐漸減少，類似于經(jīng)濟學(xué)中的邊際成本遞減規(guī)律。所以，本文將EOQ模型的假設(shè)⑥改成“維持庫存費不是庫存量的線性函數(shù)，而是隨庫存量增加，邊際維持成本會減小”。

圖2 實際維持庫存費與庫存量關(guān)系圖

由于我們只對維持庫存費即CH作了變動，其他假設(shè)條件沒有改變，因此并不涉及CR和CP的變化。在維持庫存費非線性模型下，年庫存總費用為：

現(xiàn)將該函數(shù)對Q求導(dǎo)：

令其等于0，得到：

化簡上述式子，得到一元二次方程：

kHQ2-SDQ-SD=0

因為：

Δ=S2D2+4kHSD>0

所以該方程存在兩個不同的根。

用公式法求得方程的根為：

因為:

而庫存量Q是非負的，所以方程的根即經(jīng)濟訂貨批量只能為：

3 模型應(yīng)用算例

本文選用了某醫(yī)院藥房的兩種藥品作為改進模型的算例對象。其中，鹽酸氯丙嗪片的需求具有雙峰性質(zhì)，是雙峰型產(chǎn)品需求變動EOQ模型的算例對象；而維持庫存費非線性的EOQ模型應(yīng)用上具有普遍性，所以對選取算例對象要求不高，只是單價高的藥品更能體現(xiàn)出新模型與原模型的訂貨批量差距，桔貝合劑較為合適。

3.1 雙峰型產(chǎn)品需求變動EOQ模型應(yīng)用

3.1.1 確定算例對象

本文選用需求具有雙峰性質(zhì)的藥品——鹽酸氯丙嗪片作為該模型的算例對象。該藥品是一種抗精神病類藥物，因精神病在春秋兩季易發(fā)作，所以其需求存在雙峰性質(zhì)。雖然本文在建立雙峰型產(chǎn)品需求變動EOQ模型時，峰期在夏季和冬季，而該藥品是在春秋兩季存在高峰，考慮到均是雙峰型且不影響年需求量，所以直接用公式計算。

3.1.2 算例過程

假設(shè)藥房在鹽酸氯丙嗪片需求量最高的月份有832瓶，進貨單價為9元，一次訂貨費為10元，H是由資金利息和倉儲費由構(gòu)成，且H=ph，其中h為資金效果系數(shù)，是資金年利息率和單位維持庫存費占物品價值的百分比之和，假設(shè)前者為12%，后者為18%，所以h是30%，則ph即H的計算結(jié)果為2.7元。也就是每存儲一瓶鹽酸氯丙嗪片，一年需維持庫存費2.7元，1000瓶需要2700元。

3.1.3 效果對比

現(xiàn)將鹽酸氯丙嗪片應(yīng)用經(jīng)典EOQ模型和改進EOQ模型的各項庫存費用作對比，如表1所示。

表1 鹽酸氯丙嗪片應(yīng)用改進前后模型費用對比表

觀察表1，改進的EOQ模型訂貨批量略小于原模型的值，且降低了年庫存費用。

3.2 維持庫存費非線性EOQ模型應(yīng)用

①確定算例對象。

由于該模型的提出是根據(jù)實際維持庫存費與庫存量的關(guān)系來的，為體現(xiàn)其與原模型的差距，本文選用進貨單價較高的桔貝合劑作為算例對象。

②算例過程。

假設(shè)某藥房有藥品桔貝合劑，每月需求量為1486瓶，則年需求量是17832瓶，該藥品的進貨單價為33元，一次訂貨費為10元，h仍為30%。由于模型中還存在一調(diào)節(jié)系數(shù)k需被確定，所以現(xiàn)通過對年維持庫存費用的分析來確定其值。

式子CH=kHln(Q+1)=kphln(Q+1)中Q是自變量，p、h已知，則ph即H的計算結(jié)果為9.9元。也就是在維持庫存費與庫存量之間是線性關(guān)系的情況下，每存儲一瓶桔貝合劑，一年需維持庫存費9.9元，1000瓶需要9900元。我們的模型指出，二者非線性關(guān)系，還需要kln(Q+1)來調(diào)節(jié)。調(diào)節(jié)的作用就是使得當(dāng)Q=1時，年維持庫存費遠大于9.9元；當(dāng)Q=1000時，年維持庫存費遠小于9900元。于是得到：

我們可以確定一個合適的k值20。在這種情況下，年維持一瓶需要137.24元，年維持1000瓶需要1367.93元。在實際應(yīng)用時，也可通過對H的量化來確定更科學(xué)的取值。

那么，CH=198ln(Q+1)。

求導(dǎo)并令其一階導(dǎo)數(shù)等于0得到方程：

198Q2-178320Q-178320=0

運用MATLAB對方程求解，得到方程的兩根分別是901.6050和-0.9989，顯然，經(jīng)濟訂貨批量Q*為902瓶。

③效果對比。

現(xiàn)將桔貝合劑應(yīng)用經(jīng)典EOQ模型和改進EOQ模型的各項庫存費用作對比，如表2所示。

表2 桔貝合劑應(yīng)用改進前后模型費用對比表

觀察表2，應(yīng)用改進模型得出的訂貨批量遠大于原模型，這主要是因為原模型的假設(shè)是“維持庫存費是庫存量的線性函數(shù)”，而桔貝合劑單價較高故而維持庫存費高，制約了訂貨量的上升，雖然在這樣較小的訂貨批量下取得的年庫存費用也少于改進模型，但仔細分析后，發(fā)現(xiàn)這些量還不夠滿足四天的需求，甚至可能無法滿足訂貨提前期的需求，頻繁進貨明顯會為管理人員帶來更多的工作負擔(dān)，再看改進后的維持庫存費非線性的模型下，訂貨批量明顯更為合理。

4 結(jié)論

在算例中，通過對比改進模型應(yīng)用前后的年庫存費用，可以肯定，改進的新模型擁有更加經(jīng)濟或合理的經(jīng)濟訂貨批量。目前只是對兩種藥品進行改進模型應(yīng)用，如果擴大使用，將會為醫(yī)院尋求到合適的庫存控制策略。對于公立醫(yī)院這樣的非營利性機構(gòu)而言，增加的流動資金可用于提高醫(yī)療設(shè)備、病房設(shè)施等；減少人員在庫存管理上的工作量也可以增加服務(wù)患者的時間。

本文雖然給出了新的假設(shè)條件下經(jīng)濟訂貨批量的計算方法，但由于自身能力有限，改動之后不能確定在需求量變動時訂貨點如何計算，影響EOQ模型的長期應(yīng)用。鑒于目前的研究有限，也無法考慮多假設(shè)條件變動時如何制定訂貨策略，有待進一步研究。