陳添明，姚占磊，張 竟

（三一汽車(chē)制造有限公司，湖南 長(zhǎng)沙 410000）

［關(guān)鍵字］伸縮折臂式高空作業(yè)車(chē)、工作空間計(jì)算方法、蒙特卡洛法

高空作業(yè)平臺(tái)車(chē)的作用廣泛應(yīng)用于市政建設(shè)、消防救護(hù)、建筑裝飾以及造船、石油、化工、航空等行業(yè)。它具有機(jī)動(dòng)靈活、覆蓋面廣、到達(dá)作業(yè)地點(diǎn)能迅速投入工作等優(yōu)點(diǎn)。其最重要的參數(shù)之一為工作平臺(tái)作業(yè)范圍，即在汽車(chē)底盤(pán)不移動(dòng)的情況下，工作平臺(tái)可以將人或器材運(yùn)達(dá)的范圍。因此，研究高空作業(yè)平臺(tái)的可達(dá)空間，避免出現(xiàn)作業(yè)死區(qū)是十分重要的。

雖然高空作業(yè)平臺(tái)的作業(yè)范圍與機(jī)器人機(jī)械臂的工作空間在計(jì)算和求解上是屬于同一類(lèi)問(wèn)題，但是高空作業(yè)平臺(tái)的作業(yè)范圍研究文獻(xiàn)卻很少。機(jī)器人機(jī)械臂的工作空間解法［1-3］通常有繪圖法、解析法、數(shù)值法。繪圖法是基于幾何關(guān)系用CAD軟件直接繪制工作范圍曲線(xiàn)的方法，常用于自由度少的平面問(wèn)題。解析法是基于公式表達(dá)式計(jì)算的工作空間計(jì)算方法，也是常用于自由度較少的情況，當(dāng)自由度較多時(shí)公式復(fù)雜從而難以計(jì)算。數(shù)值法以極值理論和優(yōu)化方法為基礎(chǔ)，計(jì)算工作空間邊界上的特征點(diǎn)，從而構(gòu)成的工作空間邊界曲線(xiàn)或曲面。該方法理論簡(jiǎn)單，操作性強(qiáng)，適合編程求解，但所得空間的準(zhǔn)確性與取點(diǎn)的多少有很大的關(guān)系，而且點(diǎn)太多會(huì)受到計(jì)算機(jī)速度的影響。典型的工作空間數(shù)值法有搜索法、迭代法和蒙特卡洛法［4-6］。

相比于機(jī)器人機(jī)械臂的工作空間計(jì)算，高空作業(yè)平臺(tái)的工作空間計(jì)算具有一定不同點(diǎn)：1）屬于大型機(jī)械，長(zhǎng)達(dá)幾十米甚至上百米；2）多個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)與多個(gè)滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)自由度相結(jié)合；3）工作平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度需要自動(dòng)調(diào)為水平。本文擬用蒙特卡洛數(shù)值法，把高空作業(yè)平臺(tái)進(jìn)行簡(jiǎn)化為6個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，研究其工作范圍的計(jì)算和評(píng)估方法，為大型工程機(jī)械的工作空間范圍計(jì)算提供一定 參考。

1 模型和方法

1.1 高空作業(yè)平臺(tái)分析模型

本文研究對(duì)象如圖1。

圖1所示為高空作業(yè)平臺(tái)的標(biāo)準(zhǔn)姿態(tài)，其主要分為下車(chē)、轉(zhuǎn)臺(tái)、上車(chē)3大部分。上車(chē)結(jié)構(gòu)可分為1號(hào)臂的1～5節(jié)臂、2號(hào)臂的1～2節(jié)臂、3號(hào)臂、工作平臺(tái)一共9個(gè)物體。

圖1 高空作業(yè)平臺(tái)車(chē)設(shè)計(jì)圖

根據(jù)研究目的，做如下簡(jiǎn)化：（1）忽略下車(chē)和轉(zhuǎn)臺(tái)，僅考慮變幅平面內(nèi)的影響，簡(jiǎn)化為平面二維問(wèn)題，以1號(hào)臂根鉸點(diǎn)為原點(diǎn)；（2）忽略臂節(jié)間的變幅和展開(kāi)油缸，用轉(zhuǎn)角變量代替油缸伸縮行程變量；（3）由于1號(hào)臂的5個(gè)臂節(jié)間靠油缸和繩排進(jìn)行同步伸縮運(yùn)動(dòng)，實(shí)際是1個(gè)自由度，把1號(hào)臂的5個(gè)臂簡(jiǎn)化為2個(gè)物體。簡(jiǎn)化后的模型如圖2。

圖2 高空作業(yè)平臺(tái)車(chē)分析模型簡(jiǎn)化圖

簡(jiǎn)化模型包含6個(gè)物體：1號(hào)臂2個(gè)物體OA和AB，初始長(zhǎng)度為；二號(hào)臂2個(gè)物體BC和CD，初始長(zhǎng)度為L(zhǎng)BD；三號(hào)臂1物體DE，初始長(zhǎng)度為L(zhǎng)DE；工作平臺(tái)1物體EFG，其中EF為工作平臺(tái)底部，要求保持水平角度，G點(diǎn)為工作平臺(tái)最外側(cè)頂點(diǎn)。

1號(hào)臂的OA和AB相對(duì)滑移鉸自由度用s1表示。OA相對(duì)于水平轉(zhuǎn)角用α表示。AB和BC夾角用β表示。BC和CD相對(duì)滑動(dòng)用s2表示。CD和DE夾角用γ表示。DE和EF夾角用θ表示。模型一共6個(gè)自由度：s1，α，β，s2，γ，θ。

以下推導(dǎo)工作平臺(tái)G點(diǎn)位置的計(jì)算公式。

初始時(shí)刻位姿時(shí)

記初始時(shí)刻矢量

其中 φ0為工作平臺(tái)∠GEF角度，為已知量。

分別記角度α，β，γ，θ變換的方向余弦陣為

則工作平臺(tái)G點(diǎn)的表達(dá)式為

由于要求工作平臺(tái)時(shí)刻保持水平，有角度關(guān)系補(bǔ)充方程

因此，實(shí)際上是5個(gè)自由度的求解。

1.2 工作空間蒙特卡洛法

蒙特卡洛法（Monte Carlo Method），又叫做統(tǒng)計(jì)模擬法，是借助于隨機(jī)抽樣（偽隨機(jī)數(shù)）進(jìn)行計(jì)算的數(shù)值方法。該方法適合于公式不能直接求解模型較為復(fù)雜的情況，只要給定變量的取值范圍，對(duì)變量進(jìn)行隨機(jī)離散代入抽象模型，算出解集。

蒙特卡洛法求解工作空間基本步驟如下：

（1）給定6變量的取值范圍，生成偽隨機(jī)變量：

（2）隨機(jī)生成N點(diǎn)的偽隨機(jī)數(shù)代入方程，求解出對(duì)應(yīng)N個(gè)姿態(tài)的工作平臺(tái)位置。最后把繪制N點(diǎn)坐標(biāo)值，即為工作平臺(tái)的作業(yè)范圍。

當(dāng)N取值較小時(shí)，所求解的空間精度會(huì)不足，當(dāng)N足夠大時(shí)，即可獲得滿(mǎn)意的解。解的精度可用點(diǎn)的包絡(luò)曲線(xiàn)圖面積進(jìn)行評(píng)價(jià)。圖3是工作空間包絡(luò)圖示意。

圖3 工作空間包絡(luò)線(xiàn)包絡(luò)面積計(jì)算圖

假設(shè)虛線(xiàn)包絡(luò)的面積Areal是工作空間真實(shí)解。實(shí)線(xiàn)為經(jīng)過(guò)蒙特卡洛法計(jì)算的當(dāng)前解外圍點(diǎn)包絡(luò)線(xiàn)包絡(luò)面積Asolve。當(dāng)

越趨近于1則表明計(jì)算的工作空間越逼近真 實(shí)解。

包絡(luò)線(xiàn)包絡(luò)面積的計(jì)算可以把包絡(luò)線(xiàn)根據(jù)x的最小值和最大值為特征點(diǎn)進(jìn)行分割投影計(jì)算。如上圖所示，A點(diǎn)為x最小值點(diǎn)，D為x最大值點(diǎn)。ABCD連線(xiàn)與x軸的投影A’B’C’D’可分解為3個(gè)平行梯形，從而計(jì)算出其面積。同理，可以計(jì)算出DEFA與x軸圍成的面積。兩面積之差就是當(dāng)前解包絡(luò)線(xiàn)包絡(luò)面積Asolve。當(dāng)包絡(luò)區(qū)域跨過(guò)x軸即y值有正負(fù)時(shí)，可對(duì)區(qū)域進(jìn)行y軸正向平移，使得包絡(luò)區(qū)域在都在y正向時(shí)再計(jì)算。這里給出的是連續(xù)閉環(huán)實(shí)心的包絡(luò)線(xiàn)工作面積計(jì)算方法，較為復(fù)雜時(shí)也可近似分解計(jì)算。

然而，隨著自由度的增加，基本算法的解在接近工作空間真實(shí)解包絡(luò)線(xiàn)的點(diǎn)數(shù)變得稀疏不均勻，不利于逼近真實(shí)解。原因是在邊界附近隨機(jī)點(diǎn)分布不夠多，取值離散點(diǎn)不足夠引起的。改進(jìn)的方法如圖4所示。

圖4 變量上下限分割示意圖

思路是對(duì)原變量的最大最小值之間進(jìn)行分割，適當(dāng)選取分割區(qū)間值作為上下限去生成偽隨機(jī)變量，計(jì)算對(duì)應(yīng)的工作空間。如上圖示例，實(shí)線(xiàn)之間是原變量的上下限區(qū)間，分割后用上下邊界兩套區(qū)間θi1～θi2、θin-1～θin以及中間一些區(qū)間（如可間隔選?。┐嬖瓍^(qū)間生成偽隨機(jī)變量后的計(jì)算更有利于獲得邊界的解。

2 算例

參數(shù)表如表1。

表1 參數(shù)表

θ自由度為工作平臺(tái)調(diào)平角度，其最值是由式（13）確定。

利用以上參數(shù)對(duì)高空作業(yè)平臺(tái)車(chē)進(jìn)行作業(yè)范圍的計(jì)算。研究不同離散計(jì)算次數(shù)對(duì)結(jié)果的影響。

圖5 蒙特卡洛法計(jì)算次數(shù)與包絡(luò)面積關(guān)系圖

為獲得更好的統(tǒng)計(jì)數(shù)值，減少誤差，圖5每個(gè)離散計(jì)算均進(jìn)行500次，獲取該計(jì)算次數(shù)下的工作空間解包絡(luò)線(xiàn)面積的平均值。圖5（a）為進(jìn)行了100次離散計(jì)算的工作空間圖示，中間的離散點(diǎn)較為稀疏，包絡(luò)線(xiàn)有角尖，不平滑，面積為1484。圖5（b）是800次離散計(jì)算工作空間圖示，離散點(diǎn)比圖5（a）的多了，包絡(luò)線(xiàn)也光滑，面積為1863。圖5（c）為計(jì)算6400次離散點(diǎn)計(jì)算工作空間圖示，點(diǎn)數(shù)足夠多，邊界也比圖5（b）光滑，面積為2080。圖5（d）也表示了隨著蒙特卡洛法離散計(jì)算點(diǎn)的增加，包絡(luò)曲線(xiàn)的面積越來(lái)越大，并且逐漸趨近于水平的穩(wěn)定值。說(shuō)明所求解的工作空間越來(lái)越逼近真實(shí)解。

為了解改進(jìn)算法對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，進(jìn)行同樣500次計(jì)算統(tǒng)計(jì)，以及相同離散點(diǎn)求解結(jié)果的對(duì)比。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖6。

由圖6（a）、（b）、（c）計(jì)算可見(jiàn)，相同次數(shù)的離散計(jì)算，改進(jìn)算法均比基本算法包絡(luò)面積都更大些。而且圖6（c）表明，計(jì)算結(jié)果包絡(luò)線(xiàn)比圖5（c）更光滑，離散點(diǎn)分散更到位些。圖6（d）的工作空間包絡(luò)面積曲線(xiàn)對(duì)比圖更說(shuō)明了改進(jìn)算法的有效性。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文有別于機(jī)器人機(jī)械臂工作空間的求解，做了3方面的工作：（1）建立了伸縮折臂式高空作業(yè)平臺(tái)車(chē)的工作空間作業(yè)范圍求解理論模型；（2）提出了用離散點(diǎn)包絡(luò)線(xiàn)包絡(luò)面積來(lái)評(píng)估工作空間解的方法；（3）提出了對(duì)變量進(jìn)行分割處理后再進(jìn)行蒙特卡洛法的工作空間改進(jìn)算法。這些工作可以為高空作業(yè)平臺(tái)車(chē)以及類(lèi)似的機(jī)械產(chǎn)品工作空間求解提供一定參考。

圖6 改進(jìn)蒙特卡洛法計(jì)算次數(shù)與包絡(luò)面積關(guān)系圖