劉 嵩， 韋亞萍， 劉靜漪， 張國(guó)平

(1.華中師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 武漢 430070；2.湖北民族大學(xué)新材料與機(jī)電工程學(xué)院， 湖北 恩施 445000)

混沌是非線性動(dòng)力系統(tǒng)的一種運(yùn)動(dòng)形式，描述了確定性非線性系統(tǒng)中的復(fù)雜現(xiàn)象.自Lorenz于1963年首次在確定性方程中發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象以來(lái)，學(xué)者們對(duì)混沌系統(tǒng)展開(kāi)了廣泛深入的研究，其理論已廣泛的應(yīng)用于生物醫(yī)學(xué)、信息科學(xué)、氣象學(xué)、圖像處理、天文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域[1-3]．

混沌系統(tǒng)具有遍歷性、有界性、對(duì)初始條件敏感等特征，非常符合數(shù)字圖像加密的需求，引起了圖像加密領(lǐng)域研究者的密切關(guān)注[4-5].文獻(xiàn)[6]改進(jìn)了Logistic混沌，采用擴(kuò)散-置亂-擴(kuò)散的方法對(duì)圖像進(jìn)行加密，降低了有限精度效應(yīng)，提高了密鑰空間.文獻(xiàn)[7]生成了四維多翼超混沌吸引子，采用混合加密方法，消除了確定的明文密文映射關(guān)系.文獻(xiàn)[8]分析了AES算法在處理大尺寸圖像時(shí)效率不高，需要增加額外的計(jì)算時(shí)間.文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)了一種基于塊加密認(rèn)證的圖像加密算法.文獻(xiàn)[10]首先置亂明文圖像的像素，然后通過(guò)混沌映射得到偽隨機(jī)序列，再利用得到的偽隨機(jī)序列與置亂圖像進(jìn)行異或操作實(shí)現(xiàn)像素?cái)U(kuò)散，最后通過(guò)S-Box進(jìn)行像素灰度值替換得到密文圖像，取得了較好的加密效果.文獻(xiàn)[11]提出一種彩色圖像加密方案，首先將彩色圖像的3個(gè)分量合成為一個(gè)灰度圖像，然后對(duì)圖像像素分別進(jìn)行行置亂和列置亂，實(shí)現(xiàn)圖像加密．

采用軌跡簡(jiǎn)單的混沌系統(tǒng)組成的密碼直接加密明文，能夠相對(duì)較容易的被破解.與單渦卷混沌系統(tǒng)或者雙渦卷混沌系統(tǒng)相比，多渦卷混沌系統(tǒng)控制參數(shù)更多，相應(yīng)的密鑰參數(shù)也就更多，而且在相空間中能呈現(xiàn)出復(fù)雜的多方向分布的網(wǎng)格狀渦卷，渦卷的數(shù)量和形狀等性能也可以由系統(tǒng)的參數(shù)來(lái)控制調(diào)整，因此具有更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為[12-15]，更有利于圖像加密.鑒于此，本文從研究5階線性系統(tǒng)出發(fā)，通過(guò)引入分段線性函數(shù)構(gòu)造一個(gè)多渦卷混沌系統(tǒng)，將該混沌系統(tǒng)應(yīng)用于一種新的“置亂+擴(kuò)散”加密算法，獲得了較為優(yōu)越的加密效果．

1 一種新的多渦卷混沌系統(tǒng)的構(gòu)建

首先構(gòu)建一個(gè)新的5階線性系統(tǒng)，該系統(tǒng)的雅克比矩陣為滿秩，保證系統(tǒng)唯一的平衡點(diǎn)屬于指標(biāo)2的鞍焦平衡點(diǎn)[16].新的五階線性系統(tǒng)描述為：

(1)

基于線性系統(tǒng)(1)，引入分段線性函數(shù)構(gòu)建多渦卷混沌系統(tǒng):

(2)

其中，fi(xi)是分段線性函數(shù)，為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，選擇階躍函數(shù)構(gòu)建分段線性函數(shù)，其表達(dá)式如式(3)和(4)，其中式(3)可以擴(kuò)展的渦卷數(shù)目為 2Ni+2，式(4)可以拓展的渦卷數(shù)目為2Mi+1．

sgn(xi+2nAi)]，

(3)

sgn(xi+(2n-1)Ai)].

(4)

如選擇Ai=1，Mi=1，即

fi(xi)=sgn(xi-1)+sgn(xi+1).

(5)

系統(tǒng)可以在每一維空間方向上擴(kuò)展3個(gè)渦卷，在MATLAB上的數(shù)值仿真如圖1所示．

圖1 五階系統(tǒng)的相圖Fig.1 Phase diagram of five-dimensional chaotic system

2 系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)分析

2.1 系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性與耗散性

從系統(tǒng)(2)可以看出，系統(tǒng)滿足(x，y，z，w，u)→(-x，-y，-z，-w，-u)，因此該系統(tǒng)是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，從而為擴(kuò)展多渦卷吸引子提供了可能.由于

(6)

所以系統(tǒng)(2)是耗散的，且以指數(shù)形式收斂，其運(yùn)動(dòng)軌跡被固定在一個(gè)吸引子上， 也說(shuō)明混沌吸引子是存在的[17-18]．

2.2 平衡點(diǎn)

(7)

2.3 Lyapunov指數(shù)和維數(shù)

選擇適當(dāng)?shù)某踔?，利用Wolf算法可以計(jì)算系統(tǒng)(2)的5個(gè)Lyapunov指數(shù)如下：

L1=0.1815，L2=0.1671，L3=-0.2208，

L4=-0.2212，L5=-0.5622，

系統(tǒng)有2個(gè)Lyapunov指數(shù)大于0，由此說(shuō)明系統(tǒng)(2)是一個(gè)超混沌系統(tǒng)[19]．

系統(tǒng)(2)的維數(shù)計(jì)算如下.

圖2 指標(biāo)2的鞍焦平衡點(diǎn)分布Fig.2 The saddle-focus equilibrium distribution of index 2

(8)

因此，系統(tǒng)(2) 的Lyapunov維數(shù)為分?jǐn)?shù)維數(shù)，也驗(yàn)證了系統(tǒng)(2)為混沌[20]．

3 多渦卷混沌系統(tǒng)在圖像加密中的應(yīng)用

3.1 圖像加密原理

混沌系統(tǒng)具有初值敏感性和不可預(yù)測(cè)性，是其能夠應(yīng)用于圖像加密的根本原因.采用系統(tǒng)(2)構(gòu)造的多渦卷混沌系統(tǒng)，用于圖像加密的方案原理如圖3所示．

圖3 圖像加密的方案原理圖Fig.3 Schematic diagram of image encryption scheme

本加密算法采用的密鑰為key={x0y0z0w0u0}，主要步驟如下：

Step1: 讀入待加密圖像P，設(shè)圖像大小為：M×N；

Step2: 錄入混沌系統(tǒng)參數(shù)值和初值，通過(guò)迭代生成5個(gè)混沌序列x，y，z，w，u；

Step3: 利用公式(9)從x序列中截取10個(gè)M長(zhǎng)的混沌序列row[10，M]，用于圖像行置亂.利用公式(10)從y序列中截取10個(gè)N長(zhǎng)的混沌序列column[10，N]，用于圖像列置亂.舍去前10 000個(gè)元素以消除混沌序列的暫態(tài)效應(yīng)；

row(i，∶)=x(i*1000+

10001∶i*1000+10000+M)，

(9)

column(i，∶)=y(i*1000+

10001∶i*1000+10000+N).

(10)

Step4: 按照式(11)將矩陣row(i，∶)按從小到大的順序進(jìn)行排序，得到一個(gè)位置序列L1，通過(guò)式(12)對(duì)圖像P進(jìn)行行置亂，得到圖像P1；

[y1，L1]=sort(row(i，∶))，

(11)

P1(j，∶)=P(L1(j)，∶).

(12)

Step5: 同理，將矩陣column(i，∶)按從小到大的順序進(jìn)行排序，得到一個(gè)位置序列L2，通過(guò)式L2對(duì)圖像P1進(jìn)行列置亂，得到圖像P2；

Step6: 重復(fù)Step4和Step5，依次對(duì)圖像進(jìn)行行置亂和列置亂，經(jīng)過(guò)10輪得到置亂圖像P3；

Step7: 通過(guò)式(13)、(14)首先提取z(10000+1，10000+M×N)、w(10000+1，10000+M×N)兩個(gè)偽隨機(jī)序列元素中小數(shù)點(diǎn)后第9～12位的二進(jìn)制數(shù)字，再將提取的兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)求模后加1，得到兩個(gè)隨機(jī)整數(shù)序列，最后將兩個(gè)隨機(jī)整數(shù)序列轉(zhuǎn)換成M×N的矩陣

K1={k1(i，j)}，K2={k2(i，j)}；

K1=reshape(mod(mod(floor(z(10000+1∶10000+M×N)*1012)，1000)，M)+1，M，N)，

(13)

K2=reshape(mod(mod(floor(w(10000+1∶10000+M×N)*1012)，1000)，M)+1，M，N)，

(14)

Step8: 通過(guò)式(15)取u(10000+1，10000+M×N)元素中小數(shù)點(diǎn)后9～12位數(shù)字，對(duì)256求模，得到一個(gè)0～255的隨機(jī)整數(shù)序列，將其轉(zhuǎn)換成M×N的矩陣K3；

K3=reshape(mod(mod(floor(u(10000+1:10000+M×N)*1012)，1000)，M)+1，M，N).

(15)

Step9: 通過(guò)式(16)對(duì)圖像P3進(jìn)行像素值擴(kuò)散，得到加密圖像．

P3(i，j)=bitxor(bitxor(P3(i，j)，K3(i，j))，

P3(k1(i，j)，k2(i，j))).

(16)

當(dāng)k1(i，j)=i且k2(i，j)=j時(shí)，式(16)修正為式(17)：

P3(i，j)=bitxor(P3(i，j)，K3(i，j)).

(17)

3.2 算法仿真結(jié)果

分別選取256×256的Lena、pepper和bridge灰度圖作為初始實(shí)驗(yàn)圖像，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示，說(shuō)明本算法可以完成圖像的加密和解密操作．

圖4 圖像的加密結(jié)果仿真Fig.4 Image encryption simulation results

3.3 密匙空間分析

該算法密匙由5個(gè)狀態(tài)變量的初值組成，假設(shè)計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)精度為10-15，則該算法的密匙空間為1015×1015×1015×1015×1015=1075.如果增加系統(tǒng)參數(shù)密匙，算法密匙空間將變得更大，也就具有更強(qiáng)的抵抗窮舉暴力攻擊的能力．

3.4 灰度直方圖分析

直方圖反映了數(shù)字圖像像素的各個(gè)灰度級(jí)與其出現(xiàn)概率的關(guān)系，直方圖分布越均勻，圖像數(shù)據(jù)越隨機(jī)，加密效果越好[21].圖5給出了明文圖像和密文圖像的灰度直方圖，從圖5可以看出，經(jīng)過(guò)加密運(yùn)算，圖像的灰度均勻性明顯優(yōu)于原始明文圖像，且密文的像素值在整個(gè)像素取值范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率趨于均等，有效地掩蓋了明文圖像像素值的分布情況，給攻擊者利用統(tǒng)計(jì)分析方法破解密文圖像增加了難度．

圖5 原始圖像和加密圖像灰度值直方圖Fig.5 Histogram of gray value of original image and encrypted image

3.5 相鄰像素的相關(guān)系數(shù)

圖像加密的目標(biāo)之一就是減少圖像相鄰像素的相關(guān)性，使相關(guān)系數(shù)趨于 0.為了評(píng)估加密圖像相鄰像素的相關(guān)性，在3幅實(shí)驗(yàn)圖像的明文圖像和密文圖像上分別隨機(jī)選取1 000個(gè)像素，計(jì)算相關(guān)系數(shù)

(18)

其中，cov(x，y)、D(x)、E(x)分別為協(xié)方差、方差和均值：

(19)

圖6是Lena原圖和加密圖像在水平、垂直和對(duì)角線三個(gè)方向的相關(guān)性.表1給出明文圖像和密文圖像在水平方向、垂直方向和對(duì)角線方向的相關(guān)系數(shù).從圖6可以看出明文圖像相鄰像素在水平方向、垂直方向和對(duì)角線方向上的相關(guān)性極強(qiáng)，而密文圖像相鄰像素在3個(gè)方向上相關(guān)性已經(jīng)非常小，對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)非常接近0，說(shuō)明明文圖像的統(tǒng)計(jì)特性已很好地?cái)U(kuò)散到密文圖像中．

表1 原始圖像與密文圖像相關(guān)系數(shù)的比較

圖6 Lena圖像相鄰像素相關(guān)性對(duì)比Fig.6 Correlation comparison of adjacent Lena pixels

3.6 密匙敏感性

密匙敏感性包括加密敏感性和解密敏感性，加密敏感性是用來(lái)表征在加密解密過(guò)程中，如果將加密密匙的某個(gè)參數(shù)值引入微弱的擾動(dòng)，得到的密文圖像與原密文圖像的差異程度，解密敏感性是用來(lái)表征在解密同一密文圖像時(shí)，對(duì)密匙引入微弱擾動(dòng)，得到的解密圖像與原明文圖像的差異程度.如果差異顯著，說(shuō)明該算法具有較好的敏感性.像素變化比率(NPCR)和歸一化平均變化程度(UACI)可以用來(lái)評(píng)價(jià)算法的加密敏感性[22-23]，其計(jì)算方法如下:

(20)

其中，M，N為圖像大小，C1(i，j)，C2(i，j)為兩個(gè)密文圖像，NPCR和UACI的理想值為99.6094%和33.4635%.為評(píng)估該算法的加密敏感性，在圖像加密過(guò)程中，分別對(duì)五個(gè)初值加以微弱擾動(dòng)，相應(yīng)的測(cè)試結(jié)果如表2所示.從表2可以看出在加密過(guò)程中，計(jì)算得到密文圖像的NPCR和UACI均接近理想值，證明了該算法在加密過(guò)程中具有良好的敏感性．

表2 密文圖像密匙敏感性

在解密過(guò)程中，采用同樣的辦法對(duì)密匙加以擾動(dòng)，相應(yīng)的測(cè)試結(jié)果如圖7所示，從圖7可以看出：加入擾動(dòng)后該算法不能正確解出原始圖像，同樣說(shuō)明了該算法具有良好的解密敏感性．

圖7 解密密匙敏感性測(cè)試(解密圖像)Fig.7 Sensitivity test for decryption key (decryption image)

3.7 信息熵

圖像信息熵也可以反映圖像灰度值的分布，一般來(lái)說(shuō)，圖像的灰度值分布越均勻，其信息熵就越大[24].其計(jì)算方法如下:

(21)

其中，L為像素的灰度級(jí)，p(xi)為灰度值xi出現(xiàn)的概率.表3給出了明文圖像和密文圖像的信息熵，從表3可以看出密文圖像的信息熵與理論值(8)非常接近.表4給出了本算法的信息熵與現(xiàn)有圖像加密方案得到的信息熵對(duì)比，從表4可以看出本算法的密文信息熵優(yōu)于其他文獻(xiàn)，說(shuō)明本算法具有更好的加密效果．

表3 明文圖像與密文圖像信息熵對(duì)比表

表4 信息熵對(duì)比分析表

3.8 抗剪裁分析

以Lena圖像為例，對(duì)密文圖像進(jìn)行剪裁，即將其中部分像素值置成0.表5給出了經(jīng)部分裁剪后的密文圖像及其對(duì)應(yīng)的解密圖像.從表5可以看出密文圖像經(jīng)過(guò)不同程度的裁剪后解密，得到的密文圖像雖然存在噪聲，但并不影響圖像的整體識(shí)別，說(shuō)明本算法對(duì)圖像各點(diǎn)置亂均勻，雖然剪切了一定面積的加密圖像，解密后的圖像都基本能辨清其輪廓.因?yàn)橛兄脕y操作，被剪切的解密圖像能均勻分散在整個(gè)圖像上，因此該算法可以抵抗剪切和噪聲污染的攻擊．

表5 剪裁的密文圖像及解密圖像

4 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了一種5階多渦卷混沌系統(tǒng)，分析了系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)特性，包括平衡點(diǎn)、Lyapunov指數(shù)、Lyapunov維數(shù)等.同時(shí)將該系統(tǒng)應(yīng)用于所提出的圖像加密算法，并對(duì)加密系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值仿真，仿真結(jié)果驗(yàn)證了算法的有效性，因此，本文提出的數(shù)字圖像加密系統(tǒng)在信息安全領(lǐng)域有潛在的應(yīng)用價(jià)值．