吳 桐，張志信，蔣 威

（安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230601）

自分?jǐn)?shù)階微積分這一概念在300多年前被提出至今，分?jǐn)?shù)階微積分理論已日趨成熟與完善。分?jǐn)?shù)階微積分因具有很好的遺傳性質(zhì)較之經(jīng)典微積分能夠更精確地描述實(shí)際應(yīng)用中的系統(tǒng)，這引起了很多學(xué)者對(duì)分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的廣泛關(guān)注。近三十年以來(lái)，分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)由于其在黏彈性系統(tǒng)、電介質(zhì)極化、生物系統(tǒng)以及凝聚態(tài)物理等各個(gè)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，得到了更為深入的研究[1-3]。有限時(shí)間穩(wěn)定的概念早在1953年由蘇聯(lián)學(xué)者Kamenkov[4]提出：如果在一給定的時(shí)間區(qū)間上給初始條件一個(gè)界，它的狀態(tài)變量不會(huì)超過(guò)某一個(gè)臨界值，那么這個(gè)系統(tǒng)在給定的時(shí)間區(qū)間上是有限時(shí)間穩(wěn)定的。到目前為止，經(jīng)典微分方程以及分?jǐn)?shù)階微分方程關(guān)于有限時(shí)間穩(wěn)定的研究較為廣泛，近年來(lái)國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于分?jǐn)?shù)階有限時(shí)間穩(wěn)定性問(wèn)題已經(jīng)展開(kāi)研究并取得了豐富的理論成果[5-12]。Lazarevic[5]運(yùn)用廣義Gronwall不等式給出了一類具常時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階線性微分系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定的充分性條件，我國(guó)學(xué)者張秀云[6]也對(duì)此類線性時(shí)滯系統(tǒng)給出了相關(guān)的有限時(shí)間穩(wěn)定性結(jié)果。文獻(xiàn)[7-8]討論了一類分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間穩(wěn)定性。關(guān)于分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性問(wèn)題，Li等[10-11]通過(guò)引入滯后Mittag-Leffler型矩陣函數(shù)給出了一類分?jǐn)?shù)階非線性時(shí)滯微分方程的顯式解，進(jìn)而給出了方程有限時(shí)間穩(wěn)定的充分性條件。近年來(lái)，脈沖微分系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定問(wèn)題也引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者們的廣泛關(guān)注[13-16]，相關(guān)學(xué)者研究并分別給出了線性時(shí)變微分系統(tǒng)、線性時(shí)變奇異微分系統(tǒng)、分?jǐn)?shù)階線性時(shí)變系統(tǒng)，以及分?jǐn)?shù)階時(shí)滯系統(tǒng)在帶脈沖情況下的有限時(shí)間穩(wěn)定性判據(jù)。然而，對(duì)同時(shí)含有脈沖和時(shí)變時(shí)滯因素的分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性問(wèn)題研究結(jié)果不多。本文在現(xiàn)有研究成果的基礎(chǔ)上，研究具有時(shí)變時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階非線性脈沖微分系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性問(wèn)題。

記號(hào)：?n表示n維歐氏空間；?n×m為所有n×m實(shí)矩陣的集合；自然數(shù)集記為?；?+=[ 0,+∞)，時(shí)間區(qū)間J=[ 0,T ]，其中T ∈?+是有限數(shù)；?表示全體復(fù)數(shù)集；Cn[ 0,+∞)為定義在[ 0,+∞)上的所有具有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)全體；記PC1( [ -τ,T ],?n)為[ -τ,T ]上具有左連續(xù)導(dǎo)數(shù)的所有n維分段連續(xù)函數(shù)全體構(gòu)成的Banach空間；任意x ∈?n，‖ x ‖為通常的歐氏范數(shù)；任意為矩陣A的最大奇異值，其中AT為矩陣A的轉(zhuǎn)置，λmax表示矩陣的最大特征值；對(duì)于函數(shù)矩陣A( t )，σA表示A( t )關(guān)于t的最大奇異值；n階單位矩陣記為In。

1 準(zhǔn)備知識(shí)

下面給出分?jǐn)?shù)階微積分的一些相關(guān)定義與引理。不失一般性，本論文中所有分?jǐn)?shù)階微分、積分的下限均設(shè)為0。

下面考慮如下分?jǐn)?shù)階非線性變時(shí)滯脈沖系統(tǒng)：

其中cDαx( t )為x( t )的α 階Caputo 導(dǎo)數(shù)，0 ＜α ＜1；t ∈[ -τ,T ]，x ∈?n為狀態(tài)變量，0=t0＜t1＜…＜tm＜tm+1=T；A( t )= ( aij( t ))n×n,aij( t )∈C[ 0,T ]；非線性泛函f( t,x( t ),x( t-τ( t )))∈C( [ 0,T ],?n)，且滿足f( t,0,0 )≡0；τ( t )為J 上的連續(xù)函數(shù)，且0 ≤τ( t )≤τ；φ( t )∈C( [ -τ,0 ],?n)為給定的初值函數(shù)；Bk∈?n×n為常值矩陣，且Bk≠In。

為了研究系統(tǒng)(1)，現(xiàn)作如下假設(shè)：

定義4[12]給定正實(shí)數(shù)δ,ε，δ ＜ε，則滿足初始條件x( t )=φ( t ),-τ ≤t ≤0 的系統(tǒng)(1)關(guān)于( δ,ε,φ,J)是有限時(shí)間穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)‖ φ ‖c≤δ ?‖ x( t )‖＜ε，?t ∈J，其中‖ φ‖c=‖ φ( θ )‖。

引理2[18]假定(H1)、(H2)成立，則x ∈PC1( [ -τ,T ],?n)為初值問(wèn)題(1)的解當(dāng)且僅當(dāng)x( t )滿足以下分?jǐn)?shù)階積分方程

2 主要結(jié)果

證明 對(duì)于t ∈( tn,tn+1],0 ≤n ≤m，由引理2有

對(duì)（3）式兩端取范數(shù)，則由范數(shù)的性質(zhì)及(H2)有

綜上，定理得證。

定理2 假定(H1)、(H2)成立，若系統(tǒng)（1）關(guān)于給定的δ,ε，δ ＜ε滿足條件：

證明 由引理2可知，系統(tǒng)（1）具有如（2）式的解，則對(duì)于t ∈( tn,tn+1],0 ≤n ≤m，有

對(duì)上式兩端取范數(shù)，由條件（4b）及（H2）有

推 論 若 假 設(shè) (H1) 中 L( t )≡L ( L 為 非 零 正 常 數(shù)），也 即 非 線 性 泛 函f( t,x( t ),x( t-τ( t )))∈C( [ 0,T ],?n)在[ 0,T ]是Lipschitz連續(xù)的，則將定理2中的條件（4a）改為

則系統(tǒng)（1）關(guān)于( )

δ,ε,φ,J 仍是有限時(shí)間穩(wěn)定的。

3 數(shù)值算例

下面給出具體的數(shù)值算例來(lái)說(shuō)明定理2的條件是有效的。例 考慮如下分?jǐn)?shù)階非線性脈沖時(shí)滯系統(tǒng)：

在該例中，A( t )=sin t，τ( t )=0.02，f( t,x( t ),x( t-τ( t )))=0.5 sin[ x( t )+x( t-0.02 )]，給出的有限區(qū)間J=[ 0,0.1 ](T =0.1)，考慮到x( t )的左連續(xù)性，這里給出9個(gè)脈沖點(diǎn)tk=0.01k(k=1,2,…,9)。容易看出‖ x( 0 )‖=‖ φ‖c=0.03，L=0.5，‖ Bk‖=0.05，σA=sin0.1。由定理1可以計(jì)算得到

取δ=0.03,ε=0.21，驗(yàn)證定理2的條件（4a）如下

4 結(jié) 論

本文針對(duì)一類分?jǐn)?shù)階非線性變時(shí)滯脈沖微分系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行了研究，所研究系統(tǒng)含有脈沖和時(shí)滯的因素，使得所研究的系統(tǒng)對(duì)具體模型有更好的適應(yīng)性。主要利用系統(tǒng)解的結(jié)構(gòu)和廣義不等式得到了保證系統(tǒng)有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定的充分條件，改進(jìn)了現(xiàn)有的處理技巧，推廣了相關(guān)的研究結(jié)果。同時(shí)，通過(guò)具體模型對(duì)定理的條件進(jìn)行了驗(yàn)證，證明了定理?xiàng)l件的有效性和合理性。