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        難題的“克星”

        2020-03-13 08:16:18黃旭軍
        數(shù)學大王·中高年級 2020年2期

        黃旭軍

        今天的數(shù)學課,老師把知識教完后,離下課還有十分鐘。于是老師突發(fā)奇想,出了道題目考大家:AB、CD分別表示兩位數(shù),AB+CD=149,那么A+B+C+D=(? ?)。

        這種條件少的題目,最傷腦筋。膽子大的班長先舉手了,班長說:“我把題目中的‘AB+CD=149設成‘74+75=149,求得A+B+C+D=23。后來再將其設成‘80+69=149,結(jié)果也是23。我猜測,這個題目的結(jié)果就是23!”

        “好!”數(shù)學老師帶頭鼓掌,“其實這道題目想考的是‘進位后數(shù)字和少9,所以‘1+4+9需要再加個‘9,才正好是各個數(shù)位的數(shù)字之和。可是,班長另辟蹊徑,巧妙運用設數(shù)法解決了這道難題!設數(shù)法可以說是難題的‘克星。”

        同學們紛紛向班長投來崇拜的目光。

        數(shù)學老師接著說:“設數(shù)法,經(jīng)常用來解決那些看上去缺少條件的題目。我們可以在設數(shù)中找到規(guī)律及方法,從而達到事半功倍的效果,‘攻克大多數(shù)的難題。”

        例1 現(xiàn)有一桶水,一頭牛15天喝完,一頭牛和一匹馬一起喝,10天喝完。請問:一匹馬喝這桶水,可以喝幾天?

        觀察

        開始

        細細讀題,你就會發(fā)現(xiàn)整個題目只有“天數(shù)”,沒有其他條件。所以我們可以把它看成工程問題來進行求解。

        一頭牛喝一桶水需要15天,那么一頭牛每天喝這桶水的1

        15。一頭牛和一匹馬一起喝這桶水,它們每天一共喝這桶水的1

        10,則1

        10-1

        15=1

        30。

        所以,一匹馬每天喝這桶水的1

        30,1÷1

        30=30(天),所以一匹馬喝這桶水能喝30天 。

        這樣做起來方便多了!

        我們可以設這桶水有30千克,“30”這個數(shù)既是15的倍數(shù),也是10的倍數(shù),并且還是一個整數(shù),也就是說,30是15和10的公倍數(shù)。

        一頭牛喝完這桶水需要15天,即每天喝30÷15=2(千克)。一頭牛和一匹馬一起喝,10天喝完,它們每天一共喝30÷10=3(千克)。那么,一匹馬每天喝3-2=1(千克)的水。30÷1=30(天)。

        答:一匹馬喝這桶水,可以喝30天。

        例2 小米上學時每分鐘走60米,放學時每分鐘走40米。小米往返的平均速度是多少?

        平均速度=總路程÷總時間。這道題的已知條件里,一個與之相關的都沒有,條件極少。面對此類問題我們怎么辦?

        結(jié)合所學的單位“1”的思想來解決這道題。我們可以把“從家到學校的路程”看作單位“1”,那么,小米上學和放學走的總路程就是“2”。上學走路所花的時間是1÷60=1

        60,放學走路所花的時間是1÷40=1

        40。小米上學和放學所花的總時間就是1

        60+1

        40=1

        24。根據(jù)“總路程÷總時間”就能把小米的平均速度求出來,即2÷1

        24=48(米/分)。

        答:小米往返的平均速度是48米/分。

        我們還可以用設數(shù)法來求解。設上學所走路程為120米,(只要能被60和40整除的數(shù)都可以,因為計算起來方便),這樣就可以求出小米往返的時間了。

        小米上學所花時間為120÷60=2(分鐘),放學所花時間為120÷40=3(分鐘),往返的總路程為120+120=240(米),小米的平均速度=240÷(2+3)=48(米/分)。

        答:小米往返的平均速度是48米/分。

        例3 一場聯(lián)歡會共有50名學生參加,第一個到會的女生和每個男生都握過手,第二個到會的女生只差1個男生沒握手,第三個到會的女生只差2個男生沒握手……最后一個到會的女生和7個男生握過手,那么這50名學生中有幾名男生?

        根據(jù)題目所給條件,已知總?cè)藬?shù)是50人,如果我們能知道男女生的人數(shù)相差多少,就能將題目解出了。

        常規(guī)

        思路

        我們試著列方程來解出題目。首先,設男生x人,女生y人。由總?cè)藬?shù)為50人可得,x+y=50。根據(jù)其他已知條件可得,x-(y-1)=7。把兩個式子相加可得,x+y+x-(y-1)=57,x=28。

        答:50名學生中有28名男生。

        另辟

        蹊徑

        如果用設數(shù)法來解這道題,能行嗎?我們一起來試一下。假設男生6人,女生6人,那么,第1個女生和6個男生握過手;第2個女生和5個男生握過手;第3個女生和4個男生握過手;第4個女生和3個男生握過手;第5個女生和2個男生握過手;第6個女生和1個男生握過手。

        當男生和女生人數(shù)一樣多時,最后一個女生會和1個男生握過手。而題目中最后一個女生和7個男生握過手,可知男生比女生多了7-1=6(人)。

        所以,(50+6)÷2=28(人)。

        答:50名學生中有28名男生。

        原來設數(shù)法不僅可以幫助我們解題,還可以幫助我們找到題目中的規(guī)律!

        訓練一二一

        1. AB、CD分別表示兩位數(shù),AB+CD=198,那么A+B+C+D=(? ?)。

        2. 小王在一個小山坡上來回跑。他先從山下跑上山,每分鐘跑200米,再沿原路下山,每分鐘跑240米。然后他又從原路上山,每分鐘跑150米,再從原路下山,每分鐘跑200米,求小王的平均速度。

        (答案見下期)

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