喬 浩，李新國，常武權(quán)

(1. 西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安 710072；2. 陜西省空天飛行器設(shè)計重點實驗室，西安 710072；3. 中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076)

0 引 言

再入飛行是溝通太空與陸地的重要飛行階段。自上個世紀(jì)的阿波羅計劃開始，各國的科技工作者對再入過程中的軌跡設(shè)計、制導(dǎo)與控制等技術(shù)進(jìn)行了持續(xù)而深入的研究[1-2]。按照是否跟蹤標(biāo)準(zhǔn)軌跡，制導(dǎo)方法主要可分為標(biāo)準(zhǔn)軌跡制導(dǎo)與預(yù)測校正制導(dǎo)兩大類。后者具有較強(qiáng)的任務(wù)適應(yīng)性，但對快速計算提出了較高要求[3]，對于常規(guī)的再入問題，前者以其簡潔與穩(wěn)定性具有較高的應(yīng)用價值[4]。在標(biāo)準(zhǔn)軌跡再入制導(dǎo)問題中，如何設(shè)計所需的標(biāo)準(zhǔn)軌跡是較為基礎(chǔ)的研究內(nèi)容，對后續(xù)制導(dǎo)、控制方法的選取以及性能有著深刻的影響[5]。

再入飛行需要考慮飛行器的防熱以及結(jié)構(gòu)安全問題。反映到軌跡設(shè)計過程中，即需要滿足熱流、過載以及動壓等約束。再加上對再入末端狀態(tài)的要求，軌跡設(shè)計問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€有限可行域的多約束求解問題。按照求解的出發(fā)點可分為最優(yōu)解與可行解兩類方法。一些學(xué)者選擇采用最優(yōu)化方法尋找最優(yōu)解，取得了大量的研究成果[6]。最優(yōu)解的質(zhì)量一般比較好，但這類方法有一個較為明顯的缺陷，即尋優(yōu)過程不可控。大量的迭代尋優(yōu)往往對應(yīng)著較長的求解時間，在某些情況下，計算還會陷入局部尋優(yōu)而導(dǎo)致求解失敗，因此一般用在飛行前的評估與地面準(zhǔn)備階段[7]。

另一求解思路即尋求滿足任務(wù)需求的可行解。這類方法通常將三維軌跡設(shè)計分解為縱向與側(cè)向軌跡設(shè)計兩部分。首先在縱向設(shè)計滿足過程約束以及終端約束的標(biāo)準(zhǔn)軌跡，之后加入側(cè)向制導(dǎo)邏輯控制傾側(cè)角反轉(zhuǎn)位置，使再入終端滿足任務(wù)需求。這類方法最早在航天飛機(jī)的再入制導(dǎo)中獲得應(yīng)用，即經(jīng)典的阻力加速度制導(dǎo)方法。具體分為軌跡設(shè)計與軌跡跟蹤兩部分。前者創(chuàng)造性地引入了航程與阻力加速度之間的關(guān)系，將航程轉(zhuǎn)化成再入走廊內(nèi)分段阻力加速度曲線，大大簡化了軌跡的設(shè)計流程[8]。在完成航程預(yù)測之后，側(cè)向通過設(shè)置航向偏差走廊控制傾側(cè)角的反轉(zhuǎn)。X-33、X-34以及X-37B等的再入制導(dǎo)，都是以航天飛機(jī)的制導(dǎo)方法為基礎(chǔ)設(shè)計的。航天飛機(jī)制導(dǎo)方法最大的問題在于采用了大圓弧假設(shè)，沒有考慮軌跡的曲率問題，因此末端航程有較大的偏差。

在此背景下，Saraf等[9]改進(jìn)了軌跡設(shè)計流程，提出了衍化的阻力加速方法(Evolved acceleration guidance logic for entry，EAGLE)。EAGLE將軌跡設(shè)計分為軌跡長度與軌跡曲率兩個子問題，相比于航天飛機(jī)的制導(dǎo)方法，主動考慮了軌跡長度與曲率的耦合關(guān)系，飛行末端的航程誤差大幅減小，所設(shè)計的軌跡更接近于真實軌跡。EAGLE在AG&C項目中獲得了很高的評價。但從本質(zhì)上講，在初始化與軌跡長度更新過程中該方法仍未完全脫離大圓弧假設(shè)，導(dǎo)致每次更新后的軌跡長度和真實長度都有一定偏差，需要通過多次迭代進(jìn)行更新。

除EAGLE方法之外，其他一些學(xué)者在軌跡設(shè)計過程中也考慮了軌跡的曲率問題。Shen等[10]在利用準(zhǔn)平衡滑翔條件進(jìn)行再入軌跡的設(shè)計過程中，得出在航程預(yù)測公式中保留航向偏差對大橫程飛行有益的結(jié)論，并根據(jù)初始與終端的航向偏差假設(shè)了線性近似的航向偏差剖面，改善了剩余航程的預(yù)測效果。Liang等[11]詳細(xì)討論了航向偏差對于軌跡設(shè)計的影響，并從宏觀的角度出發(fā)首次提出機(jī)動系數(shù)的概念，給出了一種新的再入軌跡設(shè)計流程。沈振等[12]改進(jìn)了傳統(tǒng)阻力加速度剖面，采用兩段折線與走廊邊界快速設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)軌跡，提高了標(biāo)準(zhǔn)軌跡制導(dǎo)方法的實時性。王濤等[13]將阻力加速度剖面與預(yù)測校正方法結(jié)合，由走廊上下邊界插值獲得標(biāo)準(zhǔn)軌跡，插值參數(shù)由預(yù)測校正方法確定，并在三維空間對標(biāo)準(zhǔn)軌跡進(jìn)行校正，提升了再入飛行能力。

本文提出一種改進(jìn)的三維再入軌跡設(shè)計方法。與EAGLE類似，該方法將軌跡設(shè)計分為軌跡長度、軌跡曲率兩個子問題。首先在軌跡長度子問題中對于軌跡長度相關(guān)的定義進(jìn)行梳理，對相應(yīng)計算公式進(jìn)行分析歸納；給出改進(jìn)的機(jī)動系數(shù)定義形式；之后給出完整的考慮機(jī)動系數(shù)的三維軌跡設(shè)計方法；最后設(shè)計了用于制導(dǎo)的軌跡跟蹤控制器。

1 再入動力學(xué)模型

為方便后續(xù)討論，在開展再入問題的研究之前，首先給出需要用到的動力學(xué)模型以及相關(guān)約束。假設(shè)飛行器為質(zhì)點，地球為均勻球體，忽略地球自轉(zhuǎn)。再入飛行器的總能量E定義為：

(1)

式中：V為速度大小，r為地心距，μ為地球引力場量，R0為均勻球體假設(shè)下的地球半徑。在實際求解中將能量歸一化，定義初始能量為0，終端能量為1，再入能量表示為(E-E0)/(Ef-E0)。以總能量E為自變量，則對應(yīng)的動力學(xué)模型為[14]：

(2)

式中：θ，φ分別為經(jīng)、緯度；γ，ψ分別為航跡傾角與航向角；g為地球引力加速度；σ為傾側(cè)角；L與D分別為升力、阻力加速度，其表達(dá)式如下：

(3)

式中：m為飛行器質(zhì)量，ρ為大氣密度，SA為參考面積，CL，CD分別為升力系數(shù)與阻力系數(shù)。

需要考慮的主要路徑約束為：

(4)

對于升阻比較大的再入飛行器，通常為改善軌跡質(zhì)量，還需要考慮平衡滑翔約束，取平衡滑翔約束中的傾側(cè)角σ=0°，有平衡滑翔條件為：

L-g+V2/r=0

(5)

此外，還要考慮終端高度hf、速度Vf、距目標(biāo)點距離Stogo,f以及航向偏差Δψf等約束。

2 軌跡長度相關(guān)定義

再入問題可分為軌跡長度問題與軌跡曲率問題兩部分，其中前者是再入制導(dǎo)的核心。對于依賴標(biāo)準(zhǔn)軌跡的制導(dǎo)方法，軌跡長度是規(guī)劃參考阻力加速度剖面的依據(jù)，標(biāo)準(zhǔn)軌跡的軌跡長度和實際軌跡長度越接近，后續(xù)跟蹤過程中由末端航程偏差導(dǎo)致的更新與迭代計算量越??；對于預(yù)測校正等不依賴標(biāo)準(zhǔn)軌跡的制導(dǎo)方法，每次預(yù)測階段對剩余航程的預(yù)測越準(zhǔn)確，指令校正收斂越快，也就降低了彈載計算機(jī)的計算量。

軌跡長度常見的描述方法有射程、航程、剩余航程、縱程、橫程等。其中，射程一般用于描述彈道導(dǎo)彈等從初始星下點到當(dāng)前星下點的大圓弧長度；航程在大多數(shù)研究中指星下點軌跡的真實長度；剩余航程是指飛行器當(dāng)前位置與目標(biāo)點連線對應(yīng)的星下點軌跡長度，通常被用于描述待飛距離?？v程與橫程是將整個再入飛行分解為沿著縱向目標(biāo)平面與垂直縱向目標(biāo)平面兩部分，前者對應(yīng)縱程，后者對應(yīng)橫程。在航天飛機(jī)的制導(dǎo)問題中，假設(shè)航向偏差較小，飛行器基本沿著縱向平面飛行，此時航程與縱程采用了相同的定義方式。常見的三種軌跡長度描述方式為：

(6)

式中：R0為地球半徑，Δψ為航向偏差：

Δψ=ψ-ψLOS

(7)

式中：ψLOS為飛行器當(dāng)前位置與終端位置連線對應(yīng)的視線角。由球面三角公式可得：

(8)

ΔΨ定義為關(guān)于初始縱向平面的航向偏差：

ΔΨ=ψ-ψLOS,0

(9)

式中：ψLOS,0為初始視線角。

Stogo=R0cos-1[cosφcosφfcos(θ0-θf)+sinφ0sinφf]

(10)

值得注意的是，該定義方式下Stogo對應(yīng)了每一瞬時飛行器與目標(biāo)點連線的大圓弧，并不是真實的剩余航程，這種差異在具有橫向大機(jī)動的場合中尤為明顯，導(dǎo)致制導(dǎo)過程需要不斷修正對剩余航程的估計。

(11)

圖1 S1～S3幾何關(guān)系示意圖

其中,δS1為直角三角形的斜邊，對應(yīng)的軌跡長度最長，描述了真實的航程情況。δSm為δS1在當(dāng)前視線方向的垂直分量。δS2與δS3分別對應(yīng)了δS1在視線方向與初始縱向平面內(nèi)的投影。二者之間的差異是由于Δψ與ΔΨ的不一致造成的，當(dāng)且僅當(dāng)飛行器位于星下點軌跡與初始視線在地面投影的交點位置(包括初始與終端點)時δS2=δS3。

(12)

式(10)中Stogo的計算方式不變，將其定義修改為剩余距離或剩余視線長度，而剩余航程的定義改為真實的剩余軌跡長度。對于定點再入問題，成功的判定標(biāo)準(zhǔn)為：在滿足高度、速度約束下，末端剩余視線長度為零；或再入末端橫程為零，縱程等于初始大圓弧長度。

3 再入機(jī)動系數(shù)

文獻(xiàn)[11]在定義機(jī)動系數(shù)時，將δS2作為瞬時縱程δStogo，將δSm作為瞬時橫程，此時：

(13)

式中：δSm/δStogo對應(yīng)了瞬時橫向運(yùn)動與縱向運(yùn)動的比例關(guān)系，用于描述當(dāng)前瞬時狀態(tài)下的機(jī)動水平。

之后，對式(14)進(jìn)行積分，獲得總航程Rflight的表達(dá)式為：

(14)

進(jìn)一步根據(jù)積分中值定理，將上式轉(zhuǎn)化為：

(15)

(16)

保留中間項是因為在一些諸如再入導(dǎo)彈的任務(wù)分析初期，雖然已知初始位置與目標(biāo)位置，但不確定給定的制導(dǎo)指令是否能導(dǎo)引導(dǎo)彈到達(dá)目標(biāo)位置，此時可采用中間項衡量機(jī)動系數(shù)，考察機(jī)動系數(shù)是否超過限制。當(dāng)給定的制導(dǎo)指令使Rfligth≥Rl，采用右端項簡單的形式求解機(jī)動系數(shù)。

4 三維軌跡設(shè)計

4.1 軌跡長度子問題

軌跡長度是跟蹤標(biāo)準(zhǔn)軌跡制導(dǎo)方法的前提，不同于EAGLE求解軌跡長度時的迭代方法，本文在已知Rl并給出合理Pm之后，即可確所需的真實軌跡長度Rflight。因此，本節(jié)主要研究Pm的確定方法。一個合理的飛行任務(wù)，首先必須保證目標(biāo)點在可達(dá)域之內(nèi)，此時Pm是一非空集合；當(dāng)Pm=φ時，表明沒有到達(dá)目標(biāo)的可行軌跡，任務(wù)不可行，需要更新初始條件或重新選擇目標(biāo)點。本文后續(xù)研究假設(shè)飛行任務(wù)可行，此時Rfligth≥Rl，對應(yīng)機(jī)動系數(shù)Pm≥1。但在實際飛行過程中，Pm=1表示無側(cè)向運(yùn)動，飛行器始終在初始目標(biāo)平面內(nèi)飛行，在給定攻角剖面的前提下，對應(yīng)了可達(dá)域的最遠(yuǎn)邊界，此時機(jī)動系數(shù)區(qū)間只有唯一解。因此對于一般的飛行任務(wù)，需要同時確定Pm的上、下界。

文獻(xiàn)[11]采用枚舉方法確定機(jī)動系數(shù)的可行集。在分析初期給定一系列機(jī)動系數(shù)，之后對每個機(jī)動系數(shù)對應(yīng)的軌跡長度規(guī)劃阻力加速度剖面，求出對應(yīng)的傾側(cè)角指令并加上側(cè)向制導(dǎo)邏輯生成完整軌跡，判斷是否滿足終端誤差要求。這種方法計算量較大，需要進(jìn)行大量的前期準(zhǔn)備工作，導(dǎo)致由機(jī)動系數(shù)確定軌跡長度的算法相比EAGLE等方法優(yōu)勢不明顯。而Pm的邊界問題相當(dāng)于求解給定縱程Rl情況下，航程Rfligth的最大值、最小值，因此可以轉(zhuǎn)化為簡單的邊界優(yōu)化問題。采用提前給定的攻角剖面αref，控制量為σ，Rfligth，max對應(yīng)最優(yōu)化問題：

minJ(σ)=-Rflight

(17)

類似的，Rfligth,min對應(yīng)的最優(yōu)化問題為：

minJ(σ)=Rflight

(18)

式中：sT為剩余距離約束，Stogo,f由末端經(jīng)、緯度與目標(biāo)點經(jīng)、緯度確定。值得注意的是，給定初始狀態(tài)與終端狀態(tài)后，Pm的取值范圍隨之確定，即：Pm∈[Rflight,min/Rl,Rflight,max/Rl]。后續(xù)只要初始狀態(tài)與終端約束不改變，則可直接根據(jù)機(jī)動性需求選取合適的Pm，確定出實際需要的軌跡長度，對于軌跡的快速生成有較好的應(yīng)用潛力。

4.2 阻力加速剖面生成

確定軌跡長度之后，即可在阻力加速度與能量空間按照縱向軌跡的規(guī)劃方法，規(guī)劃滿足實際軌跡長度的阻力加速度剖面[15]。對E關(guān)于時間求導(dǎo)，有：

(19)

(20)

式中：E0與Ef分別為初始與終端能量。由于r-R0?r，且γ較小，因此引入假設(shè)：R0/r≈1，cosγ≈1，Rflight關(guān)于D的關(guān)系轉(zhuǎn)化為：

(21)

熱流率、過載、動壓對應(yīng)的阻力加速度邊界為：

(22)

對應(yīng)的準(zhǔn)平衡滑翔邊界為：

(23)

參考阻力加速度剖面的求解問題轉(zhuǎn)化為：在熱流率、過載、動壓以及準(zhǔn)平衡滑翔邊界確定的再入走廊內(nèi)，確定一條滿足實際軌跡長度的阻力加速度剖面。考慮到式(22)諸多假設(shè)的存在，實際阻力加速度剖面應(yīng)以式(22)為基礎(chǔ)微調(diào)。之后即可求解出σ的幅值。由于阻力加速剖面的規(guī)劃方法已經(jīng)很成熟，本文不再贅述。值得注意的是，由于Rflight是由機(jī)動系數(shù)直接確定的真實軌跡長度，與基于大圓弧假設(shè)的軌跡規(guī)劃方法相比規(guī)劃的阻力加速度剖面更長，也更符合實際，避免了再入過程中因為末端航程偏差過大造成的阻力加速的剖面頻繁更新，減輕了制導(dǎo)系統(tǒng)的負(fù)擔(dān)。

4.3 軌跡曲率子問題

在確定軌跡長度之后，還需要確定傾側(cè)角的符號，求解軌跡的曲率問題。本文采用一種動態(tài)的航向偏差走廊求解軌跡曲率問題。與確定的反轉(zhuǎn)次數(shù)相比，該方法具有較大的靈活性，在軌跡長度確定后，動態(tài)調(diào)節(jié)走廊邊界即可較好滿足末端約束，動態(tài)航向偏差走廊如圖2所示[16]。

圖2 動態(tài)航向偏差走廊

圖2中，Δψ0與Δψf提前給定，ΔψB為可調(diào)節(jié)邊界。在航向偏差的許可范圍之內(nèi)，軌跡曲率問題轉(zhuǎn)化為搜索合適的ΔψB，使末端約束得以滿足。采用牛頓割線法進(jìn)行搜索：

(24)

式中：i為迭代次數(shù)。當(dāng)確定ΔψB邊界之后，即可確定傾側(cè)角的符號：

(25)

式中：Δψu(yù)p與Δψdown分別為航向偏差的上下界。

在解決軌跡曲率子問題之后，即完成了再入標(biāo)稱軌跡的設(shè)計。相比于EAGLE等傳統(tǒng)方法，本文提出的方法從宏觀角度出發(fā)，省去了軌跡長度的迭代求解過程，能在量化機(jī)動性的同時，更快速獲得制導(dǎo)所需的合理標(biāo)稱軌跡。算法的流程如圖3所示。

圖3 基于機(jī)動系數(shù)的軌跡生成算法邏輯

5 仿真校驗

本文采用CAV-H這種典型的高超聲速滑翔飛行器作為研究對象，對軌跡生成算法進(jìn)行仿真校驗。CAV-H的詳細(xì)參數(shù)由文獻(xiàn)[17]給出。假設(shè)初始航向?qū)?zhǔn)目標(biāo)，采用表1數(shù)據(jù)進(jìn)行初始化。

表1 初始和終端要求

再入過程中的最大熱流率取4 MW/m2，最大過載取3g，最大動壓取70 kPa，末端能量管理區(qū)域半徑取50 km。CAV-H的固定攻角剖面參考文獻(xiàn)[18]，并結(jié)合實際的氣動參數(shù)表，確定為：

(26)

表1任務(wù)對應(yīng)的縱程Rl=6671.7 km。許多優(yōu)化方法都可用于機(jī)動系數(shù)的求解，本文采用文獻(xiàn)[19]提出的優(yōu)化方法確定Pm的上下界?？傻茫篜m∈[1.0109,1.1461]，對應(yīng)的地面軌跡如圖4所示。

圖4 給定攻角剖面對應(yīng)的機(jī)動系數(shù)邊界

值得注意的是，攻角剖面對Pm的取值范圍有較大影響，當(dāng)攻角作為控制量參與優(yōu)化過程時，有Pm∈[1.0109,1.2824]。相比攻角剖面給定的情形，最大機(jī)動航程增加了約900 km。但攻角作為控制量在高超聲速飛行中存在諸如熱防護(hù)、穩(wěn)定性、舵效等問題，因此在任務(wù)設(shè)計初期需依據(jù)機(jī)動性與攻角可控邊界折中選擇攻角的給定方式。由于規(guī)劃的軌跡長度代表了飛行器的飛行能力，規(guī)劃的軌跡長度越長，表明飛行能力越強(qiáng)，因此在確定機(jī)動系數(shù)取值范圍之后，應(yīng)盡量遠(yuǎn)離下邊界取值，以防止在實際飛行過程中由于隨機(jī)干擾、傾側(cè)角翻轉(zhuǎn)次數(shù)過多等影響造成能量的額外耗散。同時，選擇較大的機(jī)動系數(shù)能夠保證有足夠的應(yīng)急飛行能力，為故障后的應(yīng)急返回或目標(biāo)重新選擇等任務(wù)場景預(yù)留較多的飛行能力。在給定攻角剖面的前提下，取Pm=1.08作為當(dāng)前任務(wù)的機(jī)動系數(shù)，對應(yīng)的需求軌跡長度Rflight=Pm·Rl。需要指出的是，由于為末端能量管理段預(yù)留了少量的剩余航程，更為精確的真實軌跡長度應(yīng)該減去該部分。

實際阻力加速剖面根據(jù)參考阻力加速度剖面D(E)計算出(L/D)cosσ及|(L/D)cosσ|并積分動力學(xué)方程獲得。EAGLE方法在側(cè)向簡化動力學(xué)中采用開環(huán)制導(dǎo)指令，在本文中不適用。為了更精確地跟蹤參考阻力加速度剖面，在實際飛行過程中考慮偏差的影響，增加反饋環(huán)節(jié)以提高跟蹤效果。忽略對過渡過程的積分項，采用pd控制進(jìn)行參考軌跡跟蹤，可得參考軌跡跟蹤控制器如下：

(27)

(28)

式中：取ω0=0.09，ξ=0.1。

滿足真實軌跡長度的參考阻力加速度剖面以及在實際制導(dǎo)中跟蹤的阻力加速度剖面如圖5所示。

相應(yīng)的速度-高度、航跡傾角與航向角以及航向偏差如圖7～圖10所示。其中終端高度、速度落入指定區(qū)間；航跡傾角基本保持較小值；終端航向偏差較小。

跟蹤參考阻力加速剖面的真實傾側(cè)角與攻角指令如圖6所示。

圖5 再入走廊及參考、實際阻力加速度剖面

圖6 攻角及傾側(cè)角

圖7 航跡傾角與航向角

不同機(jī)動系數(shù)對應(yīng)的三維再入軌跡與地面投影如圖11所示。

可知，跟蹤通過指定機(jī)動系數(shù)Pm方式規(guī)劃的再入軌跡能夠到達(dá)指定的末端區(qū)域。不同機(jī)動系數(shù)對應(yīng)的終端誤差如表2所示。

圖8 高度隨歸一化能量變化曲線

圖9 速度隨歸一化能量變化曲線

圖10 航向偏差隨歸一化能量變化曲線

圖11 再入軌跡與地面投影

表2 終端偏差

可見由機(jī)動系數(shù)出發(fā)的標(biāo)準(zhǔn)軌跡再入制導(dǎo)方法能夠滿足再入段與能量管理段的交班要求。

6 結(jié) 論

本文研究了一種基于機(jī)動系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)軌跡制導(dǎo)方法，提出了改進(jìn)機(jī)動系數(shù)的概念，并采用該系數(shù)從宏觀角度出發(fā)研究了標(biāo)準(zhǔn)軌跡的快速生成方法。不同于EAGLE等方法，軌跡長度作為與機(jī)動性相關(guān)的參數(shù)直接指定，有目的地規(guī)劃滿足需求的阻力加速度剖面。本文提出的軌跡生成方法由于不含大圓弧假設(shè)，因此不需要通過逐次迭代的方式獲得所需的軌跡長度。機(jī)動系數(shù)的區(qū)間只與任務(wù)剖面有關(guān)，對于確定的任務(wù)可以快速給出具有不同機(jī)動程度的飛行軌跡。機(jī)動系數(shù)直接定義為軌跡長度與縱程的比例關(guān)系，直觀描述了再入飛行過程中橫向機(jī)動的程度，給出了一種再入過程中機(jī)動性的量化方法。機(jī)動系數(shù)的取值空間大小，對應(yīng)了攻擊指定目標(biāo)可選機(jī)動性的大小，也反映了備選彈道的多樣性程度，后續(xù)可根據(jù)這一特點開展多枚再入導(dǎo)彈協(xié)同攻擊、協(xié)同突防等問題的研究。用于軌跡跟蹤的控制器形式簡單，在實際中還可采用LQR等方法進(jìn)行軌跡跟蹤形成新的制導(dǎo)框架。