(重慶工商大學(xué) 重慶 400067)

一、分?jǐn)?shù)階GM(1,1)模型

分?jǐn)?shù)階GM(1,1)模型是基于互逆的分?jǐn)?shù)階累加生成算子與分?jǐn)?shù)階累減生成算子，將GM(1,1)經(jīng)典灰色預(yù)測模型的建模數(shù)據(jù)從一階累加生成算子拓展到分?jǐn)?shù)階累加生成算子，建立的分?jǐn)?shù)階算子灰色預(yù)測模型，并通過粒子群優(yōu)化算法，給出該模型在最小平均相對誤差、最小均方誤差下的最優(yōu)階數(shù)。

(一)分?jǐn)?shù)階累加與累減生成算子

定義1[1]設(shè)X(0)為原始序列,X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))為X(0)的一階累加生成算子,其中

(1)

定理1[2]設(shè)X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))為原始序列,r=R+,

X(r)=(x(r)(1),x(r)(2),…,x(r)(n))為X(0)的r階累加生成算子,其中

(2)

定義2[1]設(shè)X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))為原始序列,X(-1)=(x(-1)(1),x(-1)(2),…,x(-1)(n))為X(0)的一階累減生成算子,其中

x(-1)(k)=x(0)(k)-x(0)(k-1),k=1,2,…,n

(3)

定理2[2]設(shè)X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))為原始序列,r∈R+,X(-r)=(x(-r)(1),x(-r)(2),…,x(-r)(n))為X(0)的r階累減生成算子,其中

(4)

(二)分?jǐn)?shù)階GM(1,1)模型

定義3 設(shè)X(0)如定義1,X(r)如定理1定義,Z(r)=(z(r)(2),z(r)(3),…,z(r)(n)),其中,

稱

x(r-1)(k)+az(r)(k)=b

(5)

為分?jǐn)?shù)階算子GM(1,1)模型.

特別當(dāng)r=1時,x(r-1)(k)+az(r)(k)=b變?yōu)閤(0)(k)+az(1)(k)=b,即均值GM(1,1)模型.

(三)階數(shù)優(yōu)化粒子群算法

粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Optimization,PSO)是由Eberhart和Kennedy于1995年提出的一種全局優(yōu)化進(jìn)化算法[3],其基本概念源于對鳥群覓食行為的研究.PSO算法具有概念較簡單,需要調(diào)整參數(shù)不多,易于編程實現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn),已廣泛應(yīng)用于函數(shù)優(yōu)化和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練等領(lǐng)域[4]。最小平均相對誤差下分?jǐn)?shù)階算子GM(1,1)模型的最優(yōu)階數(shù)在于求解如下最優(yōu)化問題:

(10)

二、基于分?jǐn)?shù)階GM(1,1)模型的人口總量預(yù)測

(一)原始序列長度及種群規(guī)模參數(shù)的確定

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列個數(shù)為n,粒子群優(yōu)化算法中種群規(guī)模為N，為了提高模型預(yù)測精度，本文從原始數(shù)據(jù)序列長度和粒子群優(yōu)化算法中種群規(guī)模兩個方面對模型進(jìn)行參數(shù)調(diào)節(jié)，以期得到一個精度相對較高的預(yù)測模型。當(dāng)種群規(guī)模N=50、60、70、80，原始數(shù)據(jù)序列的長度n=5、6、7、8、9、10、11、12、13、14時，分別對我國人口總量進(jìn)行預(yù)測。

分析研究結(jié)果，從總體來看，當(dāng)種群規(guī)模一定的情況下，原始數(shù)據(jù)序列長度對預(yù)測精度的影響較大，而當(dāng)原始序列長度一定時，種群規(guī)模大小對預(yù)測精度的影響相對較小。當(dāng)種群規(guī)模N分別為50、60、70、80，原始數(shù)據(jù)序列長度均為n=7時，預(yù)測精度最高，因此最優(yōu)原始序列長度為n=7。當(dāng)n=7時，種群規(guī)模為50時模型模擬精度最高。由此，本文中當(dāng)n=7，N=50時，分?jǐn)?shù)階GM(1,1)模型預(yù)測精度較高，平均相對誤差為0.35%，模擬精度為99.65%，符合灰色系統(tǒng)理論的一級精度要求,可用于對中國未來總?cè)丝谶M(jìn)行預(yù)測。

(二)基于分?jǐn)?shù)階GM(1,1)模型的人口總量預(yù)測

基于以上分析，確定當(dāng)參數(shù)原始序列長度n=7,種群規(guī)模N=50時，分?jǐn)?shù)階GM(1,1)模型預(yù)測精度較高。本文構(gòu)建n=7,N=50的分?jǐn)?shù)階GM(1,1)模型，選取2009-2015年全國人口總量為原始數(shù)據(jù)序列，即X0=(133450，134091，134735，135404，136072，136782，137462)，預(yù)測2016-2018年的人口總量，預(yù)測結(jié)果如表2所示。

表2 2016-2018年人口總量預(yù)測值(單位：萬人)

三、結(jié)論與討論

本文在分?jǐn)?shù)階GM(1,1)模型的基礎(chǔ)上，通過調(diào)節(jié)原始數(shù)據(jù)序列長度及粒子群優(yōu)化算法中種群規(guī)模大小兩個參數(shù)，得到模型模擬精度相對較高的參數(shù)，構(gòu)建分?jǐn)?shù)階GM(1,1)模型，對全國人口總量進(jìn)行預(yù)測。經(jīng)過誤差檢驗，調(diào)節(jié)參數(shù)后的分?jǐn)?shù)階GM(1,1)模型避免了傳統(tǒng)分?jǐn)?shù)階GM(1.1)模型因原始數(shù)據(jù)序列長度及種群規(guī)模大小選取不同而導(dǎo)致的模型模擬精度時高時低的問題，從而能夠更加準(zhǔn)確地預(yù)測人口總量。