(榆林公路管理局 陜西 榆林 719000)

近年來(lái)，各種分形維數(shù)如盒維數(shù)、自相似維數(shù)、信息維數(shù)以及關(guān)聯(lián)維數(shù)已經(jīng)被廣泛地運(yùn)用于結(jié)構(gòu)的損傷診斷中。同時(shí)越來(lái)越多的人將分形位數(shù)用于橋梁結(jié)構(gòu)的損傷診斷當(dāng)中。分形維數(shù)既可以對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行整體刻畫，又不依賴于系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，基于分形理論的橋梁結(jié)構(gòu)損傷診斷使得判斷結(jié)構(gòu)損傷診斷較為容易。

一、Katz維數(shù)

文獻(xiàn)[1]提出了一種估計(jì)波形的分形維數(shù)方法，也被叫做Katz維數(shù)[2][3][4]。Katz維數(shù)由于其對(duì)噪音的不敏感性常常被國(guó)內(nèi)外研究人員所采用，曲線的分形維數(shù)(Fractal dimension)近似定義為：

(2.13)

其中d為曲線上第一個(gè)點(diǎn)與曲線內(nèi)第i個(gè)點(diǎn)距離的最大值，可表示為d=maxdist(1,i)。L是曲線內(nèi)線段總長(zhǎng)度,n是滑動(dòng)窗內(nèi)的總樣本數(shù)，定義為n=L/l。l為兩相鄰測(cè)點(diǎn)的平均距離(平均步長(zhǎng))。如圖所示以(x3,y3)為中心，滑動(dòng)窗含有4個(gè)樣本距為例，求目標(biāo)參數(shù)L,d。各參數(shù)已在圖中梁段表示出來(lái)，以(x3,y3)為中心含4個(gè)樣本距滑動(dòng)窗L,d的計(jì)算公式為

(2.14)

(2.15)

圖2-6 以(x3,y3)為中心含4個(gè)樣本距滑動(dòng)窗

顯然，當(dāng)滑動(dòng)窗的樣本距離數(shù)確定后，分形維數(shù)只與d/L的大小有關(guān)。Katz維數(shù)公式簡(jiǎn)單，計(jì)算方便快捷，對(duì)曲線的變化敏感，大量研究表明，Katz維數(shù)尤為適用于波動(dòng)類曲線的計(jì)算。

L.J.Hadjileontiadisa等人提出的方法步驟為先在梁上建立一個(gè)滑動(dòng)窗，窗內(nèi)有若干個(gè)樣本距離的滑動(dòng)窗，使滑動(dòng)窗沿梁的第一階振型不斷向后滑動(dòng)，每次滑動(dòng)的距離為一個(gè)樣本距離，計(jì)算窗內(nèi)的分形維數(shù)值，滑動(dòng)了多少次便得到了多少個(gè)分形維數(shù)，通過結(jié)構(gòu)上的分形維數(shù)分布進(jìn)行分析，圖像發(fā)生突變的地方就是結(jié)構(gòu)可能產(chǎn)生損傷的位置，簡(jiǎn)稱為FDCD方法。

本文利用歸一化損傷前后的Katz維數(shù)差進(jìn)行簡(jiǎn)支梁的損傷定位。

線性歸一化可設(shè)振動(dòng)振型的豎向位移為y，振型中最大最小豎向位移分別是ymax和ymin歸一化后振型數(shù)據(jù)為y*，振型歸一化的方法如式：

二、有限元模型及損傷定位

采用長(zhǎng)a=2m,寬b=0.24m,高c=0.05m，密度、彈性模量和泊松比分別為8000kg/m3，200GPa，0.25的簡(jiǎn)支梁模型進(jìn)行歸一化Katz維數(shù)差的損傷診斷有限元分析，利用剛度的折減來(lái)模擬損傷。如圖

圖1 存在損傷的簡(jiǎn)支梁

分析時(shí)將全梁分為200個(gè)梁?jiǎn)卧?，每個(gè)單元長(zhǎng)1cm。首先選定樣本距離為dx，并建立包含n(偶數(shù))個(gè)樣本距離的滑動(dòng)窗，n為偶數(shù)的原因是可以使滑動(dòng)窗內(nèi)的Katz維數(shù)落在其樣本點(diǎn)上，取n=2,樣本距離dx分別取1,5,8cm。損傷工況在x=0.2～0.25m處發(fā)生損傷，剛度變?yōu)樵瓉?lái)的0.8。繪制損傷后分形維數(shù)圖2(a)(b)(c)。

(a)dx=1cm (b)dx=5cm (c)dx=8cm

從圖中可以看出，Katz維數(shù)差均在損傷處達(dá)到了最大值，說明用Katz維數(shù)差取定位損傷是有可行性的，同時(shí)，樣本距離相對(duì)較小的歸一化Katz維數(shù)差對(duì)損傷的識(shí)別越明顯。

通過建?；跉w一化Katz維數(shù)差對(duì)簡(jiǎn)支梁的損傷定位，可以得出以下結(jié)論:

1.利用歸一化Katz維數(shù)差可以在選定的樣本距離和樣本數(shù)下，對(duì)簡(jiǎn)支梁?jiǎn)螕p傷進(jìn)行定位。

2.在采樣數(shù)n確定的情況下，采樣距離較短時(shí)對(duì)損傷更加敏感。