藺 琳

(大連財經(jīng)學院，遼寧 大連 116622)

常微分方程是數(shù)學分析與微分方程運算中不可或缺的一個組成部分[1]。例如，在反映客觀現(xiàn)實世界運動過程的量與量之間的關系中，大量存在滿足常微分方程關系式的數(shù)學模型，需要通過求解微分方程來了解未知函數(shù)的性質[2]。因此，常微分方程是解決實際問題的重要工具。其中，形如y″+py′+qy=f(x)(其中p，q為常數(shù))的方程稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程[3]。眾所周知，待定系數(shù)法和常數(shù)變易法是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的普遍解法，但這兩種方法都有不足之處，例如求解過程較為繁瑣，計算量較大[4-5]。本文綜述了積分法、算子法、降階法、升階法、拉普拉斯變換法、化為方程組法和迭代法求解方程的原理與應用。同時，分析了各個二階常系數(shù)非齊次線性微分方程特殊解法的利弊，為微分方程在不同的條件下快捷使用相應的求解方法研究奠定基礎。

1 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特殊解法

1.1 積分法求解方程

1.2 算子法求解方程

例：求方程y″-3y′+2y=2xex的特解。

1.3 降階法求解方程

對于某些特殊的高階微分方程，通過適當?shù)淖兞看鷵Q，化為低階微分方程，當該低階微分方程可解時，即原方程可解。降階法首先需要求出特征方程的特征根；然后，利用積分因子乘以微分方程和導數(shù)的運算，將二階常系數(shù)線性微分方程化為一階微分形式；最后，將一階微分形式兩邊同時積分，求解方程即可得到通解。利用降階法，可以求得微分方程的一個特解或通解。

例：求方程y″-3y′+2y=2xex的特解。

1.4 升階法求解方程

設f(x)=amxm+am-1xm-1+…+a1x+a0，求方程y″+py′+qy=f(x)的一個特解。利用對原方程的等式兩邊連續(xù)求m次導數(shù)的方法進行求解

y″′+py″+qy′=mamxm-1+…+2a2x+a1，

……

例：求微分方程y″+6y′-7y=ex(x+1)的特解。

1.5 拉普拉斯變換法求解方程

拉普拉斯變換求解微分方程包含兩個步驟：首先求解微分方程的的未知量的拉普拉斯變換式；其次通過變換式求出相應的未知量，即微分方程與代數(shù)方程直接的變換運算，所以也可考慮用這種方法來解微分方程。

例：求微分方程y″-2y′+y=x2ex(y(0)=y′(0)=0)的特解。

1.6 化為方程組法求解方程

例：求微分方程y″-2y′+y=x2ex(y(0)=y′(0)=0)的特解。

1.7 迭代法求解方程

定理1：P(D)(eλxy)=eλxP(D+λ)y，Dn(eλxy)=eλx(D+λ)ny，(n=0,1,2,…)。

定理2：設Q(D)=b0Dn+b1Dn-1+…+bn-1D，φ(X)是x的m次多項式，則常系數(shù)微分方程y=φ(x)+Q(D)y的特解為：y=φ(x)+Q(D)Q(x)+Q2(D)φ(x)+…+Qm(D)φ(x)。方程y=φ(x)+Q(D)y的特解可表示為一下的迭代形式：y=A1+A2+…+Ak。

其中A1=φ(x)，A2=Q(D)A1，A3=Q(D)A2，…，Ak=Q(D)Ak-1，這個迭代過程可一直下去直到某個Ak=0為止。

例：求微分方程y″-2y′+3y=x+1的特解。

1.8 各個特殊解法的利弊分析

算子法是求解常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的一種有效手段，微分算子法不失為一種好方法，簡單易用，計算量小。積分法也具有一般性，擴大了可求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的范圍，同降階法一樣，在f(x)為x的多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的某種組合時，也可利用迭加原理方法求解。降階法的基本思想就是通過計算一階方程，將高階方程的運算化為低階方程的運算。這樣既簡化了計算過程，又不易出錯。降階法的優(yōu)點就是使計算簡單、準確性高。降階法求解更適用于高階變低階或者低階變高階的微分方程。當f(x)為x的多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的某種組合時，利用迭加原理方法求解。拉普拉斯變換較微分方程則必須存在于f(0)與f′(0)已知的情況。對于階數(shù)很大時，某些微分方程數(shù)值解所產(chǎn)生的線性方程來說，利用迭代法求解則更為合適。不同的情況使用不同的方法，每一種方法都有它的好處與局限，應當視情況而定。

2 結論

本文針對二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，詳細的介紹了除待定系數(shù)法、常數(shù)變易法之外的有迭代法、升階法、降階法、算子法、積分求法、Laplace變換法、化為方程組法等解法。而且，對比分析了眾多解法的優(yōu)缺點及適用條件，從而得出結論，每一種方法都有它的好處與局限，應當視情況而定，不同的情況使用不同的方法。