胡旭宇 劉宏昭

(西安理工大學機械與精密儀器工程學院， 西安 710048)

0 引言

變胞并聯(lián)機構(gòu)由于具有隨任務(wù)變化而變自由度、變拓撲結(jié)構(gòu)的特點和高承載能力、高精度等優(yōu)點，已成為機構(gòu)學與機器人領(lǐng)域的研究熱點之一。近年來，針對變胞并聯(lián)機構(gòu)已有了一些研究成果。KONG等[1]通過可鎖運動副，提出一種新型三維平移和三維轉(zhuǎn)動兩模式變胞并聯(lián)機構(gòu)。TIAN等[2]通過開啟與鎖死桿件，基于變胞連桿，綜合一類3R、1T2R、2T1R和3T四模式變胞并聯(lián)機構(gòu)。文獻[3-4]通過將3個軸線交于一點的轉(zhuǎn)動副替換球鉸，提出了一種關(guān)節(jié)鎖死的變胞球鉸Sv。文獻[5-7]提出了可鎖移動副、可鎖轉(zhuǎn)動副等變胞運動副，并源于欠驅(qū)動3-CPS并聯(lián)機構(gòu)，綜合了一系列變胞并聯(lián)機構(gòu)。劉江南等[8]分析變胞運動副的約束特征和結(jié)構(gòu)方式，提出一種基于變胞運動副的變胞機構(gòu)綜合方法，并根據(jù)所提出的方法綜合了一類連桿運輸機構(gòu)。李樹軍等[9]根據(jù)變胞運動副的類型和鄰接關(guān)系，綜合了帶有變胞運動副約束形式的變胞機構(gòu)。王冰等[10]基于具有解耦特性的變胞球面五桿機構(gòu)，通過串聯(lián)4自由度支鏈構(gòu)造出變胞支鏈，應(yīng)用3條相同的變胞支鏈綜合了一類變胞并聯(lián)機構(gòu)。GAN等[11]提出了一種變胞虎克鉸Uv，并分析了3-UvCUv變胞并聯(lián)機構(gòu)的幾何約束。YE等[12]基于一種三構(gòu)態(tài)的平面五桿變胞機構(gòu)，通過構(gòu)建混聯(lián)支鏈，綜合出含約束奇異特性的變胞并聯(lián)機構(gòu)。ZHANG等[13]基于Bennett閉鏈構(gòu)建混聯(lián)支鏈，提出一種新型變胞并聯(lián)機構(gòu)。于紅英等[14]通過鎖住不同運動副的方式實現(xiàn)變胞支鏈的構(gòu)態(tài)變換，提出一種基于基本支鏈構(gòu)型的變胞并聯(lián)機構(gòu)綜合方法。劉偉等[15-16]提出了一類兩模式可轉(zhuǎn)換變胞并聯(lián)機構(gòu)。并聯(lián)機構(gòu)中，若存在與動平臺自由度數(shù)目和類型都相同的支鏈，則該支鏈稱為恰約束支鏈[17]。文獻[18-20]提出了一系列含恰約束支鏈的并聯(lián)機構(gòu)，文獻[21]提出了一種含恰約束的球面變胞仿生機構(gòu)，當受到外界大沖擊力時，機構(gòu)被動實現(xiàn)變胞，并對其工作空間、剛度和承載力進行了優(yōu)化。綜上可見，學者們通過研究機構(gòu)的支鏈奇異和約束奇異實現(xiàn)變胞。一些機構(gòu)需在遠離機架的運動副上安裝伺服電機或關(guān)節(jié)鎖死裝置，這將影響機構(gòu)的動態(tài)性能，并使機械結(jié)構(gòu)變得復雜?，F(xiàn)有文獻關(guān)于驅(qū)動變胞并聯(lián)機構(gòu)的研究較少，特別是缺乏系統(tǒng)包含混聯(lián)恰約束支鏈的多模式驅(qū)動變胞并聯(lián)機構(gòu)的相關(guān)研究。

本文基于一種三構(gòu)態(tài)驅(qū)動變胞并聯(lián)球鉸，應(yīng)用螺旋理論綜合一類含恰約束混聯(lián)支鏈的多模式驅(qū)動變胞并聯(lián)機構(gòu)。針對所綜合的3-SPS/SmPU驅(qū)動變胞并聯(lián)機構(gòu)，根據(jù)螺旋理論分析各構(gòu)態(tài)下機構(gòu)的自由度，利用矢量法和幾何約束關(guān)系建立機構(gòu)全構(gòu)態(tài)運動學模型。

1 3-RRR球面并聯(lián)機構(gòu)

如圖1所示，3-RRR球面機構(gòu)由定平臺1、動平臺2以及3條正交分布的支鏈組成，每條支鏈由3個轉(zhuǎn)動副和兩個圓弧形桿構(gòu)成(支鏈1由R1、L12、R2、L23、R3構(gòu)成，支鏈2由R4、L45、R5、L56、R6構(gòu)成，支鏈3由R7、L78、R8、L89、R9構(gòu)成)。以動平臺2的中心為原點，以R1的轉(zhuǎn)動軸線為X軸，R4的轉(zhuǎn)動軸線為Y軸，建立定坐標系OXYZ。以R1的轉(zhuǎn)動軸線為x′軸，R4的轉(zhuǎn)動軸線為y′軸，在動平臺2中心點建立動坐標系o′x′y′z′(初始狀態(tài)時，動坐標系o′x′y′z′與定坐標系OXYZ重合)。

圖1 3-RRR球面機構(gòu)Fig.1 3-RRR spherical mechanism

通過對3-RRR球面機構(gòu)的自由度分析可知，其具有3種轉(zhuǎn)動構(gòu)態(tài)[22]：構(gòu)態(tài)1，只驅(qū)動R1，繞X軸轉(zhuǎn)動；只驅(qū)動R4，繞Y軸轉(zhuǎn)動；只驅(qū)動R7，繞Z軸轉(zhuǎn)動。構(gòu)態(tài)2，同時驅(qū)動R1和R4，繞X軸和Y軸轉(zhuǎn)動；同時驅(qū)動R1和R7，繞X軸和Z軸轉(zhuǎn)動；同時驅(qū)動R4和R7，繞Y軸和Z軸轉(zhuǎn)動。構(gòu)態(tài)3，同時驅(qū)動R1、R4和R7，實現(xiàn)三維轉(zhuǎn)動。由于3-RRR機構(gòu)具有一維、二維和三維3種轉(zhuǎn)動構(gòu)態(tài)，其三維轉(zhuǎn)動構(gòu)態(tài)與球鉸等效，故3-RRR球面機構(gòu)也可稱作驅(qū)動變胞并聯(lián)球鉸Sm。

根據(jù)轉(zhuǎn)動副R3、R6、R9軸線與中間轉(zhuǎn)動副R2、R5和R8軸線分別垂直，可得

(1)

式中，ai(i=2,3,5,6,8,9)為轉(zhuǎn)動副Ri中心點的位置坐標矢量。

根據(jù)式(1)可得動平臺2桿的運動學方程為

(2)

式中，α′、β′和γ′分別為動平臺2繞動坐標系o′x′y′z′的轉(zhuǎn)動角。θ1、θ2和θ3分別為驅(qū)動副R1、R4和R7的轉(zhuǎn)動角。其中機構(gòu)動平臺旋轉(zhuǎn)矩陣R采用Y-X-Z型歐拉角。同樣可求得當驅(qū)動副R1、R4和R7的轉(zhuǎn)動角θ1、θ2和θ3任兩個等于零時，為構(gòu)態(tài)1的運動學逆解，當θ1、θ2和θ3中任一個等于零時，為構(gòu)態(tài)2的運動學逆解。

2 驅(qū)動變胞混聯(lián)支鏈綜合

因變胞球鉸構(gòu)態(tài)3具有3個轉(zhuǎn)動自由度，可將其與3自由度串聯(lián)支鏈混聯(lián)，得到具有不同約束性質(zhì)的變胞混聯(lián)支鏈。為實現(xiàn)混聯(lián)支鏈的變胞，隨著變胞球鉸構(gòu)態(tài)的變化，應(yīng)根據(jù)作業(yè)任務(wù)的不同在具有1個約束力矢和約束力耦、2個約束力矢以及無約束3種不同的工作模式間切換，以便應(yīng)用于變胞并聯(lián)機構(gòu)的設(shè)計。如令變胞球鉸只開啟驅(qū)動副R1時，變胞混聯(lián)支鏈受到1個約束力矢和1個約束力耦作用，即具有2R2T自由度，定義為FC支鏈；變胞球鉸只開啟驅(qū)動副R7時，變胞混聯(lián)支鏈受到2個約束力矢作用，即具有3R1T自由度，稱為F支鏈；變胞球鉸驅(qū)動副R1、R4和R7全部開啟時，變胞混聯(lián)支鏈不受約束，即具有3R3T自由度，稱為N支鏈。

2.1 FC支鏈構(gòu)型綜合

變胞球鉸只開啟R1時，變胞混聯(lián)支鏈具有2R2T自由度，受到1個約束力矢和1個約束力耦作用，其約束螺旋設(shè)為

(3)

根據(jù)各運動螺旋與其約束螺旋互易[23]，可求得基本的運動螺旋為

(4)

由基本運動螺旋可表示其所對應(yīng)的全部運動螺旋集為

(5)

式中，a、b、c和d為不同時為零的任意常數(shù)。

2.2 F支鏈構(gòu)型綜合

變胞球鉸機構(gòu)只開啟R7時，受到2個約束力矢作用，其約束螺旋設(shè)為

(6)

根據(jù)各運動螺旋與其約束螺旋互易可求得基本的運動螺旋為

(7)

由式(7)可得，其所對應(yīng)的全部運動螺旋集為

(8)

由于FC支鏈與F支鏈需同時滿足才能達到所需運動模式，故混聯(lián)支鏈的運動螺旋集為

(9)

由于變胞球鉸3個驅(qū)動副全部開啟時，具有3個轉(zhuǎn)動自由度，而混聯(lián)支鏈為無約束N支鏈，故需在驅(qū)動變胞球鉸動平臺上連接3自由度串聯(lián)支鏈(不含對運動模式不起作用的惰性運動副)。根據(jù)式(9)可得

(10)

為使式(10)中3個運動螺旋線性無關(guān)，則需

(11)

根據(jù)式(10)和式(11)，可得驅(qū)動變胞混聯(lián)支鏈的具體形式如表1所示。

表1 驅(qū)動變胞混聯(lián)支鏈Tab.1 Actuated metamorphic hybrid kinematic chains

3 含恰約束支鏈的驅(qū)動變胞并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型綜合

由于變胞并聯(lián)球鉸的動平臺連接了3自由度串聯(lián)支鏈，根據(jù)并聯(lián)機構(gòu)驅(qū)動副選取準則，含恰約束支鏈的驅(qū)動變胞并聯(lián)機構(gòu)需要添加3個驅(qū)動副，才能滿足鎖住全部驅(qū)動副后，機構(gòu)自由度為零，如添加3條含驅(qū)動副的六自由度支鏈即可滿足。根據(jù)文獻[15]，部分六自由度支鏈如表2所示。

即任取表1中1條支鏈作為主動混聯(lián)恰約束支鏈，與表2中任意3條支鏈并聯(lián)構(gòu)成含主動恰約束混聯(lián)支鏈的驅(qū)動變胞并聯(lián)機構(gòu)。圖2為綜合出一種含主動恰約束混聯(lián)支鏈的3-SPS/SmPU驅(qū)動變胞并聯(lián)機構(gòu)。

表2 6自由度支鏈Tab.2 Branched chains of fixed six degrees of freedom

圖2 3-SPS/SmPU驅(qū)動變胞并聯(lián)機構(gòu)Fig.2 3-SPS/SmPU actuated metamorphic parallel mechanism

4 3-SPS/SmPU機構(gòu)自由度分析

4.1 驅(qū)動變胞并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點

如圖2所示，3-SPS/SmPU驅(qū)動變胞并聯(lián)機構(gòu)由驅(qū)動變胞球鉸Sm與PU混聯(lián)而成的SmPU主動恰約束混聯(lián)支鏈、3條含驅(qū)動副的SPS支鏈、定平臺和動平臺組成(圖中箭頭表示驅(qū)動副)。以動平臺中心(即U副中心)為原點，以原點到S33的中心點為-y軸，垂直動平臺方向為z軸，在動平臺上建立動坐標系oxyz。定坐標系仍采用驅(qū)動變胞球鉸中建的定坐標系OXYZ(圖1)。動平臺和定平臺中3個S副均呈正三角分布，其中球鉸S11位于XOZ平面內(nèi)。

定義3-SPS/SmPU變胞并聯(lián)機構(gòu)在驅(qū)動變胞球鉸3個驅(qū)動副全部鎖死時的運動模式為構(gòu)態(tài)0，其余運動模式隨驅(qū)動變胞球鉸的構(gòu)態(tài)分為3種構(gòu)態(tài)。由于驅(qū)動變胞球鉸構(gòu)態(tài)1和構(gòu)態(tài)2下的3種運動模式情況相似，故3-SPS/SmPU變胞并聯(lián)機構(gòu)每種構(gòu)態(tài)只分析其中1種。

4.2 構(gòu)態(tài)1機構(gòu)自由度分析

當3個移動驅(qū)動副開啟時，由于3條六自由度SPS支鏈不對機構(gòu)的運動起約束作用，故只需分析3-SPS/SmPU機構(gòu)中恰約束支鏈SmPU的自由度即為3-SPS/SmPU變胞機構(gòu)的自由度。在構(gòu)態(tài)1中，設(shè)驅(qū)動副R4和R7鎖定，只驅(qū)動R1，SmPU主動混聯(lián)恰約束支鏈在定坐標系下的運動螺旋為

(12)

式中，(a,b,c)表示U副中心點在固定坐標系下的坐標。根據(jù)運動螺旋與其約束螺旋互易求得支鏈的約束螺旋

(13)

根據(jù)式(12)、(13)以及文獻[21]中的自由度計算公式，可得3-SPS/SmPU變胞并聯(lián)機構(gòu)在此運動模式下的自由度為

其中

d=6-λv=k-t

式中M——機構(gòu)自由度數(shù)

d——機構(gòu)階數(shù)

λ——公共約束數(shù)

n——包括機架的構(gòu)件數(shù)目

g——運動副數(shù)目

fi——第i個運動副的自由度

v——多環(huán)并聯(lián)機構(gòu)在去除公共約束因素后的冗余約束的數(shù)目

t——多環(huán)并聯(lián)機構(gòu)所有支鏈的反螺旋去除公共約束后的反螺旋數(shù)目

k——多環(huán)并聯(lián)機構(gòu)所有支鏈的反螺旋去除公共約束后的反螺旋系的最大無關(guān)組

ξ——機構(gòu)中存在的局部自由度數(shù)

由此可知，只驅(qū)動R1時，此混聯(lián)恰約束支鏈具有繞X、Y軸轉(zhuǎn)動和平行于YOZ平面二維移動自由度。即當3個移動驅(qū)動全部開啟時，變胞并聯(lián)機構(gòu)在此構(gòu)態(tài)下具有4個自由度。

4.3 構(gòu)態(tài)2機構(gòu)自由度分析

此構(gòu)態(tài)下，鎖定一個驅(qū)動，設(shè)R7鎖定，當只驅(qū)動R1和R4時，主動混聯(lián)恰約束支鏈運動螺旋除式(12)之外，還需加繞Y軸的轉(zhuǎn)動自由度

(14)

根據(jù)運動螺旋式(12)和式(14)，求得混聯(lián)恰約束支鏈的約束螺旋為

(15)

根據(jù)式(15)和自由度計算式，可得此構(gòu)態(tài)下的自由度為

M=6(16-19-1)+32+0-3=5

由此可知，當驅(qū)動R1和R4時，此變胞并聯(lián)機構(gòu)具有繞X、Y軸轉(zhuǎn)動和三維移動自由度。

4.4 構(gòu)態(tài)3機構(gòu)自由度分析

同時驅(qū)動R1、R4和R7，主動混聯(lián)恰約束支鏈運動螺旋除式(12)和式(14)之外，還需加繞Z軸的轉(zhuǎn)動自由度

(16)

由于沒有螺旋與此構(gòu)態(tài)下運動螺旋式(12)、式(14)和式(16)同時互易，故此構(gòu)態(tài)下恰約束支鏈的自由度為6，即此構(gòu)態(tài)下3-SPS/SmPU機構(gòu)自由度為6。

同樣可以得到，構(gòu)態(tài)1中只驅(qū)動R4(或R7)運動模式下的自由度和構(gòu)態(tài)2中同時驅(qū)動R4和R7(或R1和R7)時3-SPS/SmPU的自由度。通過對3種構(gòu)態(tài)下自由度的計算可知，不同驅(qū)動所對應(yīng)的3-SPS/SmPU驅(qū)動變胞并聯(lián)機構(gòu)運動模式如表3所示。

表3 3-SPS/SmPU變胞并聯(lián)機構(gòu)的運動模式Tab.3 Motion mode of 3-SPS/SmPU actuated metamorphic parallel mechanism

表中，F(xiàn)表示約束力，C表示約束力偶，字母前的數(shù)字代表約束個數(shù)，N表示無約束。表3中各構(gòu)態(tài)下3-SPS/SmPU的3個移動驅(qū)動副均開啟。

由表3可知3-SPS/SmPU驅(qū)動變胞并聯(lián)機構(gòu)具有8種運動模式。

5 3-SPS/SmPU機構(gòu)運動學分析

變胞并聯(lián)機構(gòu)全構(gòu)態(tài)運動學是變胞并聯(lián)機構(gòu)研究的重點，同時也是機構(gòu)性能分析和動力學分析的基礎(chǔ)。已知3-SPS/SmPU變胞并聯(lián)機構(gòu)動平臺的位姿(設(shè)動平臺繞動坐標系x、y、z軸轉(zhuǎn)動角為α、β和γ，動平臺質(zhì)心點的位置為(x，y，z))，求驅(qū)動副R1、R4和R7轉(zhuǎn)動角(θ1、θ2和θ3)和驅(qū)動桿L1、L2和L3的長度(L1、L2、L3)。

5.1 運動學分析

如圖2所示，定平臺上的3個S副中心點在定坐標系下的位置矩陣為

(17)

式中r7——定平臺上3個S副構(gòu)成的正三角形外接圓半徑

e——定坐標系中心到定平臺的垂直距離

動平臺上的3個S副在動坐標系的位置矢量矩陣為

(18)

式中r8——動平臺上3個S副構(gòu)成的正三角形外接圓半徑

機構(gòu)動平臺旋轉(zhuǎn)矩陣R采用X-Y-Z型歐拉角，即

B(αX,βY,γZ)=[BXα][BYβ][BZγ]

(19)

根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣的定義，動平臺上3個S副在定坐標系下的位置矢量矩陣為

(20)

根據(jù)Ai與Bi(i=1，2，3)對應(yīng)坐標之差為驅(qū)動桿長Li，可得

(21)

設(shè)恰約束支鏈中移動桿長為h，根據(jù)3-SPS/SmPU機構(gòu)的幾何關(guān)系以及驅(qū)動變胞球鉸的運動學，可得動平臺2桿在定坐標系的方向向量

(22)

動平臺2桿的方向向量也可表示為

(23)

化簡式(22)和式(23)可得

(24)

根據(jù)式(2)和式(24)可得

(25)

式(21)、(25)即為3-SPS/SmPU并聯(lián)機構(gòu)的位姿逆解方程。

分別對式(21)和式(25)對時間求導，可得機構(gòu)3-SPS/SmPU在構(gòu)態(tài)3下的雅可比矩陣為

(26)

式中J——機構(gòu)雅可比矩陣

對式(26)兩邊求關(guān)于時間的導數(shù)即可得機構(gòu)驅(qū)動副的加速度

(27)

同理可求得 3-SPS/SmPU變胞并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)態(tài)1和構(gòu)態(tài)2下機構(gòu)的運動學逆解，即可得到含主動混聯(lián)恰約束支鏈的3-SPS/SmPU驅(qū)動變胞并聯(lián)機構(gòu)全構(gòu)態(tài)運動學逆解。

5.2 運動學仿真

從圖3～8 可以看出，3-SPS/SmPU并聯(lián)機構(gòu)的驅(qū)動速度(移動速度和角速度)和驅(qū)動加速度(移動加速度和角加速度)曲線較為平滑，運動平穩(wěn)，機構(gòu)運動性能較好。對3-SPS/SmPU驅(qū)動變胞并聯(lián)機構(gòu)運動學的分析為機構(gòu)的力學性能和實際工業(yè)應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ)。且由于運動學是研究機構(gòu)運動參數(shù)輸入與輸出之間[24-25]的映射關(guān)系，故同時也驗證了含混聯(lián)恰約束支鏈的驅(qū)動變胞并聯(lián)機構(gòu)的可行性。

圖3 3-SPS/SmPU變胞并聯(lián)機構(gòu)驅(qū)動角位移Fig.3 Angle displacement of 3-SPS/SmPU metamorphic parallel mechanism

圖4 3-SPS/SmPU變胞并聯(lián)機構(gòu)移動位移Fig.4 Displacement of 3-SPS/SmPU metamorphic parallel mechanism

圖5 3-SPS/SmPU變胞并聯(lián)機構(gòu)角速度Fig.5 Angle velocity of 3-SPS/SmPU metamorphic parallel mechanism

圖6 3-SPS/SmPU變胞并聯(lián)機構(gòu)移動速度Fig.6 Velocity of 3-SPS/SmPU metamorphic parallel mechanism

圖7 3-SPS/SmPU變胞并聯(lián)機構(gòu)角加速度Fig.7 Angle acceleration of 3-SPS/SmPU metamorphic parallel mechanism

6 結(jié)論

(1)基于3-RRR球面機構(gòu)，利用螺旋理論提出了一類含主動混聯(lián)恰約束支鏈的驅(qū)動變胞并聯(lián)機構(gòu)。

圖8 3-SPS/SmPU變胞并聯(lián)機構(gòu)移動加速度Fig.8 Acceleration of 3-SPS/SmPU metamorphic parallel mechanism

(2)通過開啟與鎖死3-RRR球面機構(gòu)驅(qū)動副的數(shù)目，3-SPS/SmPU驅(qū)動變胞并聯(lián)機構(gòu)可實現(xiàn)8種運動模式，分析機構(gòu)各構(gòu)態(tài)的自由度和運動學，驗證了驅(qū)動變胞并聯(lián)機構(gòu)的可行性。

(3)通過開啟與鎖死驅(qū)動副實現(xiàn)并聯(lián)機構(gòu)變胞的方法也可適用于其他變胞并聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型綜合，其變胞方式簡便易行，全構(gòu)態(tài)逆運動學求解簡單，且該類變胞并聯(lián)機構(gòu)可有效避免變胞過程中的約束奇異和支鏈奇異。