朱小燕

隨著學(xué)習(xí)的深入，你會(huì)發(fā)現(xiàn)平面直角坐標(biāo)系與圖形變換之間存在著千絲萬(wàn)縷的關(guān)系。同學(xué)們只要仔細(xì)觀察、善于歸納，就會(huì)發(fā)現(xiàn)萬(wàn)變不離其宗，從而輕松解決問(wèn)題。下面我們以平面直角坐標(biāo)系中圖形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題為例，體會(huì)如何借“全等”巧解“旋轉(zhuǎn)”。

例1 （2019.山東青島）如圖1，將線段AB先向右平移5個(gè)單位，再將所得線段繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到線段A′B′，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（ ）。

A.（-4，1） B.（-1，2）

C.（4，-1） D.（1，-2）

【分析】此題的難點(diǎn)在于對(duì)“在平面直角坐標(biāo)系中將平移后的線段繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)900°”的處理，所以我們可以抓住所求問(wèn)題，將線段旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)。如圖2，右移5個(gè)單位后，點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，1），繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，易知點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（1，-2），故選D。

同學(xué)們，假如隱去網(wǎng)格，如圖3，點(diǎn)B（2，1）繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°到點(diǎn)B′，你能求出點(diǎn)B′的坐標(biāo)嗎？

【解決策略】根據(jù)旋轉(zhuǎn)中的不變性（OB=OB′）以及旋轉(zhuǎn)角為90°，我們可以構(gòu)造全等。由上例網(wǎng)格圖的啟發(fā)，作BM⊥y軸，B′⊥y軸，垂足分別為M、N，這樣構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形。由條件OB⊥OB′，且OB=OB′，可證得△OBM≌△B′ON，∴ON=BM=2，B′N=OM=1。結(jié)合點(diǎn)B′所在象限，∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（1，-2）。

例2

（2019·山東濟(jì)寧改編）如圖5，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，6），C為OB的中點(diǎn)，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900后得到△A′BC′。則點(diǎn)A′、C′的坐標(biāo)分別是______。

【分析】由點(diǎn)C是OB的中點(diǎn)得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)C′（3，6）。點(diǎn)A′是點(diǎn)A繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所得的點(diǎn)，如圖6，即AB⊥A′B，且AB=A′B。在此條件下，可通過(guò)向y軸作垂線段構(gòu)造全等三角形，從而求得點(diǎn)A′的坐標(biāo)。

解：如圖7，作A′H⊥OB，垂足為H?！逜B⊥A′B，∴∠ABO+∠A′BH=∠ABO+∠BA0=90°，∴∠BAO=∠A′BH。又∠AOB=∠BHA′=90°，AB=A′B，∴△ABO≌△BA′H，∴A′H=BO=6，BH=A0=2，OH=4，∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（6，4）。

【解決策略】在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)已知點(diǎn)繞原點(diǎn)或某確定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90。時(shí)，通過(guò)作垂線段構(gòu)造全等的直角三角形，再利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，即可求出旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)。構(gòu)造“全等”，巧妙解決旋轉(zhuǎn)問(wèn)題！

試一試：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-4，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-1，1），將線段AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段A′B，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為_(kāi)___。

參考答案：（-3，-2）。