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        緊扣“橫平豎直”求面積

        2020-03-08 23:04:48錢玉玲
        初中生世界·八年級 2020年2期

        錢玉玲

        在一次函數(shù)這一章節(jié)后期的學(xué)習(xí)中,同學(xué)們經(jīng)常會遇到求三角形面積的問題。這些三角形的面積,有的可以直接求解,有的則需要轉(zhuǎn)化后求解。在解決這類問題時,我們只要抓住四個字“橫平豎直”,問題就能迎刃而解。這四個字到底如何理解呢?看完例題后,相信你一定有收獲!

        例1 如圖1,已知直線y1=-1/2x+1與x軸交于點A,與直線y2=-3/2x交于點B,求△AOB的面積。

        【解析】對于這個三角形的面積,聰明的你一定知道是以線段OA為底,過點B作x軸的垂線段BC(如圖1)即為高。所以只要求出點A、點B的坐標(biāo)(兩個函數(shù)解析式組成的方程組的解即為交點B的坐標(biāo)),就不難求S△AOB。這里的“線段OA長度”就是“橫平”,“點B的縱坐標(biāo)”就是“豎直”,換句話講,“橫平”就是水平長度,“豎直”就是鉛垂高度。

        【略解】令y1=-1/2x+1中y1=0,易得

        坐標(biāo)為(-1,3/2);從而求得S△AOB=3/2。

        如果所求的三角形找不到“橫平豎直”,那么我們該怎么辦呢?當(dāng)然是轉(zhuǎn)化成有“橫平豎直”的三角形。

        例2如圖2,直線y=-4x+4與y軸交于點A,與直線y=4/5x+4/5交于點B,且直線y=5x+4/5與x軸交于點C,求△ABC的面積。

        【解析】△ABC是斜三角形,沒有“橫平豎直”,所以要轉(zhuǎn)化——或“割”或“補(bǔ)”。同學(xué)們,這里不管是“割”還是“補(bǔ)”,都要遵循一個原則,就是要用坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸的直線進(jìn)行“割”或“補(bǔ)”,這樣更方便找出三角形的底和高哦!

        如圖2,方法一:“割”,用y軸把△ABC分割成左右兩個以線段AD(即“豎直”)為底的三角形,則△ABC的面積等于△ADB與△ADC面積的和。這兩個三角形的高分別是點C和點B的橫坐標(biāo)的絕對值(即“橫平”)。

        【略解】同例1,易求點A(0,4),B(3/2,2),C(-1,0),D(0,4/5),從而S△ABC=1/2AD·|xC|+1/2AD·|xB|=1/2×16/5×(1+3/2)=4。

        如圖2,方法二:“補(bǔ)”,把△ABC補(bǔ)成△AEC,則△ABC的面積等于△AEC與△BEC面積的差。這兩個三角形都是以CE(即“橫平”)為底,高分別是點A和點B的縱坐標(biāo)的絕對值(即“豎直”)。

        【略解】易求點E(3,0),從而S△ABC=1/2CE·|yA|-1/2CE·|yB|=1/2×4×(4-2)=4。

        同學(xué)們,通過以上兩道例題的學(xué)習(xí),相信你對于一次函數(shù)中的面積問題一定有所感悟了!

        【挑戰(zhàn)自我】如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,有A(0,5),B(5,0),C(0,3),D(3,0)四個點,且AD與BC相交于點E,連接AB,求△ABE的面積。(參考答案:25/8)

        同學(xué)們,一次函數(shù)與面積相結(jié)合的問題,考查了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想。解題時抓住“橫平豎直”,找準(zhǔn)解題方向,問題就迎刃而解。

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