葉鵬達(dá)，尤晶晶,2*，沈惠平，吳洪濤，茹 煜

(1. 南京林業(yè)大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院，江蘇 南京 210037；2. 江蘇省精密與微細(xì)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210016；3. 常州大學(xué) 現(xiàn)代機(jī)構(gòu)學(xué)研究中心，江蘇 常州 213016；4. 南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

1 引 言

1965年，STEWART首次提出含6條相同支鏈的機(jī)構(gòu)，學(xué)者們稱其為Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)[1]。相比于串聯(lián)機(jī)構(gòu)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有輸出精度高、結(jié)構(gòu)剛性好和承載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，成為國內(nèi)外機(jī)構(gòu)學(xué)研究熱點(diǎn)[2-3]。目前，大多數(shù)6自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)都是基于Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)衍生而來，我們稱之為Stewart衍生型并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其在光學(xué)元器件、并聯(lián)機(jī)床和六維加速度傳感器等領(lǐng)域得到越來越多的應(yīng)用[4]。

然而，由于拓?fù)錁?gòu)型較復(fù)雜，6自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的精確實(shí)時(shí)控制一般很難實(shí)現(xiàn)。有研究發(fā)現(xiàn)[5-7]，基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的裝置性能主要與其正向運(yùn)動(dòng)學(xué)問題有關(guān)。正向運(yùn)動(dòng)學(xué)的研究方法主要有解析法和數(shù)值法兩種[8-9]。解析法主要包括消元法、Grobner基法和共形幾何代數(shù)等方法。文獻(xiàn)[10]基于計(jì)算機(jī)符號(hào)運(yùn)算，利用矢量消元和Sylvester結(jié)式消元，得出一般6-4臺(tái)體型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解的一元32次方程；文獻(xiàn)[11]運(yùn)用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)中的分次字典序Grobner基算法，獲得一般6-6平臺(tái)型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解的一元20次方程且該機(jī)構(gòu)最多有40組解的結(jié)論；文獻(xiàn)[12]基于共形幾何代數(shù)建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，并通過構(gòu)造9階Sylvester結(jié)式，得到一般6-6臺(tái)體型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解的一元40次方程。不難看出，這些方法最終都將并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解表達(dá)為一個(gè)一元高次代數(shù)方程，其優(yōu)點(diǎn)是可以得到全部解，但消元和推導(dǎo)過程繁瑣，技巧性強(qiáng)，且計(jì)算量大，特別是針對(duì)臺(tái)體型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)。數(shù)值法是另一種求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)正向運(yùn)動(dòng)學(xué)的方法，主要運(yùn)用Newton-Raphson法(N-R法)等數(shù)值逼近迭代思路求解非線性方程組。文獻(xiàn)[13]針對(duì)6-6平臺(tái)型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)提出了利用位置反解逐步迭代的方法求解位置正解的思路，保證了實(shí)時(shí)性，但每次只能迭代計(jì)算一組解；文獻(xiàn)[14]針對(duì)6-3 Stewart平臺(tái)結(jié)構(gòu)提出了一種基于機(jī)構(gòu)簡化的位置正解數(shù)值方法，保證了實(shí)時(shí)性，但對(duì)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)具有一定的依賴性。不難看出，并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變得復(fù)雜時(shí)，數(shù)值法對(duì)于精確解的收斂性較差[15-17]。文獻(xiàn)[18]引入傳感器提高了模型算法的收斂性，但由于引入傳感器而造成結(jié)構(gòu)上的復(fù)雜性，最終對(duì)算法的收斂性并沒有很大幫助。

考慮到并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解的求解難度與機(jī)構(gòu)耦合度指標(biāo)有關(guān)[19]，并且冗余驅(qū)動(dòng)具有減少奇異位形和增加有效工作空間等優(yōu)點(diǎn)[20]，文獻(xiàn)[21]提出了一種低耦合度冗余驅(qū)動(dòng)Stewart衍生拓?fù)錁?gòu)型，由于尚未有與之相匹配的二重復(fù)合球鉸鏈，因而限制了其結(jié)構(gòu)模型的設(shè)計(jì)。鑒于此，本文設(shè)計(jì)了二重復(fù)合球鉸鏈。除此之外，還設(shè)計(jì)了可轉(zhuǎn)換主動(dòng)、從動(dòng)模式的移動(dòng)副，該移動(dòng)副可用于改變機(jī)構(gòu)的冗余度，實(shí)現(xiàn)變?nèi)哂囹?qū)動(dòng)。

從以上分析可以看出，目前針對(duì)冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究主要集中在機(jī)構(gòu)內(nèi)力協(xié)調(diào)，而對(duì)于移動(dòng)副位移協(xié)調(diào)以及驅(qū)動(dòng)模式優(yōu)選方面的研究還較少，并且大多數(shù)研究的機(jī)構(gòu)都是具有確定的冗余度，而對(duì)于變?nèi)哂喽葯C(jī)構(gòu)的研究相對(duì)較少。本文推導(dǎo)并化簡了6個(gè)位移輸入?yún)f(xié)調(diào)方程，為了便于對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證，重新推導(dǎo)出機(jī)構(gòu)的位置正解；然后，分別運(yùn)用N-R法和Broyden法求解了協(xié)調(diào)方程；進(jìn)一步研究不同冗余度對(duì)冗余協(xié)調(diào)算法數(shù)值結(jié)果的影響；最后，總結(jié)出冗余驅(qū)動(dòng)模式優(yōu)選的3點(diǎn)選取原則。

2 結(jié)構(gòu)模型及正向運(yùn)動(dòng)學(xué)

2.1 結(jié)構(gòu)模型

圖1 Stewart衍生型并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)模型

Stewart衍生型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)模型和拓?fù)錁?gòu)型分別如圖1和圖2所示。該機(jī)構(gòu)由1個(gè)邊長為2(n+L)的靜平臺(tái)、1個(gè)邊長為2n的動(dòng)平臺(tái)、6個(gè)二重復(fù)合球鉸鏈、12個(gè)可轉(zhuǎn)換主動(dòng)、從動(dòng)模式的移動(dòng)副和12個(gè)一般球鉸鏈組成。12個(gè)一般球鉸鏈與靜平臺(tái)相連，6個(gè)二重復(fù)合球鉸鏈與動(dòng)平臺(tái)相連。初始狀態(tài)下，靜平臺(tái)與動(dòng)平臺(tái)的中心重合，并且姿態(tài)相同。當(dāng)驅(qū)動(dòng)N(6≤N≤11)個(gè)移動(dòng)副時(shí)，動(dòng)平臺(tái)的位置和姿態(tài)發(fā)生變化，從而實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)的六維運(yùn)動(dòng)。

圖2 Stewart衍生型并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型

如圖3所示，為了降低機(jī)構(gòu)的耦合度，設(shè)計(jì)了一種二重復(fù)合球鉸鏈[25]，其主要由第一層鉸鏈、第二層鉸鏈和中心柱組成。第一層鉸鏈由第一套筒、內(nèi)叉和第一滑柱組成，第二層鉸鏈由第二套筒、外叉和第二滑柱組成。中心柱與動(dòng)平臺(tái)相連，滑柱與移動(dòng)副相連，兩層鉸鏈均具有3條互相垂直的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線，并且轉(zhuǎn)動(dòng)軸線始終相交于點(diǎn)Bi(i=1,2,...,6)。

如圖4所示，為了改變機(jī)構(gòu)的冗余度，設(shè)計(jì)了一種可轉(zhuǎn)換主動(dòng)、從動(dòng)模式的移動(dòng)副[26]，其主要由導(dǎo)桿、內(nèi)套筒、外套筒和轉(zhuǎn)換套筒組成。導(dǎo)桿與內(nèi)套筒之間滑動(dòng)連接，內(nèi)套筒與外套筒之間通過螺紋連接。當(dāng)轉(zhuǎn)換套筒和導(dǎo)桿通過螺栓螺母連接在一起時(shí)，隨著內(nèi)、外套筒之間發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，移動(dòng)副的長度也發(fā)生改變，此時(shí)，該移動(dòng)副處于主動(dòng)模式；當(dāng)拆掉螺栓螺母時(shí)，導(dǎo)桿與轉(zhuǎn)換套筒分離，內(nèi)套筒與導(dǎo)桿之間可相對(duì)滑動(dòng)，此時(shí)，該移動(dòng)副處于從動(dòng)模式。

圖3 二重復(fù)合球鉸鏈結(jié)構(gòu)模型

圖4 移動(dòng)副的三維圖和剖面圖

2.2 正向運(yùn)動(dòng)學(xué)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)是指：已知驅(qū)動(dòng)副的輸入量，求解動(dòng)平臺(tái)的輸出運(yùn)動(dòng)參數(shù)。慣性坐標(biāo)系{O-XYZ}與靜平臺(tái)相連，動(dòng)坐標(biāo)系{M-UVW}與動(dòng)平臺(tái)相連，如圖2所示，慣性坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)位于初始狀態(tài)下的動(dòng)平臺(tái)中心處。12個(gè)一般球鉸鏈中心點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系中的笛卡爾坐標(biāo)可表示成矩陣形式：

[b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8,b9,b10,b11,b12]=

(1)

式中：b1～b12為同名點(diǎn)的幾何中心在慣性系內(nèi)的笛卡爾坐標(biāo)；n為動(dòng)平臺(tái)半邊長；L為移動(dòng)副初始長度。

12個(gè)移動(dòng)副長度可表示為：

(2)

式中：Bi為同名點(diǎn)的幾何中心在慣性系內(nèi)的笛卡爾坐標(biāo)；|·|為矢量的模。

點(diǎn)M為動(dòng)平臺(tái)的幾何中心，根據(jù)機(jī)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型并且運(yùn)用立體幾何知識(shí)可得出M點(diǎn)與Bi點(diǎn)之間滿足如下的關(guān)系：

B1+B4=B2+B5=B3+B6=2M，

(3)

B1+M=B2+B3，

(4)

(5)

為了便于計(jì)算，選取M，B1，B2和B34個(gè)點(diǎn)為待求量：

(6)

根據(jù)12個(gè)移動(dòng)副的長度約束關(guān)系并結(jié)合式(5)，建立動(dòng)平臺(tái)輸入、輸出量之間的位姿映射方程組。進(jìn)一步分析后發(fā)現(xiàn)，同構(gòu)方程兩兩相減，能夠消去二次項(xiàng)，得到4組線性封閉方程：

(7)

(8)

(9)

(10)

其中：

再結(jié)合式(4)，得到剩余3個(gè)未知量的解析式：

(11)

至此，重新推導(dǎo)了新型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)，具體算法流程如圖5所示。

圖5 位姿正解算法流程圖

為了驗(yàn)證位姿正解模型的正確性，在Mathematica中構(gòu)建了Stewart衍生型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的虛擬樣機(jī)，如圖6所示。其中，動(dòng)平臺(tái)半邊長n和移動(dòng)副初始長度L分別設(shè)置為15 mm和25 mm。虛擬仿真中，動(dòng)平臺(tái)為剛體，并且不考慮球面副、移動(dòng)副的摩擦和間隙。不失一般性，取機(jī)構(gòu)的初始狀態(tài)和任意狀態(tài)進(jìn)行仿真，計(jì)算結(jié)果如表1所示。結(jié)果顯示，位姿正解的計(jì)算值與準(zhǔn)確值完全一致。

圖6 Stewart衍生型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的虛擬樣機(jī)

表1 位姿正解模型驗(yàn)證

3 協(xié)調(diào)方程的推導(dǎo)及求解

3.1 協(xié)調(diào)方程的推導(dǎo)

將動(dòng)平臺(tái)視作剛性結(jié)構(gòu)，運(yùn)動(dòng)過程中位置點(diǎn)之間的相對(duì)距離保持不變。由并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)模型可知，移動(dòng)副長度與位置點(diǎn)之間的尺度約束關(guān)系滿足如下關(guān)系式：

|B1-b1|2=x12+

[y1-(n+L)]2+(z1+n)2=l12，

(12)

|B2-b3|2=(x2+n)2+

[y2-(n+L)]2+z22=l32，

(13)

|B3-b5|2=(x3-n)2+

y32+[z3+(n+L)]2=l52，

(14)

|B1-M|2=(x1-x0)2+

(y1-y0)2+(z1-z0)2=2n2，

(15)

|B2-M|2=(x2-x0)2+

(y2-y0)2+(z2-z0)2=2n2，

(16)

|B3-M|2=(x3-x0)2+

(y3-y0)2+(z3-z0)2=2n2，

(17)

(18)

(19)

(20)

將式(7)～式(11)代入式(12)～式(20)，發(fā)現(xiàn)方程的最高次數(shù)達(dá)到8次，并且方程中所含高次項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)也較多。為了降低方程的次數(shù)以及減少方程中高次項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，通過式(12)，式(15)相減、式(13)，式(16)相減、式(14)，式(17)相減、式(12)，式(13)，式(18)相減、式(13)，式(14)，式(19)相減、式(12)，式(14)，式(20)相減，得到如下6個(gè)位移輸入?yún)f(xié)調(diào)方程：

f(X)=2x1x0+2y1y0+2z1z0-x02-

y02-z02+3n2+(n+L)2-2y1(n+L)+

2z1n-l12=0,

(21)

g(X)=2x2x0+2y2y0+2z2z0-x02-

y02-z02+3n2+(n+L)2-2y2(n+L)+

2x2n-l32=0,

(22)

v(X)=2x3x0+2y3y0+2z3z0-x02-y02-

z02+3n2+(n+L)2+2z3(n+L)-

2x3n-l52=0,

(23)

u(X)=-2x1x2-2y1y2-2z1z2-2x2n+

2y2(n+L)-2n2-2(n+L)2+

2y1(n+L)-2z1n-(2n2-l12-l32)=0,

(24)

w(X)=-2x2x3-2y2y3-2z2z3-2x2n+

2y2(n+L)-2n2-2(n+L)2-

2z3(n+L)+2x3n-(6n2-l32-l52)=0,

(25)

h(X)=-2x1x3-2y1y3-2z1z3-2z3(n+L)+

2x3n-2n2-2(n+L)2+2y1(n+L)-

2z1n-(2n2-l12-l52)=0.

(26)

將式(7)～式(11)代入式(21)～式(26)可知，消除了式(21)、式(22)、式(23)中的8次方項(xiàng)以及式(24)、式(25)、式(26)中的6次方項(xiàng)。化簡前后的協(xié)調(diào)方程對(duì)比如表2所示。

表2 化簡前后的協(xié)調(diào)方程對(duì)比

Tab.2 Comparison of the compatibility equations before and after simplification

方程特征項(xiàng)化簡前化簡后數(shù)目96最高次數(shù)88最高次項(xiàng)數(shù)459

為了驗(yàn)證協(xié)調(diào)方程的正確性，并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)與2.2節(jié)中的參數(shù)一致，在Mathematica中仿真對(duì)比了6個(gè)協(xié)調(diào)方程在兩種不同狀態(tài)下的計(jì)算結(jié)果。表3列出了兩種狀態(tài)下協(xié)調(diào)方程的計(jì)算誤差，將6個(gè)協(xié)調(diào)方程誤差的平均值作為綜合誤差。誤差δ的表達(dá)式為：

δ=|F(X)*-F(X)*|,

(27)

其中：

F(X)=

式中：上標(biāo)“*”代表仿真結(jié)果；下標(biāo)“*”代表準(zhǔn)確結(jié)果；X為從動(dòng)副長度。

由表3可知，當(dāng)移動(dòng)副位于初始狀態(tài)時(shí)，計(jì)算結(jié)果沒有產(chǎn)生誤差；當(dāng)移動(dòng)副位于任意狀態(tài)時(shí)，計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生較小誤差，該誤差可能是由計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)運(yùn)算中的舍入誤差和泰勒展開時(shí)的截?cái)嗾`差等因素造成，可以忽略不計(jì)。計(jì)算結(jié)果表明協(xié)調(diào)方程推導(dǎo)正確。

表3 協(xié)調(diào)方程的誤差統(tǒng)計(jì)

3.2 協(xié)調(diào)方程的求解

并聯(lián)機(jī)構(gòu)12個(gè)移動(dòng)副之間滿足一定的位移輸入?yún)f(xié)調(diào)關(guān)系，由于協(xié)調(diào)方程的次數(shù)均高于4次，給定N個(gè)驅(qū)動(dòng)副長度，可通過數(shù)值方法計(jì)算出其它(12-N)個(gè)從動(dòng)副長度。求解非線性方程組的數(shù)值方法主要包括不動(dòng)點(diǎn)迭代法、牛頓法和擬Newton法等方法，本文選擇其中的N-R法和Broyden法進(jìn)行求解，其它方法將另文研究。

3.2.1 N-R法

N-R法是求解非線性方程組的經(jīng)典方法，因其收斂速度快和自校正等優(yōu)點(diǎn)，得到了廣泛的應(yīng)用。目前很多新的算法都是在此基礎(chǔ)上改進(jìn)而來。

協(xié)調(diào)方程可以表示為：

F(X)=0.

(28)

泰勒公式展開：

F(Xk)+

F′(Xk)(Xk+1-Xk)+O(|Xk+1-Xk|2)=0,

(29)

其中：

式中：k為迭代步數(shù)；F′(Xk)為Jacobian矩陣。

忽略二階無窮小量可得到：

Xk+1=Xk-[F′(Xk)]-1F(Xk).

(30)

式(30)即為N-R法的迭代公式。N-R法是局部收斂的，只要初值選取得當(dāng)，計(jì)算結(jié)果總能收斂到合理值。N-R法求解協(xié)調(diào)方程的算法流程如圖7中實(shí)線所示。

3.2.2 Broyden法

Broyden法是基于改進(jìn)的N-R法發(fā)展而來，是求解非線性方程組的重要方法之一。它克服了N-R法需要求導(dǎo)、求逆等缺點(diǎn)，將Jacobian矩陣簡化為矩陣遞推關(guān)系式，這樣不僅簡化了計(jì)算過程，同時(shí)還能保證方法的超線性收斂速度[27]。當(dāng)然，在改進(jìn)的N-R法成立的前提下，Broyden法是計(jì)算修正矩陣ΔAk的一種方法，其它方法還包括Broyden第二方法、DFP秩2算法和BFGS秩2算法等。

Broyden首先對(duì)改進(jìn)的N-R法提出了一種修正Ak的計(jì)算方案，它每步迭代只需計(jì)算n個(gè)分量函數(shù)值及O(n2)次算術(shù)運(yùn)算，大大降低了計(jì)算量，其迭代公式為：

(31)

其中：

Sk=Xk+1-Xk

yk=F(Xk+1)-F(Xk).

(32)

式中：SkTBkyk≠0。逆Broyden秩1公式每步總計(jì)算量為n個(gè)分量函數(shù)值和O(n2)次算術(shù)運(yùn)算。

式(32)即為Broyden法的迭代公式。Broyden法求解協(xié)調(diào)方程的算法流程如圖7中虛線所示。

圖7 兩種迭代算法流程圖

觀察圖7可以發(fā)現(xiàn)，與N-R法相比，Broyden法在迭代過程中不需要計(jì)算Jacobian矩陣，而是用當(dāng)前函數(shù)值代替導(dǎo)數(shù)，避免了每次迭代過程中的求導(dǎo)，降低了計(jì)算量。

為了對(duì)比數(shù)值結(jié)果的精度和效率，將兩種算法編寫成Mathematica程序，并在軟件中通過Timing指令獲取算法的計(jì)算時(shí)間。不失一般性，任意給定動(dòng)平臺(tái)一組位姿：x0=0.5 mm，y0=0 mm，z0=0 mm；λ1=-0.05，λ2=0.05，λ3=0.05，迭代精度控制為1.0×10-6，仿真結(jié)果如表4所示。表5列出了許可初值偏差從20%變化到25%時(shí)，計(jì)算結(jié)果收斂到給定位姿所運(yùn)行的迭代步數(shù)和計(jì)算時(shí)間。

表4 協(xié)調(diào)方程數(shù)值結(jié)果精度對(duì)比

表5 協(xié)調(diào)方程數(shù)值結(jié)果效率對(duì)比

Tab.5 Efficiency comparison of numerical results of the compatibility equations

許可初值偏差/%N-R迭代步數(shù)時(shí)間/msBroyden迭代步數(shù)時(shí)間/ms205187.510156.3215203.110156.3225203.111156.3235203.111156.3246218.811171.9256250.012187.5平均值5.3210.910.8164.1

觀察并分析表4，5可知， N-R法數(shù)值結(jié)果的精度優(yōu)于Broyden法至少3倍，但效率較低。從迭代步數(shù)和計(jì)算時(shí)間可以看出，在相同許可初值偏差情況下，雖然Broyden法收斂到滿足精度要求的給定位姿所運(yùn)行的迭代步數(shù)較多，但由于每一步迭代不需要構(gòu)造Jacobian矩陣，因此計(jì)算量較少，計(jì)算時(shí)間僅為N-R法的78%左右。

將兩種算法的許可初值偏差均取為30%，其迭代收斂性如圖8所示，其中綜合桿長表示計(jì)算桿長的平均值。為了更清晰地反映兩種算法的收斂性，選取圖中計(jì)算值與準(zhǔn)確值較接近的部分曲線進(jìn)行局部放大。從圖8中可以看出，使用Broyden法計(jì)算得到的桿長收斂曲線圍繞準(zhǔn)確值的擾動(dòng)較小，并且在迭代步數(shù)達(dá)到4步時(shí)，計(jì)算值與準(zhǔn)確值基本吻合。因此，Broyden法的收斂速度較快，即收斂性較優(yōu)。

圖8 兩種迭代算法的收斂性

4 協(xié)調(diào)方程數(shù)值結(jié)果的影響因素

通過切換移動(dòng)副的工作模式，從而改變機(jī)構(gòu)的冗余度，實(shí)現(xiàn)6種驅(qū)動(dòng)模式，如圖9所示，其中R代表機(jī)構(gòu)的冗余度。協(xié)調(diào)方程數(shù)值結(jié)果的影響因素主要包括許可初值偏差和并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)，針對(duì)各種驅(qū)動(dòng)模式，分別對(duì)比分析這兩者對(duì)冗余協(xié)調(diào)算法的影響。

圖9 6種驅(qū)動(dòng)模式

4.1 許可初值偏差

N-R法和Broyden法在計(jì)算協(xié)調(diào)方程時(shí)都需要給定算法迭代初值，如果初值選取不當(dāng)，就會(huì)造成計(jì)算結(jié)果發(fā)散，失去有效性。并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)與2.2節(jié)中的參數(shù)一致，分別給定算法迭代精度為1.0×10-6與1.0×10-9，仿真結(jié)果如圖10和圖11所示。本文以一組結(jié)構(gòu)參數(shù)為例，給出了確定最佳冗余度的方法和思路，為類似并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)模式的選取提供參考。

圖10 許可初值偏差與迭代步數(shù)的關(guān)系(1.0×10-6)

圖11 許可初值偏差與迭代步數(shù)的關(guān)系(1.0×10-9)

觀察并分析圖10和圖11可知：

(1)隨著許可初值偏差的增大和迭代精度的提高，迭代步數(shù)呈上升趨勢(shì)。R=3時(shí)，冗余協(xié)調(diào)算法對(duì)初值的依賴程度較低；R=1時(shí)，Broyden法對(duì)初值的依賴程度較高；R=5時(shí)，迭代步數(shù)都較低，即實(shí)時(shí)性較優(yōu)。

(2)冗余度為0，1，3時(shí)，迭代步數(shù)對(duì)迭代精度的敏感程度都較高；特別地，對(duì)于N-R法，當(dāng)R=0時(shí)，迭代步數(shù)對(duì)迭代精度較敏感，并且對(duì)許可初值偏差的要求較高，究其原因，這可能是由于Jacobian矩陣維數(shù)的增加導(dǎo)致計(jì)算量變大，以及更易產(chǎn)生奇異等原因造成的。

(3)隨著許可初值偏差的增大，N-R法的迭代步數(shù)變化較平緩，即穩(wěn)定性較優(yōu)，而對(duì)于Broyden法，當(dāng)許可初值偏差接近最大許可初值偏差時(shí)，迭代步數(shù)產(chǎn)生較大波動(dòng)，從波動(dòng)的整個(gè)趨勢(shì)來看，呈上升態(tài)勢(shì)。

4.2 結(jié)構(gòu)參數(shù)

對(duì)于不同的驅(qū)動(dòng)模式，冗余協(xié)調(diào)算法的最大許可初值偏差與并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)。不失一般性，取5～30 mm分別作為動(dòng)平臺(tái)半邊長和移動(dòng)副初始長度的變化范圍，均以5 mm作為變化步長，依次獲取每種結(jié)構(gòu)參數(shù)所對(duì)應(yīng)的最大許可初值偏差，仿真結(jié)果如圖12所示。其中黃色代表N-R法，藍(lán)色代表Broyden法。

圖12 結(jié)構(gòu)參數(shù)與最大許可初值偏差的關(guān)系

Fig.12 Relation ship between structural parameters and maximum admissible initial deviation

觀察并分析圖12可知：

(1)從整體趨勢(shì)來看，隨著動(dòng)平臺(tái)邊長的增大和移動(dòng)副初始長度的減小，最大許可初值偏差呈上升趨勢(shì)。

(2)R=5時(shí)，最大許可初值偏差的區(qū)間寬度都較小，分別為19%和0%，此時(shí)，最大許可初值偏差對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)變化的敏感程度較低；R=2時(shí)，最大許可初值偏差的區(qū)間寬度都較大，分別為1 218%和1 174%，此時(shí)，最大許可初值偏差對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)變化的敏感程度較高，即在該驅(qū)動(dòng)模式下，通過合理選取結(jié)構(gòu)參數(shù)，能夠增大冗余協(xié)調(diào)算法的最大許可初值偏差。

(3)R=0時(shí)，最大許可初值偏差在移動(dòng)副初始長度為15 mm左右出現(xiàn)凸峰，究其原因，這可能是由于算法在計(jì)算Jacobian矩陣時(shí)較易產(chǎn)生奇異所導(dǎo)致。

為了進(jìn)一步定量地對(duì)比驅(qū)動(dòng)模式對(duì)冗余協(xié)調(diào)算法產(chǎn)生的影響，運(yùn)用區(qū)間分析理論，引入并定義擾動(dòng)適應(yīng)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，將6種驅(qū)動(dòng)模式下的擾動(dòng)適應(yīng)性能的平均值作為對(duì)應(yīng)算法的綜合擾動(dòng)適應(yīng)性能。擾動(dòng)適應(yīng)性能的表達(dá)式為：

(33)

顯然，擾動(dòng)適應(yīng)性能P值越小，表明冗余協(xié)調(diào)算法的抗擾動(dòng)性能越強(qiáng)。表6列出了不同驅(qū)動(dòng)模式下冗余協(xié)調(diào)算法的擾動(dòng)適應(yīng)性能。

表6 冗余協(xié)調(diào)算法的擾動(dòng)適應(yīng)性能對(duì)比

Tab.6 Comparison of perturbation adaptive performance of redundant coordination algorithm

驅(qū)動(dòng)模式(R)擾動(dòng)適應(yīng)性能P/1N-RBroydenⅠ(5)0.360Ⅱ(4)2.051.84Ⅲ(3)0.600.43Ⅳ(2)4.394.54Ⅴ(1)0.911.00Ⅵ(0)5.082.76綜合擾動(dòng)適應(yīng)性能2.231.76

觀察并分析表6可知：

(1)冗余度為1，3，5時(shí)，冗余協(xié)調(diào)算法的抗擾動(dòng)性能較強(qiáng)，即最大許可初值偏差對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)變化的敏感程度較低，從移動(dòng)副的布局方式來看，冗余度為奇數(shù)時(shí)，至少存在1個(gè)二重復(fù)合球鉸鏈，其兩端連接的移動(dòng)副由驅(qū)動(dòng)副和從動(dòng)副混連構(gòu)成，該構(gòu)成形式能夠?qū)崿F(xiàn)冗余協(xié)調(diào)算法的擾動(dòng)補(bǔ)償。

(2)特別地，當(dāng)R=5時(shí)，Broyden法的擾動(dòng)適應(yīng)性能為0，在該驅(qū)動(dòng)模式下，結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化對(duì)最大許可初值偏差不產(chǎn)生影響。從綜合擾動(dòng)適應(yīng)性能來看，Broyden法優(yōu)于N-R法1.27倍，即Broyden法的抗擾動(dòng)性能較優(yōu)。

5 結(jié) 論

以具有解析式正解的Stewart衍生拓?fù)錁?gòu)型為研究對(duì)象，為了降低機(jī)構(gòu)的耦合度，發(fā)明了一種二重復(fù)合球鉸鏈，還給出了可轉(zhuǎn)換主動(dòng)、從動(dòng)模式的移動(dòng)副的一種設(shè)計(jì)方案，該移動(dòng)副可以改變機(jī)構(gòu)的冗余度，從而實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)模式的切換。構(gòu)造了位置正解全解析算法，并驗(yàn)證了位置正解模型的正確性，該方法同樣適用于動(dòng)平臺(tái)上含3個(gè)以上二重復(fù)合球面副、球鉸中心不局限于動(dòng)平臺(tái)棱邊中點(diǎn)且耦合度小于2的臺(tái)體型并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解的求解。

根據(jù)位置點(diǎn)之間的幾何關(guān)系推導(dǎo)并化簡了6個(gè)位移輸入?yún)f(xié)調(diào)方程，分別對(duì)比分析了N-R法和Broyden法的數(shù)值性態(tài)，研究發(fā)現(xiàn)，N-R法的精度優(yōu)于Broyden法至少3倍，Broyden法的計(jì)算時(shí)間約為N-R法的78%，Broyden法的綜合擾動(dòng)適應(yīng)性能優(yōu)于N-R法的1.27倍。同時(shí)，研究了許可初值偏差和結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)冗余協(xié)調(diào)算法的影響。

Stewart衍生型并聯(lián)機(jī)構(gòu)在具體應(yīng)用場(chǎng)合需要合理選取驅(qū)動(dòng)模式，其選取原則為：要允許有較大的最大許可初值偏差時(shí)，最佳冗余度為3；要使最大許可初值偏差對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)變化較敏感時(shí)，最佳冗余度為2；對(duì)實(shí)時(shí)性和抗擾動(dòng)性能要求較高時(shí)，最佳冗余度為5。

本文僅討論了N-R法和Broyden法的數(shù)值性態(tài)，對(duì)于其他算法是否會(huì)得到不同結(jié)論，該問題將另文研究。