許允斗，王 超，趙春霖，楊 帆，姚建濤，趙永生*

(1.燕山大學(xué) 河北省并聯(lián)機器人與機電系統(tǒng)實驗室，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué) 先進鍛壓成型技術(shù)與科學(xué)教育部重點實驗室，河北 秦皇島 066004)

1 引 言

相較于并聯(lián)機構(gòu)的工作空間小、調(diào)姿能力差等特點，混聯(lián)機器人[1-2]綜合了串聯(lián)機器人與并聯(lián)機器人的特點，具有工作空間大、調(diào)姿能力強、剛度高等優(yōu)點。

目前世界上已得到成功應(yīng)用的幾款混聯(lián)機器人均來自于國外，包括瑞典的Neos Robotics公司開發(fā)的Tricept[3]五自由度混聯(lián)機器人，德國DS-Technoligie公司研制的Ecospeed-Sprint Z3加工中心[4]，以及瑞典Exechon公司研制的Exechon混聯(lián)加工中心[5-6]，它們已成功應(yīng)用于航空結(jié)構(gòu)件的銑削和沖壓模具制作等方面。

國內(nèi)學(xué)者同樣進行了五自由度混聯(lián)機器人的研究，包括天津大學(xué)研制的TriVariant混聯(lián)機器人以及最新提出的Trimule混聯(lián)機器人[7]，清華大學(xué)與齊齊哈爾第二機床廠于2003年聯(lián)合研制的大型龍門式五軸聯(lián)動混聯(lián)機器人XNZD2415，清華大學(xué)與江東機床聯(lián)合研發(fā)制造的XNZ2010型混聯(lián)機器人，浙江理工大學(xué)研制的2UPR/RPU+RR結(jié)構(gòu)混聯(lián)機器人[8]等，但我國研發(fā)的混聯(lián)機器人仍停留在實驗研究階段。本課題組基于2RPU/UPR并聯(lián)機構(gòu)提出了一種完全具有連續(xù)轉(zhuǎn)軸的過約束五自由度混聯(lián)機器人[9-10]。

目前，關(guān)于并聯(lián)機器人、串聯(lián)機器人標定算法的研究較多，例如Neagoe[11]提出了一種通用標定算法來進行對串聯(lián)機械臂的標定。Gattringer[12]提出了一種低成本的工業(yè)機器人幾何標定策略，并使用激光干涉儀和工業(yè)攝像機進行標定。Khalil[13]通過經(jīng)緯儀辨識出串聯(lián)機器人的幾何參數(shù)。Nubiola[14]提出了6D測量系統(tǒng)用來測量工業(yè)6軸機器人，提高了機器人的絕對精度，戴智武[15]提出一種采用粒子群算法對Delta并聯(lián)機器人的誤差參數(shù)進行辨識的方法，省去了測量坐標系與機器人坐標系的轉(zhuǎn)換。潘伯釗[16]提出了通過激光跟蹤儀研究混聯(lián)機器人標定。本文以本課題組提出的2RPU/UPR+RP五自由度混聯(lián)機器人為對象，結(jié)合機器人自身的結(jié)構(gòu)特征，建立其標定原理與算法，采用激光跟蹤儀搭建標定實驗平臺進行標定實驗研究。

2 運動原理與誤差分析

2.1 運動原理

本文所研究的混聯(lián)機器人是在兩轉(zhuǎn)一移并聯(lián)機構(gòu)2RPU/UPR基礎(chǔ)上構(gòu)造的[17-18]，在并聯(lián)機構(gòu)動平臺上串接一單自由度搖擺頭，并在其下方單獨安裝一單自由度移動平臺，如圖1所示。

圖1 混聯(lián)機器人的機構(gòu)簡圖

文獻[9]和文獻[19]已經(jīng)對該混聯(lián)機器人機構(gòu)的位置正反解進行了詳細分析，但是由于實際加工與裝配的需求，樣機的安裝尺寸與原來的理論模型存在微小的差別。這里主要考慮該差別后，對位置反解模型進行解釋。

由于該混聯(lián)機器人機構(gòu)所有轉(zhuǎn)軸均是連續(xù)的，所以可以等效為如圖2所示的五自由度串聯(lián)機器人機構(gòu)。這里與原來理論模型的差別在于：搖擺頭軸線(z3軸)與，轉(zhuǎn)動副R2軸線和R3軸線的公垂線之間存在偏距l(xiāng)3(理論上為0)，考慮該偏距后，等效串聯(lián)機構(gòu)的反解解析模型如下：

(1)

再將θ1，d1和θ2值帶入并聯(lián)機構(gòu)的反解計算公式可得三個直線驅(qū)動支鏈的輸入分別為qi=|Bi-Ai|-qi0,(i=1,2,3)。

圖2 混聯(lián)機器人等效的RPRR+P串聯(lián)機器人模型

2.2 誤差分析

機器人誤差的主要來源為幾何誤差，即在機器人的制造與裝配過程中，由于誤操作或者加工裝配的精度低，致使機器人的關(guān)節(jié)軸線的位置和各關(guān)節(jié)軸線之間的相對位姿關(guān)系產(chǎn)生誤差。一般辦法是通過提高加工與裝配的精度來盡量避免這樣的幾何誤差，但是由于數(shù)控加工機床本身加工精度以及不可避免地人工操作誤差，這種方法顯然不能完全避免這樣地誤差。所以，需要通過參數(shù)補償?shù)胤椒▉硖岣呋炻?lián)機器人的精度，即首先找出關(guān)鍵的幾何誤差參數(shù)，然后通過運動學(xué)標定方法辨識出參數(shù)實際值，并將其代入到理論模型中進行補償。

并聯(lián)機構(gòu)部分的幾何誤差來包括連接動、定平臺鉸點中心的位置誤差，具體為定平臺上的鉸點Ai的位置誤差(ΔxAiΔyAiΔzAi)T，動平臺上的鉸點Bi的位置誤差(ΔxBiΔyBiΔzBi)T，以及始狀態(tài)下各分支的初始桿長誤差，但是獨立的誤差項僅為18項，因為桿長誤差與兩點位置誤差之間存在一個相關(guān)項。

由于下方獨立的移動平臺設(shè)計技術(shù)較為成熟，精度很高，因此這里不需要進行參數(shù)標定。所以串聯(lián)部分只需考慮搖擺頭部分，這部分誤差包括連桿長度l1、擺頭長度l2和軸線偏置l3的誤差Δl1，Δl2和Δl3，以及單自由度擺頭的初始角度誤差Δθ30。故串聯(lián)分支共有4個獨立的幾何誤差項。

綜上所述，混聯(lián)機器人的幾何誤差項共有25項，其中相互獨立的幾何誤差項共有22項。其中桿長誤差Δqi與擺頭誤差Δθ30由于裝配過程中跟驅(qū)動器零位相關(guān)，容易產(chǎn)生較大誤差。而其他幾何誤差僅與加工制造以及裝配的精度相關(guān)，誤差相對較小。故對混聯(lián)機器人進行誤差補償時，首先要考慮的就是桿長誤差Δqi與搖擺頭誤差Δθ30的標定辨識。對僅對初始桿長值qi0和擺頭初始擺角θ30進行的標定我們稱之為零點標定，這對機器人精度的提供至關(guān)重要。然后對剩下幾何誤差參數(shù)以及零點標定完的初始桿長值和擺頭初始擺角的標定，此次標定也稱為全標定。各誤差參數(shù)的理論值如表1所示。

表1 誤差參數(shù)理論值

Tab.1 Theoretical value of error parameters (mm)

參數(shù)支鏈1支鏈2支鏈3xAi-4100410yAi0-5060zAi000xBi-2000200yBi0-2460zBi000qi01 185.744 11 195.612 41 185.744 1

3 標定原理與實驗研究

3.1 標定原理分析

這里混聯(lián)機器人的2RPU/UPR并聯(lián)機構(gòu)與單自由度擺頭分別進行標定。

3.1.1 并聯(lián)部分標定

(1) 零點標定原理與算法

根據(jù)并聯(lián)機構(gòu)部分反解可得：

qi=|RgBi+P-GAi|,(i=1，2，3)，

(2)

其中：R表示并聯(lián)機構(gòu)動平臺坐標系{g}相對于參考坐標系{G}的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，P表示平移向量。

當(dāng)并聯(lián)機構(gòu)的姿態(tài)發(fā)生改變時，3條支鏈的長度均會發(fā)生改變。每改變一次姿態(tài)，通過伺服系統(tǒng)可以讀取電機的轉(zhuǎn)動的圈數(shù)，根據(jù)傳動比可以計算出支鏈運動的變化量。那么各分支的桿長為：

qi=qi0+Δqij，

(3)

其中：qi0表示帶有誤差的3條支鏈初始桿長，Δqij表示在變換第j個位姿時，第i個支鏈桿長的改變量。

由式(2)和式(3)可得：

qi0+Δqij=|RjgBi+Pj-GBi|,(i=1，2，3)，

(4)

其中：Rj為第j次改變位姿時的姿態(tài)矩陣，Pj為第j次改變位姿時的平移向量，可以通過外部高精度測量元件測量。

在研究零點位置誤差時，只考慮初始桿長誤差共有3個未知數(shù)，那么只需要改變1次位姿就可以根據(jù)式(4)構(gòu)造出3個相互獨立的方程，我們不妨設(shè)：

fij=fij(qi0)=

(5)

其中fij表示動平臺處于第j個位姿第i個支鏈所構(gòu)造的函數(shù)。理論上只需要動平臺變換1次姿態(tài)即可求出3條支鏈初始桿長，但是由于測量過程中的可能誤操作，測量一次顯然不能滿足精度的要求，所以需要進行多次測量，綜合n次的測量結(jié)果才能使最終得到的結(jié)果更加逼近實際桿長。構(gòu)造的方程組為：

(6)

因此求解零點位置誤差的問題轉(zhuǎn)化成了求解參數(shù)qi0使得目標函數(shù)F的值最小的區(qū)域?qū)?yōu)問題。其中：

(7)

式中ki為式(7)中各方程所占的比重，由于各分支相互獨立，且各方程的對目標函數(shù)的影響相同，所以將ki的值設(shè)為1。

綜上所述，2RPU/UPR并聯(lián)機構(gòu)零點位置誤差標定問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)最優(yōu)值問題。

(2) 全標定原理與算法

同樣由式(4)可知,每變換一次位姿，可構(gòu)造3個方程，而全標定共有18個獨立參數(shù)需要辨識，因為初始桿長可由支鏈與動定平臺連接兩點的距離求得，所以至少需要變換6次位姿，但是為了提高識別精度，這里還是變換n次位姿(n>6)，構(gòu)造的方程組如下所示。

(8)

全誤差標定時18個獨立誤差參數(shù)的辨識同樣也可以轉(zhuǎn)化成式(7)目標函數(shù)的優(yōu)化問題。

3.1.2 搖擺頭部分標定

(1)零點標定原理

由于單自由度搖擺頭擺角可以通過測量擺頭平面相對于動平臺平面的夾角直接得到，其中動平臺平面A和擺頭側(cè)面B均為光滑加工面，如圖3所示，所以這里只需要通過測量平面A和平面B的夾角，就可以對擺頭初始擺角直接進行補償。

圖3 待測量平面A和平面B

(2)全標定原理與算法

因為連桿長度和軸線偏置都是針對的關(guān)節(jié)軸線之間的相對位置關(guān)系，所以這里的標定算法還是通過測量的方法將關(guān)節(jié)軸線直接測量出來，分別為等效串聯(lián)機構(gòu)中z3軸、z4軸和z5軸，然后求解軸線之間的公垂線長度即為這些參數(shù)的實際值。這里通過激光跟蹤儀采集多組連桿運動軌跡，進而擬合出機器人關(guān)節(jié)軸線。

3.2 標定系統(tǒng)搭建與標定實驗研究

3.2.1 基于激光跟蹤儀的位姿測量原理

由激光跟蹤儀搭建的標定實驗平臺如圖4所示。

圖4 基于激光跟蹤儀標定實驗平臺

圖5所示為基于激光跟蹤儀的位姿測量原理。激光跟蹤儀作為外部測量元件，其可以精確的測量出跟蹤儀(絕對)坐標系下目標點的三維信息，并可以通過特征點建立起坐標系。

圖5 激光跟蹤儀的位姿測量原理

通過外部測量傳感器建立測量坐標系{N}，定坐標系{G}以及動坐標系{g}。當(dāng)動平臺開始運動時，動坐標系的位置與姿態(tài)的測量就變得十分困難，故引入一個輔助點來進行間接測量，設(shè)Q點為動平臺上一個已知測量點。通過驅(qū)動數(shù)控系統(tǒng)改變并聯(lián)機器人的桿長，從而改變動平臺相對于定平臺的位姿。

其中l(wèi)表示定坐標系{G}原點O到動坐標系{g}原點o的矢量，于是，根據(jù)圖5可以得到：

l=GOQ-GoQ，

(9)

根據(jù)剛體位姿的描述，可以得到：

(11)

將式(10)和式(11)代入式(9)中整理得：

(12)

根據(jù)前面分析可以得知混聯(lián)機器人并聯(lián)部分具有三個自由度，并且動平臺在運動的過程中沒有Y軸方向的耦合位移量，則l可表示為：

(13)

將式(13)代入式(12)中整理得：

(14)

3.2.2 動、定坐標系測量

由上述原理可知，需要測量出混聯(lián)機器人機構(gòu)動、定坐標系的原點位置和各坐標軸矢量，根據(jù)激光跟蹤儀擬合的關(guān)節(jié)軸線和定平臺及動平臺法線，在激光跟蹤儀軟件SA-job中建立坐標系。

(1)動平臺動坐標系的建立。通過擬合動平臺上的U副近動平臺端的軸線，將其作為動坐標系的X軸；再擬合出單自由度搖擺頭的軸線，將其作為動坐標系的Y軸的矢量方向；接下來沿著兩條直線的公垂線平移單自由度搖擺頭的軸線，相交的點作為動坐標系原點，Z軸通過“右手定則”判斷。

(2)混聯(lián)機器人定坐標系的建立。由于定平臺鉸鏈無法直接測量，故先通過擬合定平臺上兩個R副軸線，再做出兩R副軸線的中心線，將其作為定坐標系的Y軸；再擬合出工作臺平面的垂直向量，將其作為定坐標系的Z軸，X軸通過“右手定則”判斷。

(16)

由于定坐標系Y軸是根據(jù)左右兩R副擬合得到，故A1和A3鉸點的實際位置應(yīng)關(guān)于原點對稱，即：

(17)

綜上，混聯(lián)機器人標定實驗的定坐標系與動坐標系建立完畢。

3.2.3 并聯(lián)機構(gòu)部分標定

(1)零點標定

規(guī)劃混聯(lián)機器人三根驅(qū)動桿以0.3 mm的增量運行，共運行30次，按照圖6示意擺放靶球至動平臺上表面。測量得到靶球在動坐標系下的坐標為:

gQ=

通過數(shù)控系統(tǒng)改變混聯(lián)機器人的驅(qū)動桿長的同時，記錄出靶球的在激光跟蹤儀坐標系下的坐標如表2所示。

圖6 靶球擺放示意圖

表2 桿長變化時靶球的坐標

Tab.2 Coordinates of target ball with varying rod length

測量點靶球坐標1(-317.425 7,-2 877.553 5,-639.850 9)2(-317.409 1,-2 877.533 4,-640.164 3)3(-317.393 0,-2 877.512 6,-640.469 8)…28(-317.494 7,-2 877.490 9,-648.048 3)29(-317.480 5,-2 877.493 9,-648.342 0)30(-317.473 8,-2 877.498 4,-648.649 6)

將上述數(shù)據(jù)代入式(14)，可以得到每次桿長改變時的θ1,θ2和d值如表3所示。

表3 解算得到的θ1,θ2和d值

然后采用求解的最優(yōu)解，可得零點位置誤差辨識的結(jié)果，如下表所示。

表4 零點位置誤差辨識結(jié)果

(2)全標定

同樣地，對式(8)求各參數(shù)的最優(yōu)解，全誤差辨識結(jié)果如表5所示。

3.2.4 搖擺頭部分標定

對單自由度搖擺頭進行零點位置誤差標定時，首先通過數(shù)據(jù)點擬合出動平臺上平面和單自由度搖擺頭的側(cè)平面，然后求得兩平面的法向量。表6為測量得到的兩平面上的點坐標。

表5 全誤差辨識結(jié)果

表6 測量得到的兩平面上的點坐標

由表6擬合出動平臺上平面的法向量為(0.014 4，-0.999 8，0.002 1)，單自由度搖擺頭的側(cè)平面的法向量為(-0.873 8，-0.036 7，-0.013 6)，計算出兩向量夾角為88.620 11°，故通過數(shù)控系統(tǒng)補償?shù)膯巫杂啥葥u擺頭零點位置誤差為Δθ30=1.379 89°。

在進行單自由度搖擺頭全誤差標定時，需要通過激光跟蹤儀擬合出混聯(lián)機器人的z3軸線、搖擺頭轉(zhuǎn)動軸線(z4軸)以及刀具軸線(z5軸)，在建立動坐標系時已經(jīng)擬合出z3軸線和z4軸線，故還需要擬合出刀具軸線，將磁性表座吸到刀軸表面進行測量，如圖7為刀具軸線的測量過程。

圖7 刀具軸線的測量過程

通過擬合得到的3條軸線的函數(shù)表達式如表7所示，計算得到z3軸線與z4軸線公垂線長度l1為255.431 1 mm，z3軸線與z4軸線的公垂線，與刀具軸線的偏距l(xiāng)3為5.018 1 mm。通過測量單自由度搖擺頭末端點，得到其與z4軸線間的距離l2為358.061 7 mm。

表7 擬合的三條軸線表達式

4 精度測量

本文主要使用中國國標GBT17421.2-2000的計算測量方式來對五自由度混聯(lián)機器人進行精度測量[20]。

根據(jù)國標規(guī)定，數(shù)控設(shè)備的精度檢測需要在設(shè)備的工作空間內(nèi)，沿平行于坐標軸的某一軸線方向選取若干個定位點(5～15個)，對于每個點分正負兩個方向重復(fù)多次定位測量(3～5次)，將測到的真實數(shù)據(jù)點代入國標公式中即可完成對數(shù)控設(shè)備的精度檢驗。

使用全世界最大的激光干涉儀生產(chǎn)廠家之一的安捷倫科技公司生產(chǎn)的Agilent(安捷倫)5529A激光干涉儀作為精度測量元件，分辨率為10 nm，該激光干涉儀使用雙頻激光作為測量激光，有效的減小了空氣擾動對測量的影響。具體的精度測量方案如下：

步驟(1)：搭建起激光干涉儀測量系統(tǒng)，安裝好溫度傳感器，材料傳感器后，將反射鏡放置到混聯(lián)機器人遠端，干涉鏡放置到待測量目標處，如圖8所示。

圖8 激光跟蹤精度測量系統(tǒng)

步驟(2)：調(diào)整好激光光路，使得在全工作空間內(nèi)激光可以反射回干涉儀。

步驟(3)：按照圖9所示的測量行程路線示意圖進行測量數(shù)據(jù)，表8為各軸的測量參數(shù)設(shè)置。

為了對比零點位置誤差標定和全誤差標定對混聯(lián)機器人的精度影響，分別測量出混聯(lián)機器人未標定時、完成零點位置誤差標定后以及完成全誤差標定后，X軸與Z軸的定位精度。由于Y軸輸出由獨立的單自由度移動平臺完成，這里沒有給出標定過程，直接測量出其定位精度和重復(fù)定位精度為0.015 mm和0.01 mm。表9和表10為X和Z軸的位置精度測量結(jié)果。

圖9 測量行程路線示意圖

表8 各軸的測量參數(shù)設(shè)置

表9 X軸定位精度

表10 Z軸定位精度

5 結(jié)果討論

從實驗結(jié)果來看，五自由度混聯(lián)機器人的Y軸定位精度最高，Z軸次之，X軸精度最低。一方面，由于Y軸運動由獨立的單自由度移動完成，而Z軸和X軸運動則是4個電機聯(lián)動完成的。另一方面，從剛度角度分析，混聯(lián)機器人整體處于懸臂狀態(tài)，其側(cè)向剛度(X軸方向)要低于軸向剛度(Z軸方向)，這也是X軸定位精度較低的主要影響因素。

通過運動學(xué)標定，其定位精度和重復(fù)定位精度較未標定時均有一定程度的提升，X方向的定位精度提升了近0.1 mm，Z方向的定位精度提升了近0.03 mm。其中零點標定對定位精度的提升比較明顯，在零點標定基礎(chǔ)上完成的全標定對定位精度有較小幅度的提升。實驗數(shù)據(jù)充分表明了本文所提出運動學(xué)標定方法的有效性。

6 結(jié) 論

本文針對2RPU/UPR+RP過約束混聯(lián)機器人的結(jié)構(gòu)特征，分析了其誤差源參數(shù)，共有22個獨立參數(shù)需要標定，并將其分為并聯(lián)機構(gòu)和單自由度搖擺頭兩部分，分別建立這兩部分的零點標定與全標定方法。提出了基于激光跟蹤儀的位姿測量原理，搭建了標定實驗平臺，得到了誤差參數(shù)的真實值，計算了標定前后的混聯(lián)機器人的定位精度，結(jié)果表明，零點標定對機器人定位精度的提升非常明顯，X軸和Z軸定位精度的分別從0.861 8 mm和0.093 8提升到了0.769 1 mm和0.060 5 mm，在零點標定基礎(chǔ)上的全標定對定位精度也有較小程度地提升。

通過標定后，X方向定位精度仍然比較低，分析其主要因為為并聯(lián)機構(gòu)在X方向的側(cè)向剛度比較低，主要支鏈驅(qū)動單元的導(dǎo)向部分結(jié)構(gòu)剛度弱引起的，目前正在研討改進方案，后續(xù)將進一步對該混聯(lián)機器人進行改造。