王 娜， 章志華*， 張嘉敏， 舒 蘭

（1.江蘇大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江212013； 2.電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都611731）

量子隱形傳態(tài)方案最早在1993 年由Bennett等［1］提出.此方案中有一待傳送的單量子未知態(tài)，發(fā)送者和接收者共享一個EPR 對作為量子糾纏信道.發(fā)送者對自己手中的粒子進(jìn)行一次Bell基測量并通過經(jīng)典信道將測量結(jié)果告訴接收者.接收者作相應(yīng)幺正變換重構(gòu)待傳送態(tài)，從而完成隱形傳態(tài).此后，許多學(xué)者開始了對隱形傳態(tài)的研究：Cao等［2］利用W 態(tài)作為信道實現(xiàn)二粒子隱形傳態(tài)，Yang等［3］提出三粒子糾纏態(tài)隱形傳態(tài)方案；特別地，Nielsen［4］提出了以非最大糾纏態(tài)作為量子信道實現(xiàn)隱形傳態(tài)，隨后關(guān)于這方面的方案也相繼被提出.

可控量子隱形傳態(tài)是在1998 年由Karlesson等［5］首次提出，其中利用的量子信道為GHZ態(tài).在可控量子隱形傳態(tài)中除了發(fā)送者和接收者還多了一個控制者，發(fā)送者想將信息傳送給接收者需要向控制者提出申請，待控制者同意后才能進(jìn)行隱形傳態(tài).近年來，一些可控隱形傳態(tài)方案被相繼提出.劉俊昌等［6］基于糾纏交換和團(tuán)簇態(tài)實現(xiàn)任意二粒子態(tài)的可控隱形傳態(tài)，胡鈺安等［7］提出基于四粒子GHZ態(tài)的可控量子雙向隱形傳態(tài)方案.

在量子隱形傳態(tài)中，三粒子糾纏態(tài)的隱形傳態(tài)一直是人們研究的熱點問題.Dur 等［8］在研究三粒子糾纏態(tài)時發(fā)現(xiàn)，可將任意三粒子糾纏態(tài)轉(zhuǎn)換為糾纏GHZ態(tài)和糾纏W態(tài)，因此糾纏GHZ態(tài)的傳送成為值得研究的問題.如劉秀等［9］提出利用三粒子部分糾纏GHZ 態(tài)概率隱形傳送三粒子GHZ 態(tài)的方案，李艷玲等［10］利用單個三粒子最大GHZ 態(tài)或2個EPR態(tài)隱形傳送任意三粒子GHZ態(tài)，臧鵬等［11］利用2 個EPR對實現(xiàn)三粒子GHZ態(tài)的控制隱形傳態(tài)方案.W態(tài)在結(jié)構(gòu)上相較GHZ態(tài)更穩(wěn)定，不易被破壞［12］，W態(tài)作為信道可以提高隱形傳態(tài)的安全性.楊洪欽等［13］提出利用三粒子W態(tài)隱形傳送三粒子GHZ態(tài)的方案，查新未等［14］提出利用一個三粒子W態(tài)隱形傳送N粒子GHZ態(tài)的方案.本文考慮到隱形傳態(tài)的可控性和安全性問題，提出利用一個非最大糾纏EPR 對和一個四粒子GHZ 態(tài)、一個非最大糾纏的EPR對和W態(tài)分別作為信道隱形傳送任意三粒子GHZ態(tài)的方案.

1 方案1：利用一個非最大糾纏EPR對和一個非最大糾纏的四粒子GHZ態(tài)的隱形傳態(tài)

假定Alice和Bob傳送的未知態(tài)為GHZ態(tài)，表示為

Alice和Bob共享的量子信道為一個非最大糾纏的EPR對和一個非最大糾纏的四粒子GHZ態(tài)的復(fù)合

其中，參數(shù)滿足｜a ｜2+ ｜b ｜2=1 和｜c ｜2+ ｜d ｜2=1.Alice擁有粒子1、2、3、4，Bob擁有粒子6、8、9，粒子5、7 屬于控制者Charlie.量子信道為

Alice要將信息傳遞給Bob 需向控制者Charlie提出申請，若Charlie 同意Alice 的申請，則對粒子5、7 進(jìn)行Bell基聯(lián)合測量.Bell基形式為：

Bell基聯(lián)合測量后，粒子4、6 建立聯(lián)系.Charlie將測量結(jié)果通過經(jīng)典信道告訴Bob.如果Charlie的測量結(jié)果為｜Φ+〉57，則量子信道坍縮態(tài)為

此時待傳送態(tài)和量子信道的總量子態(tài)（除歸一化因子）為

接著，Alice 對自己手中的粒子1、4 進(jìn)行Bell基測量，測量后系統(tǒng)量子態(tài)為如下幾種情況：

假定Alice的測量結(jié)果為｜Ψ+〉14，則量子態(tài)坍縮態(tài)為

接下來，Alice將粒子2、3 在基｛｜+〉、｜-〉｝下分別進(jìn)行2 次單粒子von -Neumann 測量，測量后粒子6、8、9 坍縮態(tài)為：

Alice將測量結(jié)果通過經(jīng)典信道告訴Bob，Bob根據(jù)Charlie和Alice的測量結(jié)果對粒子6、8、9 作相應(yīng)的幺正變換.粒子6、8、9 的狀態(tài)（除歸一化因子）和相應(yīng)的幺正變換由表1 給出，其中UT 為Unitary transformation縮寫，下同.

表1 對應(yīng)粒子6、8、9 的態(tài)Bob所實施的幺正變換Tab.1 UT by Bob corresponding to different states of particle 6，8 and 9

例如，如果Charlie 的測量結(jié)果為｜Φ+〉57，Alice的測量結(jié)果為｜Ψ+〉14、｜+〉2、｜+〉3，則粒子6、8、9 的坍縮態(tài)（除歸一化因子）為

由上式可以看出，Bob 通過變換之后不能得到原來的態(tài)，因為非最大糾纏信道已使得被傳送的量子態(tài)發(fā)生變化，含有了信道參數(shù)a、b、c、d，因此引進(jìn)初態(tài)為｜0〉的輔助粒子A，并且以基｛｜0000〉689A、｜1110〉689A、｜0001〉689A、｜1111〉689A｝進(jìn)行U變換

其中，Ai（i=1，2）為2 ×2 的對角矩陣，表示為

其中，｜bi｜≤1，i =1，2 且其值依賴于粒子6、8、9、A的態(tài).對于粒子6、8、9、A 所處的態(tài)（除歸一化因子），矩陣元b1、b2的取值由表2 給出.

表2 粒子6、8、9、A所處的態(tài)對應(yīng)矩陣元b1、b2的值Tab.2 The states of particle 6，8，9 and A corresponding to the value of the matrix element b1 and b2

對于態(tài)

最后，Bob 對粒子A 進(jìn)行測量，若測量結(jié)果為｜1〉A(chǔ)，則隱形傳態(tài)失敗；如果測量結(jié)果為｜0〉A(chǔ)，則隱形傳態(tài)成功且成功的概率為因此，方案1 的總成功概率為

2 方案2：利用非最大糾纏的EPR 對和非最大糾纏W態(tài)的隱形傳態(tài)

Alice 發(fā)送給Bob 的未知態(tài)為（1）式.Alice 和Bob共享的量子信道為一個非最大糾纏的EPR 對和一個非最大糾纏的W態(tài)，表示為

其中，參數(shù)滿足｜a｜2+ ｜b｜2+ ｜c｜2+ ｜d｜2=1， ｜e｜2+ ｜f｜2=1.

設(shè)Alice擁有粒子1、2、3、4，Bob擁有粒子6、8，粒子5、7 屬于控制者Charlie.

為了更好地完成隱形傳態(tài)，將W 態(tài)以4 粒子為控制位，5、6 粒子為靶位，分別做2 次CNOT 操作，W態(tài)變換為

此時的量子信道為

Alice 想要將信息傳遞給Bob 就必須要向控制者Charlie提出申請，若Charlie同意Alice的申請則對粒子5、7 進(jìn)行Bell 基聯(lián)合測量，Bell 基由（4）式給出.Charlie通過經(jīng)典信道將測量結(jié)果告訴Bob.

假定Charlie 的測量結(jié)果為｜Φ+〉57，量子信道坍縮態(tài)（除歸一化因子）為

待傳送態(tài)和量子信道的總量子態(tài)（除歸一化因子）為

首先，Alice 對粒子1 和4 進(jìn)行Bell基測量，測量后粒子2、3、6、8 坍縮態(tài)（除歸一化因子）為：

接著，Alice對粒子2、3在基｛｜+〉，｜-〉｝下分別進(jìn)行單粒子von -Neumann 測量，并將測量結(jié)果通過經(jīng)典信道告訴Bob.如果Bob 收到的結(jié)果為｜Φ+〉14、｜+〉2、｜+〉3，那么粒子6、8坍縮態(tài)（除歸一化因子）為

Bob引入2 個初態(tài)都為｜0〉的粒子A、B 并對粒子6進(jìn)行單粒子測量，測量結(jié)果（除歸一化因子）為：

由上式可以看出如果測量結(jié)果為｜0〉6，隱形傳態(tài)直接失??；如果測量結(jié)果為｜1〉6，隱形傳態(tài)可以繼續(xù).Bob根據(jù)Alice 和Charlie 的測量結(jié)果對態(tài)｜ψ〉8AB（除歸一化因子）進(jìn)行幺正變換并由表3 給出.

表3 對應(yīng)粒子8、A、B的態(tài)Bob所實施的幺正變換Tab.3 UT of Bob corresponding to different states of 8，A and B

假定Charlie的測量結(jié)果為｜Φ+〉57，Alice的測量結(jié)果為｜Φ+〉14、｜+〉2、｜+〉3，Bob 的測量結(jié)果為｜1〉6，由表3可知，進(jìn)行恒等變換后（除歸一化因子）為

接著，Bob以粒子8 為控制位，粒子A、B 為靶位分別作2 次CNOT操作，得到

然后，Bob引入初態(tài)為｜0〉的粒子C并且以基｛｜0000〉，｜1110〉，｜0001〉，｜1111〉｝8ABC進(jìn)行U 變換，矩陣U由（11）式給出.其中，bi（i =1，2）的值依賴于粒子8、A、B、C的態(tài).對于粒子8、A、B、C所處的態(tài)（除歸一化因子），矩陣元b1、b2的取值由表4 給出.

表4 粒子8，A、B、C的狀態(tài)及其對應(yīng)的矩陣元b1、b2的值Tab.4 The state of particle 8，A，B and C corresponding to the value of the matrix element b1 and b2

對于態(tài)

最后，Bob對粒子C進(jìn)行測量，若測量結(jié)果為｜1〉C，則隱形傳態(tài)失??；如果測量結(jié)果為｜0〉C，則隱形傳態(tài)成功且成功的概率為因此，方案2 的總成功概率為

3 結(jié)論

本文提出2種方案用于非最大糾纏GHZ態(tài)的受控量子隱形傳態(tài).這2種方案相對于之前的GHZ態(tài)隱形傳態(tài)在可控性和安全性上都有一定的優(yōu)點，同時也在保證成功率的情況下減少了一定的測量過程.本文的方案相比于文獻(xiàn)［10，13-14］有以下優(yōu)點：

1）本文的信道中加有控制者，這一點大大提高了隱形傳態(tài)的安全性.

2）本文采用非最大糾纏的量子態(tài)作為信道，使得結(jié)論更具有一般性.

3）由文獻(xiàn)［12］知道W 態(tài)比較穩(wěn)定，不易破壞，用W態(tài)作為信道可以提高安全性.方案2 以一個非最大糾纏的EPR對和一個非最大糾纏的W態(tài)為信道，較文獻(xiàn)［10 -11］中以2 個EPR 對作為糾纏信道隱形傳態(tài)過程更加安全.

本文與其他可控量子隱形傳態(tài)的不同在于，與文獻(xiàn)［7］中2 個四粒子GHZ態(tài)為信道相比，本文采用的量子信道為Bell 態(tài)和三粒子GHZ 態(tài)更易制備，從而節(jié)省了信道資源.本文相較文獻(xiàn)［11］在成功率相同的情況下，測量次數(shù)和幺正變換次數(shù)都有減少，這使得隱形傳態(tài)過程更簡便.相比文獻(xiàn)［12］，本文中發(fā)送者需征求控制者同意后，通過糾纏交換使發(fā)送者和接收者之間建立糾纏信道才可進(jìn)行隱形傳態(tài)，因此安全性更進(jìn)一步提高.