李飛 閔昌萬 王穎 夏強 孫石杰 張鵬宇

摘?要：本文針對分數(shù)階PID控制器調節(jié)參數(shù)多、人工調參難度較大的問題，提出了參數(shù)自適應教與學優(yōu)化分數(shù)階PID控制器設計方法。分數(shù)階PID控制器參數(shù)尋優(yōu)過程引入種群適應度方差表征種群的“聚集程度”，將影響算法收斂速度和收斂精度的教學因子設計成種群適應度方差的函數(shù)，使其在算法迭代過程中根據(jù)種群的“聚集程度”自適應調節(jié)算法收斂速度。當種群聚集程度高時，提高教學因子取小值的概率，增強種群的多樣性;當種群聚集程度低時，提高教學因子取大值的概率，提高算法的收斂速度。通過仿真驗證，本文提出的參數(shù)自適應分數(shù)階PID控制器控制整數(shù)階系統(tǒng)、分數(shù)階系統(tǒng)均可獲得優(yōu)良的控制效果，與參考文獻設計的控制器相比在動態(tài)性能上有顯著提升，參數(shù)自適應分數(shù)階PID控制器較整數(shù)階PID控制器在響應速度上提高69.8%，超調量減少92.6%，穩(wěn)態(tài)誤差減小32.4%。

關鍵詞：分數(shù)階系統(tǒng);PSATLBO算法;教學因子;參數(shù)自適應;分數(shù)階PID控制器

中圖分類號：TJ765;V37?文獻標識碼：A?文章編號：1673-5048（2020）01-0096-07

0?引言

隨著科學技術的進步，以及計算機技術的飛速發(fā)展，分數(shù)階微積分作為數(shù)學的一個重要分支在信號處理與系統(tǒng)辨識、控制和機器人領域取得了較大的進展[1-3]。分數(shù)階系統(tǒng)（Fractional Order System，F(xiàn)OS）與整數(shù)階系統(tǒng)（Integer Order System，IOS）相比包含更多的動力學信息，通常采用系統(tǒng)辨識的方法獲得，例如固體加熱模型[4]、加壓重水反應堆模型[5]等。

分數(shù)階PID（Fractional Order Proportional Integral Derivative，F(xiàn)OPID）控制器作為整數(shù)階PID（Integer Order Proportional Integral Derivative，IOPID）控制器的擴展，設計自由度更大，更適合控制分數(shù)階系統(tǒng)[6]。分數(shù)階PID控制器設計參數(shù)為Kp，Ki，Kd，λ，μ，手動調參難度較大，許多學者對此進行了大量的研究工作。目前分數(shù)階PID參數(shù)整定方法分三類：自整定、魯棒整定、優(yōu)化整定。Cao J Y，Machado J?A T等人利用遺傳算法對分數(shù)階PID進行參數(shù)整定[7-8];Zamani M，Maiti D等利用粒子群優(yōu)化算法對分數(shù)階PID參數(shù)進行尋優(yōu)[9-10];Dastjerdi A A等人分析了分數(shù)階PID的頻率特性，確定了分數(shù)階PID的設計準則[11]，并應用于三自由度位置控制模型;Sagar S，Bettayeb M等人設計了內模分數(shù)階控制器[12-13];Bhase S S等人設計了分數(shù)階PI控制器[14];Zhao C N，Monje C A，Chen Y Q，Padula F等人研究了不同優(yōu)化目標和約束條件下的分數(shù)階控制器[15-18]，其他學者也對此做出了相關研究工作[19-21]。上述研究對利用教與學優(yōu)化算法尋優(yōu)分數(shù)階PID控制器參數(shù)鮮有介紹，因此，本文提出利用參數(shù)自適應教與學優(yōu)化算法對分數(shù)階PID控制器參數(shù)優(yōu)化。

1?分數(shù)階微積分基礎理論

1.1?分數(shù)階微積分定義

分數(shù)階微積分是整數(shù)階微積分的延伸與推廣，分數(shù)階微積分將微積分的概念擴展到整個實軸，甚至是整個復平面。迄今為止，科學界尚未給出分數(shù)階微積分的統(tǒng)一定義，目前常用的定義形式有Grunwald-Letnikov（G-L）定義以及Riemann-Liouville（R-L）定義。

通常將分數(shù)階的微分和積分統(tǒng)一定義為分數(shù)階微積分操作算子，操作算子形式如下：

1.2?分數(shù)階PID控制器定義

分數(shù)階PID控制器為整數(shù)階PID控制器的拓展，其一般形式為PIλDμ，當λ=1，μ=0時為傳統(tǒng)PI控制器;當λ=0，μ=1時為傳統(tǒng)PD控制器;當λ=1，μ=1時為傳統(tǒng)PID控制器。分數(shù)階PID較整數(shù)階PID控制器多了兩個可調參數(shù)λ，μ，擴大了參數(shù)調節(jié)自由度，對于被控對象，尤其是分數(shù)階被控對象，通過參數(shù)的合理配置能夠獲得更好的控制效果。分數(shù)階PID控制器在頻域內和時域內的控制形式如下：

2?PSATLBO參數(shù)優(yōu)化

2.1?TLBO算法概述

TLBO算法由印度學者Rao在2014年提出，該算法與遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法等傳統(tǒng)優(yōu)化方法相比，具有調節(jié)參數(shù)少、收斂速度快、求解精度高的優(yōu)點[22-25]。將TLBO算法應用于分數(shù)階PID控制器參數(shù)整定，可有效減輕調參工作量。

TLBO優(yōu)化算法是模擬課堂教學過程，將這一過程用數(shù)學模型來表示。在整個班級中，教師與學生均為其中的個體，教師是個體中適應度最好的;而學生則是需要向老師學習的個體，學生中的每門課程代表待優(yōu)化參數(shù)向量。算法中的班級可用搜索空間S表示，學生可用Xi表示，學生每門課程為分數(shù)階PID的5個設計參數(shù)，其最大值、最小值分別用XUi，XLi表示。TLBO優(yōu)化算法求解過程可分為兩個階段：一是學生向老師學習階段，二是學生間互助啟發(fā)學習階段。

（1）教學階段

在第i次迭代中，學生以及教師的平均水平為Mi，教師Ti為個體中適應度最優(yōu)的。在這一階段，認為教師每門課程都是最好的，并試圖讓學生的平均水平Mi向自己靠攏，如圖 1所示。

學習過程中教師與學生之間的差異如下：

經過教師的教學后，學生個體每門課程成績如下：

（2）學生學習階段

學生跟教師學習完之后，班級中會出現(xiàn)成績相對較好的學生以及成績較差的學生，學生在這一階段利用課余時間進行互助學習，成績好的學生試圖讓成績差的學生向自己靠攏，這一過程用數(shù)學模型表示為

2.2?PSATLBO算法

全局搜索算法普遍存在早熟收斂問題，TLBO算法作為全局優(yōu)化算法同樣存在這一問題。TLBO算法中教學因子TF影響種群個體向最優(yōu)個體的聚集速度，進而影響算法整體的收斂速度和精度，因此TF的取值設計將是解決早熟收斂問題的有效突破點。TLBO算法每次迭代中TF隨機取值為1或2，其中1代表學生沒有學到知識，2代表學生完全掌握了教師的知識。但是這種求解過程未考慮到學生總體的“聚集程度”，若學生大多聚集于教師附近，算法容易陷入局部最優(yōu)解;若學生過于分散，此時又不利于學生快速提高成績（降低適應度值），因此，本文提出了一種參數(shù)自適應教與學優(yōu)化（Parameter Self Adaption Teaching Learning Based Optimization，PSATLBO）算法。

為了分析種群中學生的“聚集程度”，引入群體適應度方差的概念，即

PSATLBO算法使用的自適應教學因子可根據(jù)種群的適應度方差進行調整。若種群適應度方差大，表明種群中學生距離教師的離散程度大，通過提高教學因子TF取值為2的概率，使下次迭代時大部分學生向教師靠攏;若種群的適應度方差小，表明學生大部分聚集于教師附近，通過提高教學因子取值為1的概率，增加下次迭代時大部分學生距離教師的距離，增強種群的多樣性，避免算法早熟。

3?分數(shù)階控制器設計及參數(shù)整定

分數(shù)階PID參數(shù)整定適應度函數(shù)以積分誤差為性能指標，根據(jù)是否加入時間項t分為ITAE準則以及IAE準則，其形式如下：

一般情況下，系統(tǒng)會在短時間內達到穩(wěn)定，ITAE準則是以t和e（t）的乘積為被積函數(shù)，較小的t值會湮沒誤差e（t）帶來的影響，并且系統(tǒng)的快速響應會導致較大的系統(tǒng)超調與振蕩，因此，本文以IAE準則作為性能指標。

分數(shù)階PID共有5個參數(shù)需要調節(jié)，在MATLAB腳本文件中編寫PSATLBO參數(shù)優(yōu)化算法，適應度函數(shù)在Simulink環(huán)境下搭建。

使用PSATLBO算法進行分數(shù)階PID參數(shù)整定的步驟如下：

（1）估計分數(shù)階PID設計參數(shù)向量（KP，KI，KD，λ，μ）的上下界pL和pU;

（2）設置PSATLBO算法種群數(shù)量、最大迭代次數(shù)，并初始化種群;

（3）根據(jù)式（7）～（12）計算種群的參數(shù)均值、適應度方差、教學因子;

（4）“學生”向“教師”學習，并判斷學習后的適應度值是否優(yōu)于之前值，若是，則更新“學生”參數(shù);

（5）隨機選擇兩個“學生”，適應度值差的“學生”按照適應度值好的“學生”更新參數(shù);

（6）判斷算法是否達到最大迭代次數(shù)，若達到最大，算法結束;否則，算法繼續(xù)執(zhí)行第（3）步。

PSATLBO優(yōu)化算法流程圖如圖2所示。

4?仿真驗證

分別選擇整數(shù)階系統(tǒng)、分數(shù)階系統(tǒng)作為被控對象對PSATLBO-IOPID控制器、PSATLBO-FOPID控制器進行仿真驗證。

4.1?IOS系統(tǒng)

為了驗證控制器的性能，選取文獻[26]中二階系統(tǒng)作為被控對象，即

將PSATLBO算法中的種群數(shù)量設為10，經過50次迭代后得到的IOPID控制器和FOPID控制器為

文獻[27]中采用DE算法得到的IOPID控制器參數(shù)和FOPID控制器形式為

文獻[26]提出的第一Ziegler-Nichols準則設計的兩個分數(shù)階控制器形式如下：

采用傳統(tǒng)Ziegler-Nichols參數(shù)整定方法得到的IOPID控制器如下：

上述控制器在輸入為階躍響應下的性能指標如表 1所示，本文提出的分數(shù)階PID控制器較整數(shù)階PID控制器在響應速度上提高69.8%，超調量減少92.6%，穩(wěn)態(tài)誤差減小32.4%。

為了對比各控制器控制效果，圖3～4（ZN1-FOPID，ZN2-FOPID控制器響應時間較長，其階躍響應如圖4所示）給出了系統(tǒng)階躍響應下時域內控制效果。

由仿真結果可知，本文設計的PSATLBO-IOPID控制器與PSATLBO-FOPID控制器均滿足系統(tǒng)響應要求，與上述DE-IOPID控制器、DE-FOPID控制器、ZN1-FOPID控制器、ZN2-FOPID控制器、ZN-IOPID控制器相比，本文提出的PSA-TLBO-IOPID控制器和PSATLBO-FOPID控制器在超調量、調節(jié)時間、穩(wěn)態(tài)誤差方面均優(yōu)于前者，且PSATLBO-FOPID控制器與PSATLBO-IOPID控制器相比，具有響應速度更快、系統(tǒng)超調更小的優(yōu)點，滿足系統(tǒng)快速響應、精確控制的目的。

4.2?FOS系統(tǒng)

由于飛行器設計領域中分數(shù)階系統(tǒng)建模應用較少，且不屬于本文研究重點，因此，選取文獻[5]中加壓重水反應堆（Pressurized Heavy Water Reactor）模型作為被控對象，其模型如下：

設計控制器性能要求為階躍信號輸入下系統(tǒng)超調量σ<5%，調節(jié)時間ts<7 s。本文提出的PSATLBO-FOPID控制器如下：

文獻[5]設計的區(qū)間分數(shù)階PID（Interval Fractional Order Proportional Integral Derivate，INFOPID）控制器形式如下：

文獻[12]設計的分數(shù)階內模PID（Fractional Order Internal Model Control Proportional Integral Derivate，F(xiàn)OIMCPID）控制器形式如下：

文獻[14]設計的分數(shù)階PI（Fractional Order Proportional Integral，F(xiàn)OPI）控制器形式如下：

上述控制器在輸入為階躍響應下的性能指標如表2所示。

系統(tǒng)階躍響應曲線如圖5所示。

從仿真結果可知，文獻[14]設計的FOPI控制器效果最差;文獻[12]設計的FOIMCPID控制器雖然超調量與穩(wěn)態(tài)誤差指標稍微優(yōu)于本文設計的PSATLBO-FOPID控制器，但是其響應時間與PSATLBO-FOPID相比慢兩個量級，控制器設計時往往通過犧牲一定的超調量獲取更快的響應速度，因此PSATLBO-FOPID控制器更具實用價值;文獻[5]設計的INFOPID控制器與PSATLBO-FOPID控制器在上升時間、超調量相差不大，但是其穩(wěn)定時間較長，穩(wěn)態(tài)誤差較大。綜上所述，本文設計的控制器各項指標均滿足設計指標要求，綜合性能優(yōu)于文獻中的控制器，更具實用價值。

5?結論

本文針對控制器參數(shù)整定問題，分別以整數(shù)階系統(tǒng)和分數(shù)階系統(tǒng)為研究對象，提出PSATLBO參數(shù)優(yōu)化算法，并設計了PSATLBO-IOPID控制器和PSATLBO-FOPID控制器，由仿真分析可得出以下結論：

（1）針對同一被控對象，F(xiàn)OPID控制器與IOPID控制器相比，設計自由度更大，系統(tǒng)超調量更小，響應速度更快;

（2）PSATLBO參數(shù)求解器更適用于IOPID和FOPID控制參數(shù)求解，同一被控對象，由不同參數(shù)求解器得到的分數(shù)階PID控制器中，PSATLBO-FOPID控制器的綜合性能優(yōu)于傳統(tǒng)算法;

（3）雖然目前工程實際中飛行控制器的設計大多采用經典PID算法，但隨著彈載計算機性能的進一步提升，分數(shù)階PID控制器在飛行器姿態(tài)控制中的應用會越來越多。

參考文獻：

[1]Gutiérrez R E，Rosário J M，Machado J T. Fractional Order Calculus：Basic Concepts and Engineering Applications[J]. Mathematical Problems in Engineering，2010（4）：242-256.

[2]Marinangeli L，Alijani F，Hosseinnia S H. Fractional-Order Positive Position Feedback Compensator for Active Vibration Control of a Smart Composite Plate[J]. Journal of Sound and Vibration，2018，412：1-16.

[3]Gonzalez E，Dorcˇák L，Monje C，et al. Conceptual Design of a Selectable Fractional-Order Differentiator for Industrial Applications[J]. Fractional Calculus and Applied Analysis，2014，17（3）：20.

[4]Petrá I，Vinagre B M，Dorcˇák L，et al. Fractional Digital Control of Heat Solid：Experimental Results[C]∥Proceedings of International Carpathian Control Conference，2002.

[5]Lamba R，Singla S K，Sondhi S. Fractional Order PID Controller for Power Control in Perturbed Pressurized Heavy Water Reactor[J]. Nuclear Engineering and Design，2017，323：84-94.

[6]Wu Z L，Li D H，Xue Y L，et al. Tuning for Fractional Order PID Controller Based on Probabilistic Robustness[J]. Science Direct，2018，51（4）：675-680.

[7]Cao J Y，Liang J，Cao B G. Optimization of Fractional Order PID Controllers Based on Genetic Algorithms[C]∥ Proceedings of 2005 International Conference on Machine Learning and Cybernetics，2005：5686-5689.

[8]Machado T A J. Optimal Tuning of Fractional Controllers Using Genetic Algorithms[J]. Nonlinear Dynamics，2010，62（1）：447-452.

[9]Zamani M，Karimi-Ghartemani M，Sadati N，et al. Design of Fractional Order PID Controllers for an AVR Using Particle Swarm Optimization[J]. Control Engineering Practice，2009，17 （12）：1380-1387.

[10]Maiti D，Biswas S，Konar A. Design of a Fractional Order PID Controller Using Particle Swarm Optimization Technique[J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2008，58（5-8）：521-531.