于殿泓 李琳

摘? 要：目前各種版本的“信號(hào)與系統(tǒng)”教材中，對(duì)用沖激函數(shù)匹配法求解連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)介紹的過(guò)于籠統(tǒng)，為使該教學(xué)知識(shí)點(diǎn)便于教學(xué)組織，對(duì)沖激函數(shù)匹配法進(jìn)行了詳細(xì)的數(shù)學(xué)解析，使其更易于教學(xué)理解;同時(shí)總結(jié)了簡(jiǎn)潔的應(yīng)用操作流程，并結(jié)合具體實(shí)例加以解釋說(shuō)明。用所研究的方法可以更好地組織信號(hào)與系統(tǒng)時(shí)域分析的教學(xué)內(nèi)容。

關(guān)鍵詞：時(shí)域分析;沖激函數(shù)匹配法;數(shù)學(xué)解析;操作流程

中圖分類號(hào)：G642? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ?文章編號(hào)：2096-000X（2020）07-0085-03

Abstract： In various of signal and system textbooks， there is few books in which the time domain solution of differential equations based on impulse function matching method is discussed in detail. In order to organize teaching expediently， the impulse function matching method is analyzed in detail in the paper. This makes the method easier to be understand in teaching. At the same time， a concise operation procedure based on the method is summarized. Combined with a specific example， the application of this method is explained in detail. The results show that the proposed method can better organize the teaching contents of time domain analysis of signal and system.

Keywords： time domain analysis; impulse function matching method; mathematical analysis; operation procedure

引言

“信號(hào)與系統(tǒng)”課程中，微分方程求解是線性時(shí)不變（LTI）連續(xù)系統(tǒng)時(shí)域分析的重要組成部分，無(wú)論是微分方程的經(jīng)典法求解，還是零輸入零狀態(tài)法求解，都要涉及到系統(tǒng)的0-狀態(tài)和0+狀態(tài)關(guān)系問(wèn)題[1-2]。針對(duì)這一問(wèn)題有多種解決方法被提出，其中近十幾年來(lái)相關(guān)教學(xué)資料及文獻(xiàn)中提及的沖激函數(shù)匹配法，是解決系統(tǒng)的0-狀態(tài)和0+狀態(tài)關(guān)系的重要而有效的工具[3-4]。該法脫離具體的物理系統(tǒng)，是一般意義上的數(shù)學(xué)分析求解，正因?yàn)槿绱?，所以要求沖激函數(shù)匹配法應(yīng)該具有這樣的特點(diǎn)：1. 嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)解析過(guò)程，2. 簡(jiǎn)明的操作步驟。本文從這兩個(gè)方面對(duì)沖激函數(shù)匹配法進(jìn)行分析和研究。

一、沖激函數(shù)匹配法的數(shù)學(xué)解析

沖激函數(shù)匹配法是信號(hào)課程新近引入的一種時(shí)域分析方法，但教材中對(duì)此方法的分析較為簡(jiǎn)單，數(shù)學(xué)解析性不強(qiáng)，推導(dǎo)分析不甚嚴(yán)謹(jǐn)，所以對(duì)課堂教學(xué)組織帶來(lái)困難[5]。另外，學(xué)生在運(yùn)用該法解題時(shí)，可操作性不夠理想。針對(duì)以上原因，并基于便于課堂教學(xué)組織的思想，探討了一種闡述沖激函數(shù)匹配法的新思路。

設(shè)在時(shí)域中描述連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的一般微分方程為：

式中，r（t）——響應(yīng)信號(hào)，r（i）（t）為響應(yīng)的各階導(dǎo)數(shù)，i=0，1，2，…，n（n≥0且為整數(shù)）。

e（t）——激勵(lì)信號(hào)，e（j）（t）為激勵(lì)的各階導(dǎo)數(shù)，j=0，1，2，…，m（m≥0且為整數(shù)）。

r（0）（t）——響應(yīng)信號(hào)本身，即r（t）。

e（0）（t）——激勵(lì)信號(hào)本身，即e（t）。

時(shí)域中求該n階方程的全解需要n個(gè)獨(dú)立的初始條件，而用時(shí)域的經(jīng)典解法求解時(shí)，需要的初始條件是系統(tǒng)響應(yīng)的n個(gè)0+獨(dú)立狀態(tài)，即需要已知r（0）（0+）、r（1）（0+）、…、r（n-1）（0+），但對(duì)具體系統(tǒng)而言，這些往往條件是未知的，也是不容易求得的;不過(guò)對(duì)于具體系統(tǒng)，根據(jù)其狀態(tài)，可以知道（或易于求得）系統(tǒng)響應(yīng)的n個(gè)0-獨(dú)立狀態(tài)，即r（0）（0-）、r（1）（0-）、…、r（n-1）（0-），所以如果能夠明確0-狀態(tài)和0+狀態(tài)的關(guān)系，就可以方便地求得系統(tǒng)響應(yīng)的n個(gè)0+獨(dú)立狀態(tài)。沖激函數(shù)匹配法就是解決已知0-狀態(tài)求解0+狀態(tài)的有效方法之一。

對(duì)于式（1）所給出的一般線性時(shí)不變系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)微分方程式，用沖激函數(shù)匹配法處理從0-狀態(tài)求解0+狀態(tài)的基本步驟如下：

將作用于該系統(tǒng)的激勵(lì)代入微分方程，若其自由項(xiàng)（微分方程的右端項(xiàng)）中不包含沖激函數(shù)？啄（t）和（或）的？啄（t）導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，此時(shí)該系統(tǒng)的0-狀態(tài)和0+狀態(tài)是相等的，即

若自由項(xiàng)中包含沖激函數(shù)？啄（t）和（或）的？啄（t）導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，則此時(shí)該系統(tǒng)的0-狀態(tài)和0+狀態(tài)是不相等的，這時(shí)，根據(jù)沖激函數(shù)匹配法求所需的n個(gè)0+狀態(tài)的具體步驟如下：

（一）確定自由項(xiàng)中沖激函數(shù)？啄（t）的最高階導(dǎo)數(shù)p的值

將具體的激勵(lì)函數(shù)代入微分方程右端，根據(jù)方程自由項(xiàng)（微分方程的右端項(xiàng)）中包含的沖激函數(shù) （t）的最高階導(dǎo)數(shù)，直接可以確定p值。

（二）設(shè)定基本奇異等式項(xiàng)

該等式項(xiàng)是系統(tǒng)響應(yīng)的最高階導(dǎo)數(shù)與奇異函數(shù)關(guān)系的基本表達(dá)式，根據(jù)微分方程兩端的奇異項(xiàng)的匹配關(guān)系，基本奇異等式項(xiàng)可設(shè)為

該式即為求取系統(tǒng)的0+狀態(tài)的基本奇異等式項(xiàng)。其特征是：方程的左端為系統(tǒng)響應(yīng)r（t）的最高階導(dǎo)數(shù);方程的右端為以？啄（t）為基本函數(shù)的奇異多項(xiàng)式，該多項(xiàng)式的最高階導(dǎo)數(shù)為p階（由自由項(xiàng)決定），最低階導(dǎo)數(shù)為-1階（實(shí)際這項(xiàng)為沖激函數(shù)的不定積分項(xiàng)——即單位階躍函數(shù)）。此奇異方程的右端共有p+2項(xiàng)，各項(xiàng)系數(shù)kp，kp-1，…，k1，k0，k-1待定。

（三）以基本奇異等式項(xiàng)為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出r（i）（t）（i=0，1，2，…，n-1）的相應(yīng)奇異等式項(xiàng)（共n個(gè)等式項(xiàng)）

首先寫出r（n-1）（t）的奇異等式項(xiàng)。可將式（3）兩端求不定積分得到，即

（4）（1）

接下來(lái)寫出r（n-2）（t）的奇異等式項(xiàng)?？捎墒剑?）（1）兩端求不定積分得到，即

（4）（2）

以此類推，直至求出r（t）和r（t），具體表達(dá)式為

（4）（n-1）

（4）（n）

這樣可以得到n個(gè)奇異等式項(xiàng)，將其聯(lián)立構(gòu)成以下方程組

（4）

注意，方程組（4）中，？啄（-i）（t）（i=1，2，…，n+1）是？啄（t）的i重不定積分。

（四）求解方程組（4）中的待定系數(shù)kp，kp-1，…，k1，k0，k-1（共p+2個(gè)待定系數(shù)）

將方程組（4）中的等式（4）（1），（4）（2），……，（4）（n-1），（4）（n）、式（3）以及激勵(lì)項(xiàng)e（t）代入式（1），根據(jù)該奇異方程兩端相應(yīng)項(xiàng)平衡（對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等）的原則，求出式（3）中的待定系數(shù)。

由于這里是在特定時(shí)域區(qū)間t∈（0-，0+）范圍內(nèi)求解分析響應(yīng)的狀態(tài)的跳變情況，所以求解上述系數(shù)時(shí)，需注意以下兩點(diǎn)：

第一，所代入的式（4）（i）（i=1，2，…，n）逐項(xiàng)中，所有包含? ？啄（-i）（t）（i>1）的各項(xiàng)均以零替代。

第二，對(duì)激勵(lì)函數(shù)e（t）代入所得方程的自由項(xiàng)進(jìn)行分析處理。首先找出？啄（t）函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，這些是匹配時(shí)所需要的奇異函數(shù)項(xiàng);然后將剩余項(xiàng)作為一個(gè)整體，視其從0-到0+有無(wú)跳變進(jìn)行取舍。若無(wú)跳變，此整體項(xiàng)不是奇異函數(shù)，舍去;若有跳變，此整體項(xiàng)是奇異函數(shù)，保留，且根據(jù)跳變量的值，將該整體項(xiàng)用以跳變量為加權(quán)值的階躍函數(shù)替代。

（五）給出r（i）（0+）和r（i）（0-）（i=0，2，…，n-1）的數(shù)學(xué)關(guān)系式

將方程組（4）中的各個(gè)等式（4）（i）在特定區(qū)間（0-，0+）內(nèi)做如下分析：對(duì)方程組（4）中的一般項(xiàng)（4）（i）分別以t=0+和t=0-代入得到兩個(gè)等式，且兩式求差，得

在式（5）的右端各項(xiàng)中，有兩部分取值為零。一部分是？啄（t）函數(shù)及其個(gè)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)在t=0+和t=0-時(shí)刻均為零;另一部分是包含？啄（-i）（t）（i>1）的各項(xiàng)均為零。這樣，式（5）的右端各項(xiàng)中，只有階躍項(xiàng)[？啄（-1）（t）項(xiàng)]在t=0+時(shí)存在不為零的確定值。這樣根據(jù)式（5），對(duì)式（4）的逐項(xiàng)處理可得n個(gè)等式。處理過(guò)程中，若被處理項(xiàng)右端奇異項(xiàng)無(wú)階躍函數(shù)項(xiàng)（即不包含？啄（-1）（t）項(xiàng)），則該項(xiàng)被處理后等式右端為零。將這些等式聯(lián)立，可組成如下一元n次方程組式（6）

方程組（6）中，系數(shù)ki（i=0，2，…，n-1）值在前述步驟中已求得（或部分求得，未求解過(guò)的系數(shù)為零），系統(tǒng)響應(yīng)的0-狀態(tài)值r（i）（0-）（i=0，2，…，n-1）亦給出（或根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)求出），這樣系統(tǒng)響應(yīng)的0+狀態(tài)值r（i）（0+）（i=0，2，…，n-1）即可求出，從而可以實(shí)現(xiàn)線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域經(jīng)典分析求解。

二、匹配法求解系統(tǒng)0+狀態(tài)應(yīng)用實(shí)例

下面通過(guò)具體實(shí)例對(duì)所歸納的步驟進(jìn)行實(shí)踐與分析。圖1所示給出了具體的電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，在t<0開關(guān)處于圖中1位置并且已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)定;t=0時(shí)刻，開關(guān)S瞬間由1合向2，這里的激勵(lì)是圖中的e（t），響應(yīng)是圖中的i（t），用經(jīng)典法求解i（t）時(shí)，需要知道響應(yīng)i（t）的0+狀態(tài)值。這里用沖激函數(shù)匹配法求解該系統(tǒng)的i（0+）及i（0+）兩個(gè)狀態(tài)值。

根據(jù)電網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及其元器件所遵循的物理定律，可以整理出該網(wǎng)絡(luò)的輸入輸出微分方程并求出系統(tǒng)0-的響應(yīng)狀態(tài)。系統(tǒng)的微分方程為：

圖1 求解示例電網(wǎng)絡(luò)

系統(tǒng)的0-的狀態(tài)值為：i（0-）=0.8（A），i（0-）=0。

根據(jù)上述條件，基于沖激函數(shù)匹配法的i（0+）及i'（0+）的求解步驟如下：

將激勵(lì)（電壓有2V跳變到4V）代入式（7），得到

步驟（一） 確定p（這里p=1）

步驟（二） 設(shè)定基本奇異等式項(xiàng)（共p+2=3項(xiàng)）

步驟（三） 導(dǎo)出降階r（i）（t）（i=0，1）的相應(yīng)奇異等式項(xiàng)（共n=2個(gè)等式項(xiàng)）

步驟（四） 求解式（10）中的待定系數(shù)k1，k0，k-1

將式（9）、式（10）代入式（8），并注意到？啄（-2）（t）項(xiàng)和？啄（-3）（t）項(xiàng)均為零，有

由相應(yīng)項(xiàng)系數(shù)匹配法求得：k1=2，k0=-2，k-1=10

步驟（五） 給出r（i）（0+）和r（i）（0-）（i=0，1）的數(shù)學(xué)關(guān)系式

因?yàn)閕（0-）=0.8（A），i（0-）=0，所以可求得系統(tǒng)0+狀態(tài)值：r（0+）=2.8V，r（0+）=-2V

三、結(jié)束語(yǔ)

這里所闡述的沖激函數(shù)匹配法的新解析及其該方法的應(yīng)用操作流程，對(duì)于LTI連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域經(jīng)典分析教學(xué)內(nèi)容的合理組織，將具有推動(dòng)作用;同時(shí)，鑒于總結(jié)歸納出明晰的應(yīng)用流程和系統(tǒng)在不同情況下的處理原則，也可大大地方便學(xué)生對(duì)沖激函數(shù)匹配法的應(yīng)用。

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