(1. 濟(jì)南大學(xué)土木建筑學(xué)院， 山東濟(jì)南250022； 2. 山東建勘集團(tuán)有限公司， 山東濟(jì)南250000)

密肋樓蓋以其自重輕、適應(yīng)大跨度結(jié)構(gòu)使用、結(jié)構(gòu)合理等特點(diǎn)在土木工程中應(yīng)用較為廣泛，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)該類(lèi)樓蓋的研究也取得了許多成果。Aguado等[1]提出了一種關(guān)于預(yù)應(yīng)力空心樓蓋的熱力耦合模型，并與標(biāo)準(zhǔn)火災(zāi)試驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了該模型在失效機(jī)理和失效時(shí)間方面的有效性。沈蒲生等[2]通過(guò)設(shè)計(jì)四邊簡(jiǎn)支條件下雙向密肋樓蓋大比例模型試驗(yàn),提出了極限承載力和極限變形計(jì)算方法。王興肖等[3]研究了垂直均布荷載作用下空腔構(gòu)件的樓蓋模型試驗(yàn),并結(jié)合現(xiàn)澆密肋梁和空腔構(gòu)件間的協(xié)同作用機(jī)理,提出了合理、 簡(jiǎn)化的設(shè)計(jì)方法。李培林等[4]通過(guò)對(duì)大量實(shí)際工程的分析，提出針對(duì)不同類(lèi)型密肋樓蓋的跨中彎矩、跨中剪力和跨中撓度計(jì)算公式，在此基礎(chǔ)上編制了《混凝土密肋及井式樓蓋設(shè)計(jì)手冊(cè)》。通過(guò)模型試驗(yàn)數(shù)值模擬和Timoshenko梁剪切理論， 黃川騰等[5]研究了剪切變形對(duì)空心樓蓋箱型構(gòu)件撓度所產(chǎn)生的影響， 并基于剪切剛度相等理論進(jìn)一步提出了撓度修正方法和剪切模量取用方法。 汪幼林[6]、 吳方伯等[7]通過(guò)對(duì)9 m×9 m(長(zhǎng)度×寬度)密肋空心樓蓋的試驗(yàn)研究， 提出了密肋空心樓蓋的承載力和撓度實(shí)用計(jì)算方法。 Aguado等[8]通過(guò)改變鋼筋布置方式， 對(duì)4種預(yù)應(yīng)力空心樓板高溫下的抗彎性能進(jìn)行研究， 結(jié)果表明， 當(dāng)鋼筋從受火面剝離后， 根據(jù)歐洲混凝土抗火設(shè)計(jì)規(guī)范(EC2-1-2規(guī)范)求得的抗彎承載力偏大。Venanzi等[9]對(duì)4塊采用輕質(zhì)高強(qiáng)圓柱形填充的空心樓蓋進(jìn)行了全尺寸抗火試驗(yàn)和數(shù)值模擬分析，結(jié)果表明，當(dāng)混凝土因高溫而剝落時(shí)，承載力發(fā)生明顯下降。Shakya等[10]對(duì)6塊預(yù)應(yīng)力空心樓蓋進(jìn)行了受火試驗(yàn)和數(shù)值模擬，結(jié)果表明，空心樓蓋在標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)的火災(zāi)條件下可承受荷載2 h，通過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立的有限元模型能很好地反映預(yù)應(yīng)力空心樓蓋在高溫下的工作性能。王楊等[11]采用數(shù)值模擬、擬梁法和擬板法3種計(jì)算方法對(duì)某廣場(chǎng)工程中的大跨度現(xiàn)澆空心樓蓋進(jìn)行計(jì)算和分析，通過(guò)對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，認(rèn)為整體計(jì)算有限元模型能夠真實(shí)模擬構(gòu)件的邊界條件。以上研究成果多以傳統(tǒng)裝配式空心或肋梁樓蓋為研究對(duì)象，為了適應(yīng)建筑工業(yè)化的行業(yè)發(fā)展趨勢(shì)，對(duì)新型裝配式密肋樓蓋的需求越來(lái)越大。

由于目前尚沒(méi)有針對(duì)新型裝配式密肋樓蓋的力學(xué)分析模型和承載力計(jì)算方法，因此，本文中針對(duì)提出的新型裝配式樓蓋，在現(xiàn)有設(shè)計(jì)理論的基礎(chǔ)上，結(jié)合ABAQUS軟件進(jìn)行數(shù)值研究，旨在找到一種適用于新型裝配式密肋樓蓋的計(jì)算方法，為新型裝配式密肋樓蓋實(shí)際應(yīng)用推廣提供理論基礎(chǔ)。

1 樓蓋模型

為了適應(yīng)當(dāng)前裝配式建筑的發(fā)展需要，本文中提出一種裝配式鋼筋桁架密肋樓蓋，以預(yù)制鋼筋桁架作為肋梁鋼筋骨架，在面層混凝土中配置鋼絲網(wǎng)，肋梁間采用輕質(zhì)泡沫混凝土塊作為填充物形成密肋結(jié)構(gòu)，預(yù)制鋼筋桁架現(xiàn)場(chǎng)裝配，在節(jié)點(diǎn)處采用特殊連接件連接，配以裝配式鋁合金模板，只需要在現(xiàn)場(chǎng)澆筑免振搗混凝土，可同時(shí)保證施工質(zhì)量和速度。填充的泡沫混凝土和澆筑的面層混凝土厚度可根據(jù)具體需求以及樓面荷載選擇合適的厚度。樓蓋三維模型如圖1所示。

圖1 新型裝配式密肋樓蓋三維模型

2 計(jì)算理論

目前關(guān)于密肋樓蓋的實(shí)用計(jì)算方法主要有交叉梁系法、雙向板法、基于彈性力學(xué)的擬板法。

2.1 交叉梁系法

(1)

式中s、r分別為肋梁截面高度、 寬度。

對(duì)于其他類(lèi)型樓蓋的計(jì)算， 《混凝土密肋及井式樓蓋設(shè)計(jì)手冊(cè)》中提供了不同跨度、 尺寸密肋樓蓋在不同邊界、 荷載時(shí)的彎矩、 剪力和撓度計(jì)算系數(shù)。

2.2 雙向板法

采用雙向板法計(jì)算密肋樓蓋時(shí)，通常將密肋樓蓋當(dāng)作受拉區(qū)被挖去一部分混凝土的實(shí)心樓蓋，計(jì)算截面也變?yōu)門(mén)形截面，這樣計(jì)算時(shí)就可以按照求解實(shí)心雙向樓蓋的計(jì)算思路及方法進(jìn)行。四邊簡(jiǎn)支的鋼筋混凝土密肋樓蓋撓度變形如圖2所示。

a1,a2,…,au—跨度a方向肋梁；u—肋梁編號(hào)；b1,b2,…,bu—跨度b方向肋梁； c1、 c2—肋梁間距；af1,af2,…,afu—肋梁a1,a2,…,au的撓度； f—各肋梁撓度；bf1,bf2,…,bfu—肋梁b1,b2,…,bu的撓度。圖2 肋梁受力撓度變形示意圖

對(duì)于四邊簡(jiǎn)支密肋板，按照變形協(xié)調(diào)條件，計(jì)算均布荷載下的內(nèi)力分配比例以及中間梁的跨中彎矩和跨中剪力，即

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

式中：q1、q2為肋梁分配得到的均布荷載；a、b為樓蓋不同方向的跨度；x1為自設(shè)變量；q為均布荷載；M1、M2為與跨度a、b方向水平的任一邊梁的跨中彎矩；M1u、M2u為與跨度a、b方向水平的中間肋梁的跨中彎矩；c1、c2為肋梁間距；V1u、V2u為跨度a、b方向中間梁的跨中剪力。

根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件及密肋樓蓋的受力特點(diǎn)， 靠近支座各肋梁的撓度f(wàn)小于中間肋梁的撓度，因此， 相應(yīng)的內(nèi)力值也小于中間肋梁的。 現(xiàn)假定當(dāng)樓蓋截面尺寸相同時(shí)， 梁的彎矩值和剪力值與撓度成正比， 這樣即可近似求解肋梁內(nèi)力。 當(dāng)中間梁最大撓度為afu時(shí)， 可設(shè)兩側(cè)各梁的最大撓度為af1，af2， …，afu與bf1，bf2， …，bfu。各肋梁受力變形情況如圖2所示，其中afu=bfu。其余梁如a1、b1的彎矩和剪力分別為

(10)

(11)

(12)

(13)

式中：Ma1、Mb1為梁a1、b1彎矩；Va1、Vb1為梁a1、b1剪力。

若求解其他梁的剪力值與彎矩值，則將相應(yīng)的最大撓度分別代入式(10)—(13)即可。

(14)

式中：E為彈性模量;I為截面慣性矩。

最大撓度為

(15)

因此，撓度比值為

(16)

2.3 基于彈性力學(xué)的擬板法

通過(guò)基于彈性力學(xué)的擬板法求解密肋樓蓋時(shí)，需要將雙向密肋樓蓋按照剛度等效的原則等效成正交各向異性板，然后再利用板的計(jì)算公式求解肋梁中的彎矩、剪力和撓度[12]。正交密肋樓蓋結(jié)構(gòu)模型如圖3所示。

b1、 b2— x、 y方向T型肋梁寬； c1、 c2— x、 y方向肋梁間距； h1+h、 h2+h — x、 y截面總高度。圖3 正交密肋樓蓋結(jié)構(gòu)模型

將雙向密肋樓蓋按照剛度等效的原則等效成正交各向異性板需要滿(mǎn)足以下2個(gè)條件： 1)雙向密肋樓蓋x、y方向的肋間距均相等； 2)肋梁距離遠(yuǎn)小于板的縱向長(zhǎng)度。等效后x、y方向的抗彎剛度為

(17)

式中Ix、Iy為x、y方向T型截面對(duì)中性軸的慣性矩。

為了提高計(jì)算精度，由板所組成的橫截面部分應(yīng)除以1-v1v2，其中v1、v2為泊松比。正彎矩計(jì)算時(shí)肋梁按照T形截面考慮。b1、b2為x、y方向T型肋梁寬，c1、c2為x、y方向肋梁間距，h1+h、h2+h為x、y方向截面總高度。計(jì)算設(shè)計(jì)負(fù)彎矩值時(shí)，肋梁截面按矩形截面考慮。

c1段截面的形心為

(18)

c2段截面的形心為

(19)

x向慣性矩為

(20)

y向慣性矩為

(21)

密肋樓蓋等效抗扭剛度由肋梁和板面2個(gè)部分組成，即

(22)

式中：D3為抗扭剛度；G為剪切模量；k為考慮板開(kāi)裂后梁抗扭剛度修正系數(shù)，一般情況下可近似取k=1；Jtx、Jty為x、y方向的抗扭剛度，

(23)

G與彈性模量、泊松比的關(guān)系為

(24)

在均布荷載作用下，密肋樓蓋結(jié)構(gòu)等效成正交各向異性平板結(jié)構(gòu)后，彈性曲面微分方程為

(25)

式中af為撓度。

通過(guò)式(25)可根據(jù)不同的邊界條件，用理論解或者數(shù)值解法得出薄板撓度af的表達(dá)式，從而求得彎矩及扭矩，即

(26)

式中：Mx、My為單位板寬內(nèi)的彎矩；Mxy為單位板寬內(nèi)的扭矩。

根據(jù)式(26)和求得的撓度af，即可求得剛度等效后正交各向異性板的彎矩和撓度。

2.4 算例分析

密肋樓蓋等效成正交各向異性平板后，可由式(17)—(26)求得撓度和彎矩。對(duì)所求肋梁T型范圍內(nèi)樓板的彎矩進(jìn)行積分運(yùn)算，通過(guò)所求肋梁的抗彎剛度值與該方向T型截面總抗彎剛度的比值確定積分區(qū)域，進(jìn)而得到所求肋梁分擔(dān)的彎矩值。

對(duì)于x方向，令

(27)

對(duì)于y方向，令

(28)

式中：Ixk、Iyk為第k個(gè)肋梁x、y方向的慣性矩；Ix、Iy為肋梁x、y方向的總慣性矩，按照式(20)、(21)進(jìn)行計(jì)算。

梁內(nèi)的彎矩為

(29)

本文中所提到的新型密肋樓蓋可等效成四邊簡(jiǎn)支正交異性板，如圖4所示。

a、 b—板不同方向的跨度。圖4 四邊簡(jiǎn)支正交異性板

彎矩計(jì)算過(guò)程如下。a、b分別為板的跨度，q0為均布荷載，求解此密肋樓蓋撓度的撓曲線微分方程函數(shù)解為

(30)

式中：m=1,3,5,…；n=1,3,5,…。

單位寬度內(nèi)彎矩為

(31)

(32)

肋梁中的彎矩為

(33)

令

(34)

則

(35)

令

(36)

則

(37)

對(duì)于具有其他邊界條件的板，也可得到類(lèi)似的解。由于式(37)中所要求解的彎矩值和撓度值不適宜手算，因此，可利用MATLAB軟件編制計(jì)算程序進(jìn)行計(jì)算。

3 數(shù)值分析與對(duì)比

利用ABAQUS軟件建立一個(gè)尺寸為4.67 m×3.47 m×0.22 m(長(zhǎng)度×寬度×高度)的裝配式鋼筋桁架密肋樓蓋模型。模型中混凝土采用ABAQUS軟件中的C3D8R單元，鋼筋骨架和鋼絲網(wǎng)采用 T3D2 單元，由于泡沫混凝土塊不參與受力，因此該部分在模型中未予考慮。樓蓋模型如圖5所示。樓蓋按照四邊簡(jiǎn)支條件約束進(jìn)行設(shè)計(jì)，恒載(自重)取值為3.5 kN/m2，考慮5種實(shí)用工況進(jìn)行模擬，假設(shè)各工況下的活荷載分別為 2、 5、 10、 15、 20 kN/m2。以樓蓋中部某肋梁跨中彎矩作為該模擬中的研究對(duì)象，見(jiàn)圖5中的A點(diǎn)，彎矩為Mx。將以上3種方法計(jì)算得出的肋梁跨中彎矩值與ABAQUS模擬值對(duì)比， 其中相對(duì)誤差為理論值與模擬值的差值與模擬值之比，結(jié)果如表1所示。由表可知，各種工況下基于彈性力學(xué)的擬板法得出的結(jié)果與有限元法結(jié)果吻合度較高，其他2種方法計(jì)算值均偏大，尤其是雙向板法， 最大誤差達(dá)到41.42%，精度相對(duì)較差。通過(guò)分析可以發(fā)現(xiàn)，各計(jì)算方法的適用性可以從2個(gè)方面考慮：從準(zhǔn)確率考慮，擬板法得出的結(jié)果與有限元結(jié)果相比，彎矩最大誤差為9.55%， 而其他2種方法理論值均偏大；從計(jì)算量考慮，如果采用擬板法對(duì)密肋樓蓋進(jìn)行設(shè)計(jì)，則只需要輸入13個(gè)數(shù)據(jù)即可，而用交叉梁系法和雙向板法在計(jì)算過(guò)程中輸入?yún)?shù)較多，并且步驟較之基于彈性力學(xué)的擬板法也更多更煩瑣。綜合比較可知，采用修正后的擬板法進(jìn)行計(jì)算，既可以保證精度，又可以減少計(jì)算量，在方案的設(shè)計(jì)初期或者概念設(shè)計(jì)階段，具有一定的實(shí)用性，也更容易被結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)人員接受。

A—樓蓋中部某肋梁跨中彎矩為Mx的點(diǎn)。圖5 新型裝配式密肋樓蓋有限元模型

表1 不同計(jì)算方法的彎矩值對(duì)比

4 結(jié)論

本文中針對(duì)一種新型裝配式鋼筋桁架密肋樓蓋，分別采用目前常見(jiàn)的幾類(lèi)計(jì)算方法，計(jì)算了四邊簡(jiǎn)支情況下肋梁跨中彎矩，并通過(guò)有限元軟件進(jìn)行了數(shù)值模擬，理論值與模擬結(jié)果對(duì)比發(fā)現(xiàn)，基于彈性力學(xué)算法的擬板法具有計(jì)算簡(jiǎn)便、精度高等優(yōu)勢(shì)，可以作為該新型裝配式密肋樓蓋內(nèi)力和撓度計(jì)算的理論依據(jù)。