樊 勃

(黑龍江省齊齊哈爾市第二十八中學(xué) 黑龍江齊齊哈爾 161000)

幾何是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)模塊，它可以讓學(xué)生在圖形的探究過程中感受到數(shù)學(xué)的魅力，產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)推理、想象與判斷能力的提升。在解決幾何問題時(shí)合理的添加輔助線可以讓復(fù)雜的圖形變得更加容易觀察、對(duì)比，以此快速找到解題方法。但是，對(duì)于初中生來說輔助線的添加方法并不容易掌握，需要學(xué)生長(zhǎng)期的練習(xí)與思考。下面，筆者對(duì)初中幾何輔助線的添加方法進(jìn)行了探討，僅供參考。

一、中點(diǎn)法

如果在幾何題目中給出了“中點(diǎn)”“中線”等條件，那么我們?cè)诮鉀Q問題時(shí)可以將思考的重點(diǎn)放在線段的中點(diǎn)處，通過中位線定理確定各線段之間的關(guān)系，或是求證三角形之間的全等關(guān)系，以此從題目中找到更多的已知條件，獲得解題思路。

例1：如圖，點(diǎn)E、點(diǎn)F是線段BC、AD的中點(diǎn)，且AB=CD，射線BA與射線EF相交于點(diǎn)G，射線CD與射線EF相交于點(diǎn)H，求證∠BGE=∠CHE。

分析：因?yàn)辄c(diǎn)E、點(diǎn)F 是線段B C、AD的中點(diǎn)，所以我們可以嘗試將AC連接在一起，并取其中點(diǎn)P，構(gòu)造三角形PEF。只要證明PE=PF，便可以利用三角形中位線的性質(zhì)證明∠BGE=∠CHE。

證明：連接AC，并在AC上取中點(diǎn)P，連接PE、PF。因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以PE//AB，且2PE=AB，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，則PF//CD，2PF=CD。

已 知 線 段A B = C D ， P E = P F ， 等 邊 對(duì) 等 角 可 得∠PEF=∠PFE，因?yàn)镻E//AB，所以∠BGE=∠PEF，因?yàn)镻F//CD，所以有∠CHE=∠PFE，所以∠BGE=∠CHE。

二、平行線法

平行線法，是指通過添加某一直線的平行線解決幾何問題的方法[1]。這種方法可以證明圖形中某些邊、角的相等關(guān)系。

例2：如圖所示，在直角三角形ABC中，點(diǎn)D為斜邊AB上的中點(diǎn)，且DEDF，線段DE、DF分別交AC、BC于E、F，求證AE2+BF2=EF2。

分析：求證AE2+BF2=EF2也就是證明三條線段滿足直角三角形的三邊關(guān)系特征，所以我們不妨嘗試采用平行線法將AE、BF、EF三條線段整合到同一個(gè)三角形之中，通過證明該三角形為直角三角形證明等式成立。

證明：過點(diǎn)A作線段AG//BC，延長(zhǎng)線FD與AG交于點(diǎn)G，因?yàn)椤螦DG=∠BDF，AD=BD，∠GAD=∠B，所以?DFB與?DGA全等，所以FB=GA，GD=DF，所以ED為FG的中垂線，EG=EF。連接EG，因?yàn)椤螱AE=∠C=90°，所以?AEG為直角三角形，AE2+BF2=GA2+AE2=EG2=EF2，所以AE2+BF2=EF2。

三、連對(duì)角線法

在四邊形解題過程中，常見的添加輔助線方式就是連連對(duì)角線法，特別是在解決特殊四邊形問題中，連對(duì)角線可以將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，然后再利用三角形性質(zhì)求解。

例3：如圖，ABCD為梯形紙片，AB//CD，AD=BC，翻折紙片ABCD，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為EF，CEAB。求EF//BD。

分析：求EF//BD可以從平行線性質(zhì)入手，通過證明角的相等來證明平行線的相等。在本題中，可以連接AC來建輔助線，然后通過三角形全等分析角與角之間的關(guān)系，證明∠AEF=∠ABD，求得EF//BD。

解：連接AC，因?yàn)锳D=BC，所以ABCD為等腰梯形，根據(jù)等腰梯形兩底角相等可得∠DAB=∠CBA，所以?ADB與?ACB全等。因?yàn)镋F是折痕，所以EF是AC的垂直平分線，因此，∠1=∠2=45°。又因?yàn)镃EAB，可得EF平分直角AEC，所以∠3=∠4=45°，∠2=∠4，所以EF//BD。

四、倍長(zhǎng)中線法

中線是初中階段三角形學(xué)習(xí)中最重要的線段之一，在解決幾何問題時(shí)常常采用倍長(zhǎng)中線的方法來構(gòu)造輔助線[2]。所謂的倍長(zhǎng)中線法就是將圖形的中線延長(zhǎng)一倍，從而構(gòu)造出全等三角形，然后再通過全等三角形解決問題，證明答案。

例4：在△ABC中，AD為BC的中線，E為AC上的一點(diǎn)，BE與AD交于F，AE=EF，請(qǐng)判斷AC與BF的大小關(guān)系。

分析：判斷AC與BF的大小關(guān)系可以通過三角形的關(guān)系來證明，而AC與BF所在并不能直接證明全等，以此便可以考慮通過等量代換的方式進(jìn)行求解。

解：如圖所示，延長(zhǎng)A D 到點(diǎn)M，使D M=A D，連接BM。因?yàn)锳D=DM，所以∠ADC=∠BDM，DC=BD，所以△ADC≌△MDB。所以AC與BM相等，∠DAC=∠M。因?yàn)锳E=AF，所以∠DAC=∠AFE=∠BFD=∠M，所以BF與BM相等，BF=AC。

五、結(jié)束語(yǔ)

除了上述提到的幾種方法外，輔助線的添加方法還有很多，例如“高線法”“旋轉(zhuǎn)法”等。添加輔助線沒有固定的模式和方法，也沒有規(guī)律可循，學(xué)生只有在日常學(xué)習(xí)中多思考、多聯(lián)系，才能夠掌握添加輔助線的基本思路，提高幾何學(xué)習(xí)的興趣。也只有如此，才能讓學(xué)生在一次次解決問題的過程中提升數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)。