曲木拉古 秦嶺

【摘 ?要】棣莫弗公式（cosθ+isinθ）n=cosnθ+isinnθ的得出用到了einθ=（eiθ）n，但是einθ是否就毫無(wú)疑問(wèn)地等于（eiθ）n呢？該文從一道習(xí)題的錯(cuò)誤解法出發(fā)，發(fā)現(xiàn)einθ與（eiθ）n并不能隨便劃等號(hào)，需要分情況具體討論。

【關(guān)鍵詞】棣莫弗公式;初等多值函數(shù);多值函數(shù)單值化

■在“數(shù)學(xué)物理方法”課程中，有一道很常見(jiàn)的習(xí)題：將有序波列f（t）=cos2πv0t，-TT用傅里葉積分作展開(kāi)。展開(kāi)過(guò)程中會(huì)涉及到積分G（ω）=■■cos2πv0te-iwtdt。有位學(xué)生想：因?yàn)閏os2πv0t=■，而e■=（ei2π）■=（1）■=1，同理，e■=1，這樣的話cos2πv0t=1（無(wú)論v0t的值為多少），很明顯不大對(duì)，接著往下做自然也不能會(huì)得出正確答案。為什么會(huì)這樣呢？該生認(rèn)為問(wèn)題出在e■=（ei2π）■=（1）■=1上，認(rèn)為e■與（ei2π）■與（e■）2不能劃等號(hào)，并作了表格進(jìn)一步說(shuō)明：

這里有兩個(gè)問(wèn)題：一是表格里的計(jì)算究竟對(duì)不對(duì);二是e■與（ei2π）■與（e■）2究竟能不能劃等號(hào)。

首先來(lái)看表格里的計(jì)算。這其實(shí)涉及到了多值函數(shù)Zα（為了簡(jiǎn)明起見(jiàn)，直接討論α為實(shí)數(shù)的情況）。眾所周知，lnz為多值函數(shù)，其函數(shù)值為ln|z|+i（ψ+2kπ），k=0，1，2，3...，有無(wú)窮多個(gè);根式函數(shù)■也為多值函數(shù)，有n個(gè)根。那么Zα呢？Zα=eαlnz=eα[ln|z|+i（ψ+2kπ）]=eαln|z|eiαψeiα2kπ，k=0，1，2，3，...，它的不相同值有多少個(gè)需要分情況討論：①若α為整數(shù)，則eiα2kπ=1，Zα的值只有一個(gè)，為單值函數(shù);②若α為有理數(shù)，則可寫(xiě)為α=■（■為不可約的分?jǐn)?shù)），那么Zα=eαln|z|ei■ψe■，這時(shí)k取0，1，2，…q-1都對(duì)應(yīng)著不同的值，而再往后取將會(huì)與前面的q個(gè)值輻角相差2π的整數(shù)倍;③若α為無(wú)理數(shù)，Zα有無(wú)窮多個(gè)值。

回到表格，我們看到，第三行中對(duì)應(yīng)著Zα，α=2為整數(shù)，是第一種情況，為單值函數(shù)，表中的計(jì)算沒(méi)有問(wèn)題。而第二行中的Zα當(dāng)α=0，1，2，3時(shí)，為單值函數(shù)，計(jì)算沒(méi)錯(cuò)，但當(dāng)α=■，■，■時(shí)，對(duì)應(yīng)著第二種情況，為多值函數(shù)，將分別有2、3、4個(gè)根，那么我們用哪個(gè)根和第三列進(jìn)行對(duì)應(yīng)呢？這就涉及到了多值函數(shù)單值化。

對(duì)于初等多值函數(shù)而言，其多值性主要是由輻角的多值性造成的，要想化為單值函數(shù)，就必須破壞原來(lái)的定義域，使動(dòng)點(diǎn)無(wú)法繞支點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，也即對(duì)輻角進(jìn)行限制，上述多值函數(shù)支點(diǎn)在0、∞，可限制z的輻角范圍為0

回到表格第二列，（ei2π）■=（1）■=e■=e■■，由于單值化要求：0

再來(lái)看第二個(gè)問(wèn)題，e■與（ei2π）■與（e■）2究竟能不能劃等號(hào)，寫(xiě)簡(jiǎn)明一點(diǎn)，也即（ein）m與einm與（eim）n（n，m為任意實(shí)數(shù)）是否能劃等號(hào)？我們來(lái)具體計(jì)算一下：

（ein）m=e■=em[0+i（n+2kπ）]=eimnei2kπm;（eim）n=en1ne■=

e■=eimnei2kπn;einm可以看到，要使（ein）m=（eim）n=einm，只有m和n都取整數(shù)，ei2kπn=ei2kπm=1，才能成立;那如果m和n不是整數(shù)呢？那這時(shí)我們只需要將多值函數(shù)單值化，在我們這情況中，令k=1，這樣（ein）m=（eim）n=einm也能成立。這也是我們?cè)趧偛艑?duì)表格的討論中所采用的方法。

綜上所述，通過(guò)對(duì)一道習(xí)題錯(cuò)誤解法的討論，我們發(fā)現(xiàn)，復(fù)變函數(shù)有時(shí)由于其多值性，具體應(yīng)用時(shí)要多加注意;另外，在棣莫弗公式的推導(dǎo)中，einθ與（eiθ）n并不能隨便劃等號(hào)，需要分情況具體討論：一種情況是n為整數(shù)（也是書(shū)中默認(rèn)的情況），einθ=（eiθ）n;另一種情況是n不為整數(shù)，那么需將多值函數(shù)單值化后才能劃等號(hào)。

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（基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金理論物理?？?1647095）

（成都師范學(xué)院物理與工程技術(shù)學(xué)院，四川 成都 611130）