尹霖

【摘 要】介紹了一種測(cè)量凸透鏡曲率半徑及折射率的簡(jiǎn)便方法，適用于雙凸、平凸、凹凸透鏡，具有簡(jiǎn)便、快速的特點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】凸透鏡;曲率半徑;折射率;自準(zhǔn)直法;牛頓環(huán)

自準(zhǔn)直法是測(cè)量凸透鏡焦距的一種常用方法，但透鏡在平面鏡和物體間移動(dòng)的過(guò)程中，會(huì)在物平面上兩次出現(xiàn)等大倒立實(shí)像。用手擋住平面鏡，一個(gè)像會(huì)消失，另一個(gè)像依舊存在：這表明只有第一個(gè)像才是自準(zhǔn)直法中物體經(jīng)平面鏡反射而成的像，第二個(gè)像則是物體經(jīng)凸透鏡后表面反射而成的像，與平面鏡無(wú)關(guān)。通過(guò)對(duì)凸透鏡后表面反射成像過(guò)程的推導(dǎo)，可以得到關(guān)于凸透鏡前后兩個(gè)表面曲率半徑和折射率的十分簡(jiǎn)潔的表達(dá)式。

圖1 自準(zhǔn)直法中的兩次成像

一、凸透鏡后表面反射成像推導(dǎo)

圖2 成像過(guò)程，折射、反射、折射

設(shè)凸透鏡前表面的曲率半徑為R1，后表面的曲率半徑為R2，折射率為n，空氣的折射率為1，成像時(shí)物體與透鏡的距離為x1，考慮到成像過(guò)程分為三步，即前表面折射、后表面反射、前表面再次折射，帶入球面鏡折射、反射成像公式：

■-■=■■+■=■■-■=■

解得：■=■-■

自準(zhǔn)直法測(cè)得的物方焦距公式：■=-（n-1）（■-■）

可得：■-■=■ ? （1）

將透鏡翻轉(zhuǎn)180°重復(fù)實(shí)驗(yàn)，同樣會(huì)出現(xiàn)兩次成像，注意此時(shí)前表面的曲率半徑為-R2，后表面的曲率半徑為-R1，成像時(shí)物體與透鏡的距離為x2：

■-■=■■+■=■■-■=■

解得：■=■-■

焦距公式：■=-（n-1）（■-■）

可得：■-■=■ ? ?（2）

將（1）（2）再次帶入焦距公式可得：n=■+1 ? ?（3）

由結(jié)論（1）（2）（3）可以得到自準(zhǔn)直法測(cè)量凸透鏡前后表面曲率半徑R1、R2及折射率n的具體步驟：

1.使用自準(zhǔn)直法測(cè)量透鏡的焦距f;

2.透鏡繼續(xù)移動(dòng)，找到透鏡自身反射成像，測(cè)量物體距透鏡的距離x1;

3.將透鏡翻轉(zhuǎn)180°，重復(fù)步驟1、2，測(cè)量物體距透鏡的距離x2;

4.將x1、x2、f帶入（1）（2）（3）式即可計(jì)算R1、R2、n。

二、實(shí)驗(yàn)測(cè)量

1.雙凸透鏡

為了對(duì)上述結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，首先選取了一塊雙凸透鏡進(jìn)行了測(cè)量，結(jié)果如下：

（x1、x2、f不確定的來(lái)源為成像的清晰范圍為±5.0mm）

x1、x2、f、R1、R2應(yīng)遵守球面鏡成像中的符號(hào)法則：在透鏡左側(cè)為負(fù)、右側(cè)為正，R1、R2的結(jié)果說(shuō)明此透鏡確為雙凸透鏡，折射率符合常見(jiàn)玻璃的折射率。

2.平凸透鏡

考慮到牛頓環(huán)實(shí)驗(yàn)可以測(cè)量平凸透鏡的曲率半徑，又選擇了一塊平凸透鏡，分別使用了自準(zhǔn)直法和牛頓環(huán)方法測(cè)量了該透鏡的曲率半徑，結(jié)果如下：

（x1、x2、f不確定的來(lái)源為成像的清晰范圍為±5.0mm）

結(jié)果中R1=∞，很好的說(shuō)明了透鏡的一面為平面，此時(shí) X2=f物平面上會(huì)同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)倒立實(shí)像，這點(diǎn)可以在實(shí)驗(yàn)中看得很清楚，擋住平面鏡一個(gè)像消失，另一個(gè)像不消失。

（最小二乘法處理，鈉光波長(zhǎng)λ=589.3nm）

可以看到兩種方法對(duì)于平凸透鏡凸面曲率半徑的測(cè)量結(jié)果是相當(dāng)一致的，但自準(zhǔn)直法的精度相對(duì)較低，這與用肉眼直接判斷成像的清晰程度有關(guān)。

3.凹凸透鏡

雙凸透鏡和平凸透鏡的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明：透鏡的凸面xf呢？實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)確實(shí)是這樣的：

（x1、x2、f不確定的來(lái)源為成像的清晰范圍為±5.0mm）

結(jié)果中R1<0、R2<0說(shuō)明了透鏡為凹凸透鏡，但實(shí)驗(yàn)時(shí)由于x2較大，透鏡與物平面距離較遠(yuǎn)光線較弱，需要仔細(xì)尋找。

三、結(jié)束語(yǔ)

理論推導(dǎo)及實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了自準(zhǔn)直二次成像法可以測(cè)量各類(lèi)凸透鏡（雙凸、平凸、凹凸）的曲率半徑和折射率，通過(guò)比較二次成像時(shí)的距離x和透鏡的焦距f，可以快速判斷凸透鏡的凸、平、凹面，特別是在曲率半徑較大接近平面時(shí)，具有簡(jiǎn)便、快速的特點(diǎn)。

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（陸軍軍事交通學(xué)院基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)中心，天津 300161）