王慧興(特級教師)

3 概率應(yīng)用

概率計(jì)算被廣泛應(yīng)用于我們生活與生產(chǎn)當(dāng)中,近些年高考命題無一例外地以概率計(jì)算為背景立意數(shù)學(xué)應(yīng)用試題.但考查的知識點(diǎn)全部基于教材(如表4),堅(jiān)持學(xué)什么考什么立意的命題原則.

表4 概率應(yīng)用

3.1 隨機(jī)變量

表5

一位旅客8:20到站,求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望.

表6

因此,該旅客候車時(shí)間X的數(shù)學(xué)期望為

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點(diǎn)p0.

(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元,若有不合格品進(jìn)入用戶手中,則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.

(ⅰ) 若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求EX;

(ⅱ) 以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù),是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).

令f′(p)=0,得p=0.1.當(dāng)p∈(0,0.1)時(shí),f′(p)>0;當(dāng)p∈(0.1,1)時(shí),f′(p)<0,所以f(p)的最大值點(diǎn)p0=0.1.

(2) 由(1)知,p=0.1.

(ⅰ) 令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù),依題意知Y～B(180,0.1),則X=20×2+25Y,即X=40+25Y,所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.

(ⅱ) 如果對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元,由(ⅰ)可知EX>400,故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).

3.2 統(tǒng)計(jì)分析

表7 未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

表8 使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

(1)作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.

圖1

(2)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后,日用水量小于0.35 m3的概率;

(3)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后,一年能節(jié)省多少水(一年按365天計(jì)算,同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表).

圖2

(2)根據(jù)圖2中的數(shù)據(jù),易知該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35 m3的頻率為

0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,

因此，該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35 m3的概率的估計(jì)值為0.48.

(3) 由題意知，該家庭未使用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)

該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)

因此，估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后,一年可節(jié)省水(0.48-0.35)×365=47.45 m3.

(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ-3σ，μ+3σ)之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望;

(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ，μ+3σ)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

(ⅰ) 試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;

(ⅱ) 若檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸如表9所示.

表9

經(jīng)計(jì)算得

其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸,i=1,2,…,16.

附:若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2),則

P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997416≈0.0408.

X的數(shù)學(xué)期望EX=16×0.0026=0.0416.

(2) (ⅰ)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個(gè)零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0026,一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中,出現(xiàn)尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0408,發(fā)生的概率很小．因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程中可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的．

因此μ的估計(jì)值為10.02.

3.3 相關(guān)分析

圖3

(1)分別利用這兩個(gè)模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值;

(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠?并說明理由.

利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為

(2)利用模型②得到的預(yù)測值更可靠，理由如下.

(ⅱ) 從計(jì)算結(jié)果看相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測值增幅比較合理，說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.

3.4 統(tǒng)計(jì)案例

第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式86556899762701223456689877654332814452110090

圖4

(1) 根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高，并說明理由;

(2) 求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過m和不超過m的工人數(shù)填入表10中.

表10

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?

表11

(ⅰ) 由莖葉圖可知，用第一種生產(chǎn)方式,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80min,用第二種生產(chǎn)方式,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79min，因此，第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

(ⅱ) 由莖葉圖可知，用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5min,用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5min，因此，第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

(ⅲ) 由莖葉圖可知，用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80min;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80min,因此，第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

(ⅳ) 由莖葉圖可知，用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在“莖8”上的最多,關(guān)于“莖8”大致呈對稱分布;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在“莖7”上的最多,關(guān)于“莖7”大致呈對稱分布,故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少,因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

以上給出的4種理由,考生答出其中任意1種或其他合理理由均可得分.

表12

4 數(shù)學(xué)建模

從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)看,數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和方法解決實(shí)際問題的基本手段，也是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力.高中數(shù)學(xué)教育肩負(fù)著發(fā)展學(xué)生關(guān)鍵能力、培育數(shù)學(xué)素養(yǎng)與提升數(shù)學(xué)境界的時(shí)代重任.因此，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí),應(yīng)注重應(yīng)用信息技術(shù)建構(gòu)數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)模擬試驗(yàn),以應(yīng)對大數(shù)據(jù)時(shí)代的變化,引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)處理方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析與計(jì)算能力,以教學(xué)方式轉(zhuǎn)變引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)變.同時(shí),高考命題已經(jīng)直擊數(shù)學(xué)建模,以數(shù)學(xué)模型的方式檢測學(xué)生數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)計(jì)算能力,引領(lǐng)數(shù)學(xué)教育注重?cái)?shù)學(xué)建模，以培育學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，概率統(tǒng)計(jì)問題一躍成為壓軸題就是一個(gè)明確的信號——數(shù)學(xué)建模真的來了. 從這一信號也可以預(yù)見隨著數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的深入落實(shí),注定會將數(shù)學(xué)建模引入高考試題,同時(shí)也流露出將會從考查模型的方式命制試題.例如，由命題組構(gòu)建一個(gè)數(shù)學(xué)模型,針對數(shù)據(jù)捕獲、數(shù)據(jù)分析與運(yùn)算、檢驗(yàn)與評價(jià)模型等進(jìn)行考查,進(jìn)而逐步把數(shù)學(xué)建模能力的考查引入高考試題.

(1)求X的分布列;

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)，都賦予4分,pi(i=0,1,2,…,8)表示“甲藥累積得分為i時(shí),最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,

pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),

其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假定α=0.5,β=0.8.

(ⅰ) 證明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列;

(ⅱ) 求p4,并由p4值解釋該試驗(yàn)方案的合理性.

P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β).

隨機(jī)變量X的分布列如表13所示.

表13

(2) 根據(jù)(1)可得

即pi+1=5pi-4pi-1(i=1,2,…,7).

①

(ⅰ) 對①作同構(gòu)轉(zhuǎn)化,得

pi+1-pi=4(pi-pi-1) (i=1,2,…,7).

若p1-p0=0,則pi-pi-1=0,?1≤i≤8,所以{pn}是常數(shù)列,1=p8=p0=0矛盾,故p1-p0≠0,所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)是公比為4，首項(xiàng)為p1的等比數(shù)列.

(ⅱ) 由增量恒等式,得

②

③

由②③消去p1,得

由試驗(yàn)數(shù)據(jù)得出p4≈0.00389,按其定義p4=P(∑X+4=4)=P(∑X=0),表示在甲藥累計(jì)得0分,被認(rèn)為比乙藥更有效的概率是0.00389,這是一個(gè)小概率事件,表明試驗(yàn)數(shù)據(jù)與甲、乙兩種新藥的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)“甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8”相符(在甲藥治愈率明顯低于乙藥治愈率的前提下,試驗(yàn)得出甲藥反而更有效,這種可能性應(yīng)該很小,也就是錯(cuò)誤判斷兩種藥物有效性的概率極低),因此,該試驗(yàn)方案合理.

簡評本題是以新藥效果試驗(yàn)為題根的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題,題目新穎別致,替代導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題作為試卷壓軸題,釋放來年新高考信號:數(shù)學(xué)建模將引入新高考試卷,很可能會繼續(xù)作為壓軸題出現(xiàn). 但題目給出數(shù)據(jù)pi的關(guān)系式,學(xué)生一不小心就會看錯(cuò)題,有一定的誤導(dǎo)性. 如果把已知p0，p8以及數(shù)列{pi}的遞推關(guān)系改為由學(xué)生建立,既能回避這個(gè)問題,更能深入檢測學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.

事實(shí)上,每一輪試驗(yàn)兩種藥物得分之和都是0分,所以兩種藥物累計(jì)得分一直是8分，p0表示“甲藥的累積得分為0時(shí),最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,這時(shí),乙藥累計(jì)得分恰好是8分,因此乙藥比甲藥多治愈4只小白鼠,試驗(yàn)停止,所以這時(shí)甲藥被認(rèn)為比乙藥更有效的概率是0,即p0=0.同理，p8=1.

因?yàn)榧姿幚塾?jì)得分為i對應(yīng)的事件是3個(gè)事件的和事件:甲藥累計(jì)得分為i-1,再進(jìn)行一輪試驗(yàn),甲藥又得1分,由每輪試驗(yàn)的獨(dú)立性,可知這一事件的概率為p(X=1)·pi-1=a·pi-1;甲藥累計(jì)得分為i,再進(jìn)行一輪試驗(yàn),甲、乙均得0分,這一事件概率為p(X=0)·pi=b·pi;甲藥累計(jì)得分為i+1分,再進(jìn)行一輪試驗(yàn),甲藥得-1分,這一事件的概率為p(X=-1)·pi+1=c·pi+1. 由互斥性,可得pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7)(注意:這個(gè)構(gòu)建過程本質(zhì)上是基于全概率公式,但由獨(dú)立性,相應(yīng)的條件概率簡化了).

2010年,蘇淳教授也命制過一個(gè)“漂亮”的模型檢驗(yàn)試題,如例15.

現(xiàn)設(shè)n=4,分別以a1,a2,a3,a4表示第一次排序時(shí)被排為1,2,3,4的四種酒在第二次排序時(shí)的序號,并令X=|1-a1|+|2-a2|+|3-a3|+|4-a4|,則X是對兩次排序的偏離程度的一種描述.

(1)寫出X的可能值集合;

(2)假設(shè)a1,a2,a3,a4等可能地為1,2,3,4的各種排列,求X的分布列;

(3)某品酒師在相繼進(jìn)行的三輪測試中,都有X≤2.

(ⅰ)試按(2)中的結(jié)果,計(jì)算出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率(假定各輪測試相互獨(dú)立);

(ⅱ)你認(rèn)為該品酒師的酒味鑒別功能如何?說明理由.

在1,2,3,4中奇數(shù)與偶數(shù)各有兩個(gè),所以a2,a4中的奇數(shù)個(gè)數(shù)等于a1,a3中的偶數(shù)個(gè)數(shù),因此|1-a1|+|3-a3|與|2-a2|+|4-a4|的奇偶性相同,從而X=(|1-a2|+|3-a3|)+(|2-a2|+|4-a4|)必為偶數(shù).X的值非負(fù),且易知其值不大于8，所以X的可能取值的集合為{0,2,4,6,8}.

(2)可用列表或樹狀圖列出1,2,3,4的24種排列,計(jì)算每種排列下的X值,在等可能的假定下,得到X的分布列，如表14所示.

表14

5 結(jié)束語

2019年高考數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)較多變化,教師需要根據(jù)這些變化進(jìn)行適度調(diào)整，為2020年的新高考做準(zhǔn)備,譬如解答題的壓軸題可能要從導(dǎo)數(shù)應(yīng)用調(diào)整為以概率統(tǒng)計(jì)為主干的數(shù)學(xué)建模,重在對概率問題的理解與分析. 這一重大變化釋放出改革信號——全面落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)下的高考壓軸題將以概率統(tǒng)計(jì)為載體，對數(shù)學(xué)建模進(jìn)行考查,流露出概率與統(tǒng)計(jì)系列試題的走向. 高考基于實(shí)際情境立意、真實(shí)地提出數(shù)學(xué)問題,引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識與方法解決身邊問題,達(dá)到立德樹人、五育并舉、助力德智體美勞全面發(fā)展的目的,同時(shí)，又能激發(fā)學(xué)生對試題的親切感、成就感與自豪感. 在一定程度上助推素質(zhì)教育,扭轉(zhuǎn)以應(yīng)試為主的目標(biāo)教學(xué),營造整體把握數(shù)學(xué)知識與方法的教學(xué)環(huán)境.