任運(yùn)廣

(云南師范大學(xué)附屬中學(xué) 650106)

首先，給出例題：

提出要求：請同學(xué)們給出盡量多的解法.

同學(xué)們進(jìn)行思考，過段時(shí)間后， 我給出第一種解法，

目的有三：其一，活躍課堂氣氛，鼓勵(lì)發(fā)散思維，間接告訴同學(xué)只要能夠得到結(jié)果的任何視角，均可與大家分享；其二，肯定跳躍思維，此時(shí)思維活躍的同學(xué)，在第一時(shí)間就能猜得結(jié)果；其三，給出結(jié)果，明確目標(biāo)，鼓勵(lì)同學(xué)們積極參與課堂討論.

待我介紹完，我所謂的解法后，拋磚引玉的效果初現(xiàn)，此時(shí)有第一位同學(xué)講解了第二種解法，如下：

等同學(xué)講解完，適時(shí)提出問題：請問同學(xué)，你是怎么想到該解法的，或者說該解法中有哪些必然性的規(guī)律？

該生在分析的過程中，進(jìn)行了如下的思維過程：明確目標(biāo)→轉(zhuǎn)化問題→方程思想.

該分析得到了同學(xué)的認(rèn)可，教室里也想起了掌聲！

緊接著，繼續(xù)詢問，是否還能給出其他的不同解法呢？又一位同學(xué)給出了第三種解法，如下：

等該同學(xué)講解完，我提出兩個(gè)問題：

同學(xué)回答：第一個(gè)問題，我與第一個(gè)同學(xué)一樣，希望得到tanα的方程，同時(shí)也想到了方程sin2α+cos2α=1，既然是sinα與cosα的比值，將1即sin2α+cos2α放在分母上，此時(shí)我希望得到一個(gè)齊次方程，于是我想到了平方，第二個(gè)問題，步驟中應(yīng)該進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f明，剛才忽略了，主要是借用了前面的結(jié)果.

該同學(xué)巧妙地運(yùn)用了sin2α+cos2α=1，構(gòu)造出了一個(gè)特殊的齊次方程，方法巧妙，聯(lián)系緊密，綜合思考能力要求較高，只是步驟書寫有待完善.

此時(shí)，又有一位同學(xué)給出了另外的解法，如下：

該同學(xué)書寫完步驟后，補(bǔ)充到：既然我們要解出sinα與cosα的值，即要得到sinα與cosα的兩個(gè)方程，于是由(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα，結(jié)合α的范圍可以實(shí)現(xiàn)sinα+cosα與sinα-cosα之間的聯(lián)系，得到上述的解法.

該方法通過平方這個(gè)巧妙的運(yùn)算技巧，將sinα+cosα與sinα-cosα聯(lián)系在一起，得到方程，實(shí)現(xiàn)問題的解決，書寫步驟完整.

繼續(xù)詢問是否有其他的處理方式，有同學(xué)給出以下解法：

該解法從輔助角出發(fā)，看似與目標(biāo)沒有聯(lián)系，待處理完第一步時(shí)，再結(jié)合已知條件，有種豁然開朗的感覺，有點(diǎn)柳暗花明的味道，比較符合處理問題的思維情景，是接地氣的一種解法.

其思維過程簡述為：對已知條件作出自己能做的處理(處理時(shí)并不知道能得到什么樣的效果)→再結(jié)合已知條件→發(fā)現(xiàn)條件與目標(biāo)之間的聯(lián)系→問題得到解決.

通過前面五種方法的講解，同學(xué)的思維逐漸活躍起來，處理問題的方式也得到了啟發(fā)，參與的熱情越來越高，陸續(xù)有同學(xué)介紹了幾種如下方法.

上述的兩種處理問題的過程中，共同選擇了萬能公式作為中間過度，實(shí)現(xiàn)了條件與結(jié)果之間的聯(lián)系，問題得到了解決.這種解法要求對萬能公式有一定的認(rèn)知，要求較高，拓展了同學(xué)們的思維視角，讓同學(xué)們體會(huì)到了三角恒等變換處理過程中變中不變的真諦，激發(fā)了同學(xué)們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情.

最后我給出了一個(gè)解析的方法如下：

該解法本質(zhì)上與解法二相同，只是知識展示形式上有所不同，姑且作為一種解法，解法九知識的起點(diǎn)于三角函數(shù)的基本概念，回歸本質(zhì).

課后反思:高三復(fù)習(xí)階段，教師選擇例題就應(yīng)該選擇如本文介紹的例題一樣，可以有處理問題的不同的視角，使不同層次的同學(xué)等到相應(yīng)的發(fā)展，通過不同層次視角的探索等到不同的收獲，在收獲中體會(huì)學(xué)習(xí)的快樂！