武增明

(云南省玉溪第一中學(xué) 653100)

求圓錐曲線的離心率的取值范圍的問題，是圓錐曲線中的一類重要的問題，這類問題涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，解法靈活且多種多樣.學(xué)生在解答這類問題時(shí)，許多同學(xué)感到不知從何入手.這類問題主要涉及到函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法.解決這類問題的關(guān)鍵是，如何挖掘?qū)ふ覇栴}中的不等關(guān)系,構(gòu)造出關(guān)于a，b，c的不等式;如何挖掘?qū)ふ覇栴}中的變量,建立離心率e關(guān)于題設(shè)中變量的函數(shù).本文試圖通過實(shí)例對如何構(gòu)造出關(guān)于a，b，c的不等式和如何建立離心率e關(guān)于題設(shè)中變量的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于離心率e的不等式，求以離心率e為函數(shù)值的函數(shù)的值域問題，作一些歸納、總結(jié)、探析，以饗讀者.

一、利用圓錐曲線的范圍，建立關(guān)于a，b，c的不等式

先運(yùn)用方程思想，用a，b，c表示出圓錐曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，然后利用圓錐曲線的范圍建立關(guān)于a，b，c的不等式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的不等式，解此關(guān)于離心率e的不等式，問題獲解.

二、利用已知條件中的參數(shù)表示出圓錐曲線的離心率，建立函數(shù)關(guān)系式

先利用已知條件中的參數(shù)表示出圓錐曲線的離心率，即將離心率轉(zhuǎn)化為參數(shù)的函數(shù)，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題，然后注意到參數(shù)的范圍，求出函數(shù)的值域，從而問題獲解.

三、利用三角函數(shù)的范圍，建立關(guān)于a，b，c的不等式

先運(yùn)用方程思想，用a，b，c表示出變量角α的正弦或余弦，然后利用三角函數(shù)的范圍(有界性)建立關(guān)于a，b，c的不等式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的不等式，解此關(guān)于離心率e的不等式，問題獲解.

四、利用已知條件中的不等式或范圍，建立關(guān)于a，b，c的不等式

充分考慮已知條件中的不等式或范圍與a，b，c的關(guān)系，由此去建立關(guān)于a，b，c的不等式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的不等式，解此關(guān)于離心率e的不等式，問題獲解.

五、利用判別式，建立關(guān)于a，b，c的不等式

若直線與圓錐曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立后，判別式大于零，由此建立關(guān)于a，b，c的不等式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的不等式，解此關(guān)于離心率e的不等式，問題獲解.

例5斜率為2的直線過中心在原點(diǎn)且焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右焦點(diǎn)，與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別在左、右兩支上，則雙曲線離心率的取值范圍是( ).

六、利用均值不等式，建立關(guān)于a，b，c的不等式

利用均值不等式，建立關(guān)于a，b，c的不等式，進(jìn)而得關(guān)于離心率e的不等式，問題獲解.

評注解答本題的關(guān)鍵是利用均值不等式，尋找到a，b，c之間的不等關(guān)系式，從而獲解.

七、利用三角形性質(zhì)，建立關(guān)于a，b，c的不等式

利用三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，同時(shí)注意到等號是否會(huì)成立，由此建立關(guān)于a，b，c的不等式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的不等式，解此關(guān)于離心率e的不等式，問題獲解.

評注根據(jù)三角形中恒有“兩邊之和大于第三邊”這一簡單的性質(zhì)，是建立a，b，c之間的不等關(guān)系式的關(guān)鍵.

八、利用漸近線的性質(zhì)，建立關(guān)于a，b，c的不等式

利用幾何方法、漸近線的幾何特性，建立關(guān)于a，b，c的不等式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為離心率e的不等式，解此關(guān)于離心率e的不等式，問題獲解.

A. (1，2] B. (1，2) C. [2，+∞) D. (2，+∞)

解析此題可以用代數(shù)方法求解，即將直線與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)判別式就可確定離心率的取值范圍.但計(jì)算比較繁瑣，因此考慮用幾何方法，利用漸近線的幾何特性，去求離心率的取值范圍.

評注漸近線控制著雙曲線的形狀，這與離心率控制著雙曲線的形狀有著異曲同工之妙，知道了這點(diǎn)，許多求雙曲線離心率的取值范圍的問題就可以利用漸近線的性質(zhì)來很快且輕松地解決了.

圓錐曲線的離心率的取值范圍問題的求解方法，并非僅有上面介紹的8種方法，這8種方法僅是基本的、重要的、常見的、常用的方法，除此之外還有數(shù)形結(jié)合法、參數(shù)法等等，并且這些方法并非彼此孤立，在很多時(shí)候需要綜合運(yùn)用才能解決問題.限于篇幅，其它方法在此不再贅述，留給讀者在學(xué)習(xí)中探究.但是，若能掌握這8種方法，可以說，解決這類問題就沒有問題了.