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        圓錐曲線中直線過定點問題探析

        2020-03-02 06:51:18胡貴平
        數理化解題研究 2020年4期
        關鍵詞:拋物線

        胡貴平

        (甘肅省白銀市第一中學 730900)

        “定點”問題是圓錐曲線??碱}型,注重知識的綜合,更注重數學思想方法,難度較大,縱觀近幾年高考,圓錐曲線中直線過定點問題頻頻出現,下面類比探析其相似性.

        命題1 已知拋物線C:y2=2px(p>0),過定點(t,0)(t>0)且不垂直于x軸的直線l與拋物線C交于M,N兩點,則在x軸上存在點P(-t,0),使得∠OPM=∠OPN.

        例1(2018全國新課標Ⅰ文)設拋物線C:y2=2x,點A(2,0),B(-2,0),過點A的直線l與C交于M,N兩點.

        圖1

        (1)當l與x軸垂直時,求直線BM的方程;

        (2)證明:∠ABM=∠ABN.

        解(1)當l與x軸垂直時,l的方程為x=2,代入y2=2x, ∴M(2,-2),N(2,2)或M(2,2),N(2,-2),∴BM的方程為:2x+x+2=0或2y-x-2=0.

        ∴kBM=-kBN,∴∠ABM=∠ABN.

        拓展已知拋物線C:y2=2px(p>0),過定點(t,0)(t<0)且不垂直于x軸的直線l與拋物線C交于M,N兩點,則在x軸上存在點P(-t,0),使得∠OPM+∠OPN=180°.

        命題2 已知拋物線C:y2=2px(p>0),點P(-t,0)(t>0).設不垂直于x軸的直線l與拋物線C交于M,N兩點,若∠OPM=∠OPN,則直線l過定點(t,0).

        (1)當k=0時,分別求C在點M和N處的切線方程;

        (2)y軸上是否存在點P,使得當k變動時,總有∠OPM=∠OPN?說明理由.

        (2)存在符合題意的點.證明如下:

        設P(0,b)為符合題意的點,M(x1,y1),N(x2,y2),直線PM,PN的斜率分別為k1,k2.

        將y=kx+a代入C的方程整理得x2-4kx-4a=0.

        ∴x1+x2=4k,x1x2=-4a.

        當b=-a時,有k1+k2=0,則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補,故∠OPM=∠OPN,所以P(0,-a)符合題意.

        得(b2+a2k2)x2-2a2k2tx+a2(k2m2-b2)=0,

        圖2

        (1)當l與x軸垂直時,求直線AM的方程;

        (2)設O為坐標原點,證明:∠OMA=∠OMB.

        (1)求橢圓C的方程;

        (2)已知A,B為橢圓長軸的兩個端點,作不平行于坐標軸且不經過右焦點F的直線PQ,與橢圓交于P,Q兩點,若滿足∠AFP=∠BFQ,求證:直線PQ橫過一定點.

        解(1)依題意知l:y=x-c, ①

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