胡貴平

(甘肅省白銀市第一中學 730900)

“定點”問題是圓錐曲線?？碱}型，注重知識的綜合，更注重數學思想方法，難度較大，縱觀近幾年高考，圓錐曲線中直線過定點問題頻頻出現，下面類比探析其相似性.

命題1 已知拋物線C：y2=2px(p>0)，過定點(t，0)(t>0)且不垂直于x軸的直線l與拋物線C交于M，N兩點，則在x軸上存在點P(-t，0)，使得∠OPM=∠OPN.

例1(2018全國新課標Ⅰ文)設拋物線C：y2=2x，點A(2，0)，B(-2，0)，過點A的直線l與C交于M，N兩點．

圖1

(1)當l與x軸垂直時，求直線BM的方程；

(2)證明：∠ABM=∠ABN．

解(1)當l與x軸垂直時，l的方程為x=2，代入y2=2x， ∴M(2,-2),N(2,2)或M(2,2),N(2,-2),∴BM的方程為：2x+x+2=0或2y-x-2=0.

∴kBM=-kBN,∴∠ABM=∠ABN.

拓展已知拋物線C：y2=2px(p>0)，過定點(t，0)(t<0)且不垂直于x軸的直線l與拋物線C交于M，N兩點，則在x軸上存在點P(-t，0)，使得∠OPM+∠OPN=180°.

命題2 已知拋物線C：y2=2px(p>0)，點P(-t，0)(t>0).設不垂直于x軸的直線l與拋物線C交于M，N兩點，若∠OPM=∠OPN，則直線l過定點(t，0).

(1)當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；

(2)y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

(2)存在符合題意的點.證明如下：

設P(0,b)為符合題意的點，M(x1,y1)，N(x2,y2)，直線PM，PN的斜率分別為k1,k2.

將y=kx+a代入C的方程整理得x2-4kx-4a=0.

∴x1+x2=4k,x1x2=-4a.

當b=-a時，有k1+k2=0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補，故∠OPM=∠OPN，所以P(0,-a)符合題意.

得(b2+a2k2)x2-2a2k2tx+a2(k2m2-b2)=0，

圖2

(1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(2)設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知A,B為橢圓長軸的兩個端點，作不平行于坐標軸且不經過右焦點F的直線PQ，與橢圓交于P,Q兩點，若滿足∠AFP=∠BFQ，求證：直線PQ橫過一定點.

解(1)依題意知l:y=x-c， ①