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        鱉臑的形狀

        2020-03-02 05:53:32甘志國
        數(shù)理化解題研究 2020年4期

        甘志國

        (北京市豐臺(tái)二中 100071)

        題1 (2015年高考湖北卷理科第19題)《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.

        如圖1,在陽馬P-ABCD中,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,過棱PC的中點(diǎn)E,作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F,連接DE,DF,BD,BE.

        (1)證明:PB⊥平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑,若是,寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,說明理由.

        分析老師如何給學(xué)生講解這道高考題呢?下面重點(diǎn)分析第(1)問的后半部分.

        學(xué)生容易理解“將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬”,而難以理解“將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑”.

        “鱉臑”長什么樣,有“鱉臑”這樣的幾何體(四個(gè)面都為直角三角形的四面體)嗎?

        下面我們來想辦法構(gòu)造出鱉臑即四個(gè)面都為直角三角形的四面體.這自然會(huì)想到如圖2所示的“墻角四面體OABC”:其中三條射線OA,OB,OC兩兩互相垂直(因而△OAB,△OBC,△OCA均是直角三角形).若△ABC也是直角三角形,則四面體OABC就是鱉臑.但我們可以證明△ABC是銳角三角形:

        設(shè)OA=a,OB=b,OC=c,由勾股定理可得

        AB2+AC2-BC2=(a2+b2)+(a2+c2)-(b2+c2)=2a2>0

        在△ABC中,再由余弦定理可得

        因而∠BAC是銳角.同理,可得∠ABC,∠ACB均是銳角,所以△ABC是銳角三角形.

        說明由這種方法不能構(gòu)造出鱉臑.必須另想它法.

        借助長方體(長方體是一種常用的立體幾何模型:它處處是“垂直”——有相交直線垂直,還有異面直線垂直;有直線與平面垂直,還有平面與平面垂直.它處處是“平行”——有直線與直線平行,還有直線與平面平行、平面與平面平行.還有異面直線、正四面體、“墻角四面體”等等圖形.它們在解題時(shí)均很有用)來構(gòu)造鱉臑是一種好方法:因?yàn)殚L方體中有很多直角,鱉臑的各個(gè)面都是直角三角形.可能有的同學(xué)已經(jīng)得到了答案——放置在如圖3所示的長方體中的四面體ABCD就是鱉臑:

        在鱉臑ABCD即三棱錐A-BCD中,∠BCD=90°,棱AB⊥底面BCD(且垂足是底面△BCD的銳角頂點(diǎn),一定不會(huì)是直角頂點(diǎn)C,這是在圖2中已經(jīng)獲證的).

        還有其他現(xiàn)狀的鱉臑嗎?答案是否定的.

        在如圖4所示的鱉臑ABCD中,可設(shè)六條棱長分別是AD=a,AC=b,AB=c,DB=d,DC=e,BC=f.

        (1)先證:在鱉臑的各個(gè)頂點(diǎn)處的三個(gè)角,至少存在一個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)角是直角.

        否則,在如圖4所示的鱉臑ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)處的三個(gè)角中,均有且僅有一個(gè)是直角(在下面的解答中,將反復(fù)運(yùn)用這一假設(shè)).

        在△BCD中可不妨設(shè)∠BCD=90°(可得d>e,d>f),因而∠ACD≠90°,∠ACB≠90°.

        在△ABC中,因?yàn)椤螦CB≠90°,所以∠CAB=90°或∠ABC=90°.

        若∠CAB=90°,可得f>b,f>c,因而d>f>c,d>c,所以在△ABD中,AB=c不是最大邊,∠ADB不是最大角,因而∠ADB<90°,可得∠ABD=90°.

        可得鱉臑ABCD在點(diǎn)D處的三個(gè)角中只可能是∠ADC=90°,進(jìn)而可得a>d>f>b>a,這不可能!所以∠ABC=90°.

        因而在△ABD中,∠ABD≠90°,所以∠BAD=90°或∠ADB=90°.

        若∠BAD=90°,可得鱉臑ABCD在點(diǎn)D處的三個(gè)角中只可能是∠ADC=90°,這樣就得到空間四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角均是直角,這將與“第八屆(1976年)加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題)在四邊形ABCD中,∠ABC,∠BCD,∠CDA,∠DAB都是直角,求證:四邊形ABCD是矩形”的結(jié)論(實(shí)際上,可以證明“空間四邊形的內(nèi)角和小于周角”)相矛盾!所以∠ADB=90°.

        可得鱉臑ABCD在點(diǎn)A處的三個(gè)角中只可能是∠DAC=90°,進(jìn)而可得c>d>e>b>c,這不可能!

        證畢!

        (2)再證:

        定理鱉臑就是從一個(gè)Rt△BCD(可不妨設(shè)∠BCD=90°)的銳角頂點(diǎn)(可不妨設(shè)為點(diǎn)B)處作平面BCD的垂線段BA而后得到的四面體ABCD,鱉臑也是恰好是在兩個(gè)頂點(diǎn)處的三個(gè)角中均恰有兩個(gè)角是直角的四面體.

        證明由(1)的結(jié)論可知,在如圖4所示的鱉臑ABCD中,至少存在一個(gè)頂點(diǎn)處的三個(gè)角中有兩個(gè)角是直角.

        可不妨設(shè)在點(diǎn)C處的三個(gè)角中有兩個(gè)角是直角,由“墻角四面體”不是鱉臑知,可不妨設(shè)∠ACB=∠BCD=90°,∠ACD≠90°,則在△ACD中,∠CAD=90°或∠ADC=90°.

        ① 若∠CAD=90°,可得∠ABD=90°或∠ADB=90°或∠BAD=90°.

        若∠ABD=90°,可得a>d>e>a,這不可能!

        若∠ADB=90°,由BC⊥AC,BC⊥CD,可得BC⊥平面ACD,所以AD⊥BC.再由AD⊥DB,可得AD⊥平面BCD,AD⊥CD,這將與AD⊥AC矛盾!

        若∠BAD=90°,此時(shí)得到的鱉臑ABCD與圖3中的鱉臑實(shí)質(zhì)是一樣的:從Rt△DAC(∠DAC=90°)的銳角頂點(diǎn)C作直線CB⊥平面ACD得到的四面體ABCD.

        ② 若∠ADC=90°,可得∠ABD=90°或∠BAD=90°或∠ADB=90°.

        若∠ABD=90°,可得b>a>c>b,這不可能!

        若∠BAD=90°,可得BC⊥平面ACD,所以AD⊥BC.再由AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,AD⊥AC.

        又因?yàn)锳D⊥CD,所以A,C,D三點(diǎn)共線,這不可能!

        若∠ADB=90°,此時(shí)得到的鱉臑ABCD與圖3中的鱉臑實(shí)質(zhì)是一樣的:從Rt△DAC(∠ADC=90°)的銳角頂點(diǎn)C作直線CB⊥平面ACD得到的四面體ABCD.

        下面再來解答題1的第(1)問:

        可先作出如圖5所示的鱉臑WXYZ,其中∠XYZ=90°,WZ⊥平面XYZ.

        我們由圖5這個(gè)模型來求解第(1)問的后半部分:

        可得∠DEF=90°(由AD⊥平面PDC,AD∥BC,可得BC⊥平面PDC,DE⊥BC;又由DE⊥PC,可得DE⊥平面PBC,所以DE⊥EF),再由第(1)問的前半部分證得的結(jié)論“PB⊥平面DEF”,可得:若題1中的四面體DBEF是鱉臑,則其頂點(diǎn)D,B,E,F(xiàn)分別對應(yīng)著圖5中鱉臑WXYZ的頂點(diǎn)X,W,Y,Z.

        易知圖5中鱉臑WXYZ中各個(gè)面的直角分別是∠XYW,∠XYZ,∠YZW,∠XZW,因而題1中的四面體DBEF各個(gè)面的直角分別是∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.

        再來解答題1的姊妹題就很容易了:

        題2 (2015年高考湖北卷文科第20題)《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.

        在如圖6所示的陽馬P-ABCD中,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),連接DE,BD,BE.

        (1)證明:DE⊥平面PBC.試判斷四面體EBCD是否為鱉臑,若是,寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,請說明理由.

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