甘志國

(北京市豐臺(tái)二中 100071)

題1 (2015年高考湖北卷理科第19題)《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．

如圖1，在陽馬P-ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，過棱PC的中點(diǎn)E，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F，連接DE，DF，BD，BE.

(1)證明：PB⊥平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論)；若不是，說明理由．

分析老師如何給學(xué)生講解這道高考題呢？下面重點(diǎn)分析第(1)問的后半部分.

學(xué)生容易理解“將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬”，而難以理解“將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑”.

“鱉臑”長什么樣，有“鱉臑”這樣的幾何體(四個(gè)面都為直角三角形的四面體)嗎？

下面我們來想辦法構(gòu)造出鱉臑即四個(gè)面都為直角三角形的四面體.這自然會(huì)想到如圖2所示的“墻角四面體OABC”：其中三條射線OA,OB,OC兩兩互相垂直(因而△OAB,△OBC,△OCA均是直角三角形).若△ABC也是直角三角形，則四面體OABC就是鱉臑.但我們可以證明△ABC是銳角三角形：

設(shè)OA=a,OB=b,OC=c，由勾股定理可得

AB2+AC2-BC2=(a2+b2)+(a2+c2)-(b2+c2)=2a2>0

在△ABC中，再由余弦定理可得

因而∠BAC是銳角.同理，可得∠ABC,∠ACB均是銳角，所以△ABC是銳角三角形.

說明由這種方法不能構(gòu)造出鱉臑.必須另想它法.

借助長方體(長方體是一種常用的立體幾何模型：它處處是“垂直”——有相交直線垂直，還有異面直線垂直；有直線與平面垂直，還有平面與平面垂直.它處處是“平行”——有直線與直線平行，還有直線與平面平行、平面與平面平行.還有異面直線、正四面體、“墻角四面體”等等圖形.它們在解題時(shí)均很有用)來構(gòu)造鱉臑是一種好方法：因?yàn)殚L方體中有很多直角，鱉臑的各個(gè)面都是直角三角形.可能有的同學(xué)已經(jīng)得到了答案——放置在如圖3所示的長方體中的四面體ABCD就是鱉臑：

在鱉臑ABCD即三棱錐A-BCD中，∠BCD=90°，棱AB⊥底面BCD(且垂足是底面△BCD的銳角頂點(diǎn)，一定不會(huì)是直角頂點(diǎn)C，這是在圖2中已經(jīng)獲證的).

還有其他現(xiàn)狀的鱉臑嗎？答案是否定的.

在如圖4所示的鱉臑ABCD中，可設(shè)六條棱長分別是AD=a,AC=b,AB=c,DB=d,DC=e,BC=f.

(1)先證：在鱉臑的各個(gè)頂點(diǎn)處的三個(gè)角，至少存在一個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)角是直角.

否則，在如圖4所示的鱉臑ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)處的三個(gè)角中，均有且僅有一個(gè)是直角(在下面的解答中，將反復(fù)運(yùn)用這一假設(shè)).

在△BCD中可不妨設(shè)∠BCD=90°(可得d>e,d>f)，因而∠ACD≠90°,∠ACB≠90°.

在△ABC中，因?yàn)椤螦CB≠90°，所以∠CAB=90°或∠ABC=90°.

若∠CAB=90°，可得f>b,f>c，因而d>f>c,d>c，所以在△ABD中，AB=c不是最大邊，∠ADB不是最大角，因而∠ADB<90°，可得∠ABD=90°.

可得鱉臑ABCD在點(diǎn)D處的三個(gè)角中只可能是∠ADC=90°，進(jìn)而可得a>d>f>b>a，這不可能！所以∠ABC=90°.

因而在△ABD中，∠ABD≠90°，所以∠BAD=90°或∠ADB=90°.

若∠BAD=90°，可得鱉臑ABCD在點(diǎn)D處的三個(gè)角中只可能是∠ADC=90°，這樣就得到空間四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角均是直角，這將與“第八屆(1976年)加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題)在四邊形ABCD中，∠ABC,∠BCD,∠CDA,∠DAB都是直角，求證：四邊形ABCD是矩形”的結(jié)論(實(shí)際上，可以證明“空間四邊形的內(nèi)角和小于周角”)相矛盾！所以∠ADB=90°.

可得鱉臑ABCD在點(diǎn)A處的三個(gè)角中只可能是∠DAC=90°，進(jìn)而可得c>d>e>b>c，這不可能！

證畢！

(2)再證：

定理鱉臑就是從一個(gè)Rt△BCD(可不妨設(shè)∠BCD=90°)的銳角頂點(diǎn)(可不妨設(shè)為點(diǎn)B)處作平面BCD的垂線段BA而后得到的四面體ABCD，鱉臑也是恰好是在兩個(gè)頂點(diǎn)處的三個(gè)角中均恰有兩個(gè)角是直角的四面體.

證明由(1)的結(jié)論可知，在如圖4所示的鱉臑ABCD中，至少存在一個(gè)頂點(diǎn)處的三個(gè)角中有兩個(gè)角是直角.

可不妨設(shè)在點(diǎn)C處的三個(gè)角中有兩個(gè)角是直角，由“墻角四面體”不是鱉臑知，可不妨設(shè)∠ACB=∠BCD=90°,∠ACD≠90°，則在△ACD中，∠CAD=90°或∠ADC=90°.

① 若∠CAD=90°，可得∠ABD=90°或∠ADB=90°或∠BAD=90°.

若∠ABD=90°，可得a>d>e>a，這不可能！

若∠ADB=90°，由BC⊥AC,BC⊥CD，可得BC⊥平面ACD，所以AD⊥BC.再由AD⊥DB，可得AD⊥平面BCD,AD⊥CD，這將與AD⊥AC矛盾！

若∠BAD=90°，此時(shí)得到的鱉臑ABCD與圖3中的鱉臑實(shí)質(zhì)是一樣的：從Rt△DAC(∠DAC=90°)的銳角頂點(diǎn)C作直線CB⊥平面ACD得到的四面體ABCD.

② 若∠ADC=90°，可得∠ABD=90°或∠BAD=90°或∠ADB=90°.

若∠ABD=90°，可得b>a>c>b，這不可能！

若∠BAD=90°，可得BC⊥平面ACD，所以AD⊥BC.再由AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC,AD⊥AC.

又因?yàn)锳D⊥CD，所以A,C,D三點(diǎn)共線，這不可能！

若∠ADB=90°，此時(shí)得到的鱉臑ABCD與圖3中的鱉臑實(shí)質(zhì)是一樣的：從Rt△DAC(∠ADC=90°)的銳角頂點(diǎn)C作直線CB⊥平面ACD得到的四面體ABCD.

下面再來解答題1的第(1)問：

可先作出如圖5所示的鱉臑WXYZ，其中∠XYZ=90°,WZ⊥平面XYZ.

我們由圖5這個(gè)模型來求解第(1)問的后半部分：

可得∠DEF=90°(由AD⊥平面PDC,AD∥BC，可得BC⊥平面PDC,DE⊥BC；又由DE⊥PC，可得DE⊥平面PBC，所以DE⊥EF)，再由第(1)問的前半部分證得的結(jié)論“PB⊥平面DEF”，可得：若題1中的四面體DBEF是鱉臑，則其頂點(diǎn)D，B，E，F(xiàn)分別對應(yīng)著圖5中鱉臑WXYZ的頂點(diǎn)X,W,Y,Z.

易知圖5中鱉臑WXYZ中各個(gè)面的直角分別是∠XYW,∠XYZ,∠YZW,∠XZW，因而題1中的四面體DBEF各個(gè)面的直角分別是∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.

再來解答題1的姊妹題就很容易了：

題2 (2015年高考湖北卷文科第20題)《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．

在如圖6所示的陽馬P-ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，連接DE，BD，BE.

(1)證明：DE⊥平面PBC.試判斷四面體EBCD是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論)；若不是，請說明理由．