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        基于范希爾理論的“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)

        2020-02-29 10:38:36李良

        李良

        [摘要]范希爾理論是針對(duì)幾何教學(xué)提出的,但它體現(xiàn)的是認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律,因此對(duì)其他方面的教學(xué)也有很好的借鑒價(jià)值.文章借助范希爾理論具體分析學(xué)生掌握?qǐng)A和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程所需要經(jīng)歷的層次,并給出每一層次的教學(xué)案例及具體設(shè)計(jì)意圖.[關(guān)鍵詞]范希爾理論;幾何思維水平;圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

        [中圖分類號(hào)]G633.6? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A? [文章編號(hào)]1674-6058(2020)02-0028-02

        “圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一.圓作為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典內(nèi)容,在高中階段被安排在直線之后.通過直線方程的學(xué)習(xí),學(xué)生初步了解了用代數(shù)方法研究幾何問題.本節(jié)內(nèi)容的研究為后續(xù)學(xué)習(xí)橢圓方程、雙曲線方程、拋物線方程提供思路,在整個(gè)平面解析幾何中起承上啟下的作用.筆者借助范希爾理論對(duì)本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)進(jìn)行思考,希望以此強(qiáng)化教學(xué)效果,提升學(xué)生的理解能力.

        一、范希爾幾何思維水平理論簡述

        荷蘭學(xué)者范希爾夫婦對(duì)學(xué)生的幾何思維進(jìn)行了大量的研究,通過研究他們發(fā)現(xiàn):在教學(xué)過程中,教師的教學(xué)或者教材的專業(yè)知識(shí)和語言經(jīng)常會(huì)超過學(xué)生的思維,導(dǎo)致學(xué)習(xí)效率低下,教學(xué)效果不佳.由此,他們總結(jié)出幾何思維的五個(gè)水平以及相對(duì)應(yīng)的五個(gè)階段.水平0:直觀感受.學(xué)生能注意到直觀形狀的某些特征;能通過整體輪廓辨認(rèn)圖形;能畫圖或仿畫圖形,使用標(biāo)準(zhǔn)或不標(biāo)準(zhǔn)名稱描述幾何圖形.水平1:分析.學(xué)生能分析圖形的組成要素及特征,并以此建立圖形的特性,能根據(jù)組成要素比較圖形,會(huì)利用某一性質(zhì)建立圖形間的關(guān)系、圖形性質(zhì)的順序,進(jìn)行圖形的分類.水平2:抽象/關(guān)聯(lián).學(xué)生能建立圖形及圖形性質(zhì)間的關(guān)系,能形成抽象定義,通過圖形與性質(zhì)的交互聯(lián)系重組所獲得的思想.水平3:形式推理.在公理化系統(tǒng)中建立定理,能夠以此進(jìn)行形式推理.水平4:嚴(yán)密性數(shù)學(xué).在數(shù)學(xué)系統(tǒng)下進(jìn)行形式推理,分析比較不同的集合系統(tǒng).

        與之對(duì)應(yīng),范希爾夫婦提出五個(gè)教學(xué)階段,便于指導(dǎo)教師教學(xué).階段1:學(xué)前咨詢.教師和學(xué)生就所學(xué)對(duì)象進(jìn)行雙向交談.階段2:引導(dǎo)定向.教師仔細(xì)安排活動(dòng)順序,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)進(jìn)行的方向,逐漸熟悉所學(xué)對(duì)象的結(jié)構(gòu)特性.階段3:闡明.教師提供最低程度的提示,學(xué)生明確詞匯意義,能夠表達(dá)內(nèi)在結(jié)構(gòu)的看法,開始形成學(xué)習(xí)的關(guān)系系統(tǒng).階段4:自由定向.學(xué)生能碰到多步作業(yè)或能以不同方式完成作業(yè),在尋找方法和解決問題的過程中獲得經(jīng)驗(yàn).階段5:整合.學(xué)生回顧自己所用的方法并形成一種觀點(diǎn),教師對(duì)學(xué)生理解的東西做全面的評(píng)述,幫助學(xué)生完成這一過程.

        范希爾理論最初是針對(duì)幾何教學(xué)提出的,但它也揭示了人類認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律,對(duì)促進(jìn)學(xué)生有效學(xué)習(xí)與理解,指導(dǎo)教師制訂有效的教學(xué)計(jì)劃都有重大的意義.

        二、學(xué)生掌握?qǐng)A需要經(jīng)歷的層次圓是日常生活中非常常見的圖形,對(duì)它的認(rèn)識(shí)是一個(gè)不斷深化發(fā)展的過程,結(jié)合范希爾理論,筆者認(rèn)為學(xué)生掌握?qǐng)A需經(jīng)歷以下五個(gè)層次.

        層次1.對(duì)圓的初步感知.

        該層次相當(dāng)于范希爾理論中的直觀感知水平,學(xué)生能從生活中體會(huì)到圓的存在,從而產(chǎn)生研究圓的興趣.

        【案例1】

        方案1.現(xiàn)實(shí)生活中有許多圓的例子,讓學(xué)生舉出幾個(gè).

        方案2.展示硬幣、圓形盾牌、奔馳車標(biāo)、奧迪車標(biāo)等的圖片,問學(xué)生從中能發(fā)現(xiàn)什么幾何圖形.

        方案3.播放游樂園的簡介視頻(內(nèi)含摩天輪、旋轉(zhuǎn)木馬等).

        設(shè)計(jì)意圖:方案1是從學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)進(jìn)行課程導(dǎo)入.此設(shè)計(jì)基于兩點(diǎn):(1)圓作為現(xiàn)實(shí)中的常見圖形普遍存在于日常生活.(2)作為高中生,經(jīng)過義務(wù)教育階段知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的積累對(duì)于“圓”這個(gè)名詞已經(jīng)有了清楚的認(rèn)知.因此,問題一經(jīng)拋出,學(xué)生就能發(fā)揮自身的能動(dòng)性,將客觀事物的形象完美地呈現(xiàn)在腦海中.方案2和方案3是教師帶動(dòng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形導(dǎo)入課程.方案2選擇的圖形是靜態(tài)的,此時(shí)整個(gè)圓的形象更容易呈現(xiàn).圖片中放置了兩個(gè)汽車車標(biāo),目的是初次呈現(xiàn)圓與圓的區(qū)別:大小不一,位置不同.方案3中視頻展現(xiàn)的圓是動(dòng)態(tài)的,與接下來圓的作法可以做到有機(jī)街接.在實(shí)際操作中也可以將這三個(gè)方案結(jié)合使用.

        層次2.對(duì)圓概念的初步認(rèn)識(shí).

        該層次相當(dāng)于范希爾理論中的分析水平.在此水平上,學(xué)生清楚構(gòu)成圓的要素與特征,但還不能用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述.本層次的目標(biāo)是經(jīng)過教師的“引導(dǎo)定向”,讓學(xué)生學(xué)會(huì)畫圓,為之后圓的定義與求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程做好鋪墊.

        【案例2】探究如何畫圓

        師:在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中如何畫圓?

        預(yù)設(shè)答案:使用圓規(guī)作圓,將圓規(guī)的兩只腳張開一定的角度,將其中一只腳放在固定點(diǎn)上,另一只腳緊貼點(diǎn)所在平面,然后轉(zhuǎn)動(dòng)圓規(guī)一周,畫出的圖形就是圓.

        師:如果沒有圓規(guī),你能畫圓嗎?(學(xué)生思考)

        預(yù)設(shè)答案:(可能情況)

        1.固定兩根手指,類似圓規(guī)作圖.

        2.尺子上有圓孔,沿著圓孔邊緣畫一圈.

        3.比著圓形器物(如硬幣等)的邊緣畫一圈.

        4.用電腦軟件繪制圓.

        師:如果給你一根線(無彈性),你能畫出圓嗎?

        生:能.(學(xué)生在紙上先固定線的一端,在線的另一端綁支筆,拉緊線后繞一圈畫圓)

        設(shè)計(jì)意圖:通過不同形式畫圓,使學(xué)生逐步建構(gòu)圓的概念.數(shù)學(xué)教學(xué)要使學(xué)生在教師的引導(dǎo)下能動(dòng)地構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),并能促進(jìn)師生的共同發(fā)展.教師要?jiǎng)?chuàng)造適當(dāng)?shù)沫h(huán)境,以造就學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),滿足后續(xù)的學(xué)習(xí)需要.最后用線作圓為之后圓的概念的引出起到鋪墊作用.

        層次3.對(duì)圓概念的抽象認(rèn)識(shí).

        該層次相當(dāng)于范希爾理論中的抽象關(guān)聯(lián)水平.在這一水平,學(xué)生能掌握建構(gòu)圓所要的要素,能借助數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系進(jìn)行思維活動(dòng),能運(yùn)用數(shù)量關(guān)系判定幾何圖形是否為圓.

        【案例3】

        問題1:用線作圖可以得到哪些圖形?

        預(yù)設(shè)答案:線段、扇形和圓.

        問題2:線是否可以有彈性?為什么?在作一個(gè)圓的過程中觀察哪些量是固定的?

        預(yù)設(shè)答案:線長不能有彈性,不然畫不出圓.其中一端點(diǎn)定下后是固定的,線長固定.

        問題3:結(jié)合上面的討論,試總結(jié)圓是什么樣的點(diǎn)的軌跡?

        預(yù)設(shè)答案:圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離為定長的點(diǎn)的軌跡,注意前提是“平面內(nèi)”,與球相區(qū)別.定點(diǎn)為圓心,定長為半徑.

        設(shè)計(jì)意圖:數(shù)學(xué)定義是對(duì)客觀現(xiàn)象的理性認(rèn)識(shí),本層次致力于用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述圓的定義.通過師生對(duì)話,增進(jìn)知識(shí)的理解,活躍課堂氣氛.

        層次4.對(duì)圓概念的全面把握.

        該層次是范希爾理論中的形式推理水平.此時(shí)學(xué)生能用演繹推理的方式證實(shí)猜想,得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并將該知識(shí)納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

        【案例4】

        問題1:如何用集合語言描述以點(diǎn)C為圓心,r為半徑的圓?

        預(yù)設(shè)答案:設(shè)M是圓上任意一點(diǎn),則圓上點(diǎn)的集合為:[={M}.

        直角坐標(biāo)系中如何研究圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?

        問題2.解析幾何問題研究的基本思想是什么?

        預(yù)設(shè)答案:數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)形結(jié)合可以形助數(shù)也能用數(shù)解形,由之前的直線內(nèi)容可知,解析幾何側(cè)重于后者.

        問題3:如何建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

        基本步驟:建坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn),找等量關(guān)系,代入坐標(biāo),化簡.

        設(shè)圓心C為(a,b),點(diǎn)M為(x,y),由P={M}可得

        上式兩邊平方,得(x-a)2+(y-b)2=r2,這就是我們所要推導(dǎo)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

        問題4.寫出當(dāng)C(0,0),半徑為r時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;當(dāng)r=0,圖形是什么?

        預(yù)設(shè)答案:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=r2;圖形為點(diǎn).

        問題5.圓心與半徑分別決定了什么?

        預(yù)設(shè)答案:圓心決定位置,半徑?jīng)Q定大小.

        問題6.如何判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

        預(yù)設(shè)答案:點(diǎn)與圓心的距離為d,比較d與r的大小關(guān)系來判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

        整個(gè)教學(xué)過程,師生積極參與,逐步建構(gòu)知識(shí),完成方程的推導(dǎo).

        設(shè)計(jì)意圖:從集合描述入手,借助數(shù)形結(jié)合思想,利用舊知識(shí)獲得新的知識(shí),同時(shí)激發(fā)學(xué)生思維,培養(yǎng)學(xué)生處理問題和解決問題的能力.

        層次5.對(duì)圓概念的形式化認(rèn)識(shí).

        該層次是范希爾理論中的嚴(yán)密性數(shù)學(xué)水平.在此水平,學(xué)生對(duì)圓的概念進(jìn)入形式化階段,能用圓的知識(shí)解決一些簡單的問題,同時(shí)對(duì)笛卡兒思想、數(shù)形結(jié)合思想和方程思想有了進(jìn)一步的感悟.

        【案例5】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的運(yùn)用

        1.已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,求圓心和半徑.

        ①(x-3)2+(y+4)2=r2;

        ②(x+1)2+y2=r2;

        ③x2+(y-2)2=r2.

        2.通過已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

        ①求以點(diǎn)C(0,2)為圓心,r=1為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

        ②設(shè)點(diǎn)A(2,3),B(4,1),求以線段從為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

        3.學(xué)生分組討論,借鑒1、2互相編題解題.

        4.圓的實(shí)際應(yīng)用(能力提升題).

        已知隧道的截面是半徑4 m的半圓,車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛,問一輛寬2.7 m,高3 m的貨車能否駛?cè)脒@個(gè)隧道?

        設(shè)計(jì)意圖:選取典型例子,幫助學(xué)生深化對(duì)圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的理解.組織編題解題的活動(dòng)目的是推進(jìn)學(xué)生自主變式訓(xùn)練,發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性,提升教學(xué)效果.加入應(yīng)用題表明數(shù)學(xué)是客觀事物的抽象,有著實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值,能增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

        人類認(rèn)識(shí)事物的過程中需要經(jīng)歷從特殊到一般,從具體到抽象.范希爾理論正揭示了人類認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律,筆者借此理論比較具體地分析了學(xué)生對(duì)圓和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的掌握需要經(jīng)歷的層次.基于此,教師應(yīng)按照學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行因材施教,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念不斷深化理解,并在此基礎(chǔ)上推進(jìn)實(shí)際應(yīng)用.

        [參考文獻(xiàn)]

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        [3]丁保媛,劉詠梅.范希爾理論指導(dǎo)下的函數(shù)概念教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2013(3):1-3.

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