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        平面幾何常見添加輔助線的方法

        2020-02-29 10:38:36徐策

        徐策

        [摘要]學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)中,解平面幾何問題,關(guān)鍵是要學(xué)會添加輔助線.教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生掌握平面幾何常見的添加輔助線的方法,從中找出解題規(guī)律,進而有效解決問題.

        [關(guān)鍵詞]平面幾何;輔助線;添加

        [中圖分類號]G633.6? [文獻標(biāo)識碼]A? [文章編號]1674-6058(2020)02-0023-02

        解平面幾何一些比較復(fù)雜的圖形題,關(guān)鍵是如何添加適當(dāng)?shù)妮o助線.其實,輔助線的添加也是有規(guī)律可循的.教師在教學(xué)過程中,應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生對幾何知識點進行系統(tǒng)性的整理,對常見的一些例題、習(xí)題進行深入分析,找出規(guī)律,掌握輔助線的添加方法.

        一、在分界點上添加平行線

        相似形的證明在初中幾何中占據(jù)重要地位.中考命題中相似性的出題概率一直呈上升趨勢.因此在講這部分內(nèi)容時,教師要緊緊把握住基本概念、性質(zhì)以及基本題型.

        在證明一些有關(guān)線段成比例的題型時,如果圖形中沒有呈現(xiàn)出相似三角形中的常見題型,即A字形或者X形,就可構(gòu)造平行線去解決這類題目.

        [例1]如圖1,D是AC的中點,EF交AB于E,與BC的延長線交點F,求證:.

        分析:假如過點A作邊BC的平行線AG,那么就有.剩下的任務(wù)就是證明AG=CF,這樣問題也就迎刃而解了.

        證明:過點A作BC的平行線AG,與FE的延長線相較于G點,連接GE.

        又因為AD=DC,

        這道題對初中生來說,還是比較復(fù)雜的.但是,我們通過作三角形定點的平行線這種輔助線,能輕松得到證明.

        二、梯形中輔助線的作法

        在初二的幾何學(xué)習(xí)中,經(jīng)常會遇到計算梯形面積的題目,課本中給出的解法中,往往是傳統(tǒng)的“(上底+下底)x高”的做法,或者將一個梯形分解成兩個三角形來計算.其實,在解有關(guān)梯形的題目中,還有以下幾種添加輔助線的方法.

        1.已知梯形上底和下底之差,通過上底的其中一個端點,作一條與腰平行的線段.這樣實際上就把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形,另外加上一個三角形,如圖2-1.

        2.已知梯形的上、下底,求面積.常見的方法是在上底的兩個端點處,向下底引垂線,形成高線,如圖2-2.

        3.延長梯形(特別是等腰梯形)的兩腰,使其相交于一點,這樣可以通過相似三角形計算長度,如圖2-3.

        4.已知梯形的對角線相等,或者對角線互相垂直時,可過梯形上底的一個端點,作另一條角線的平行線,使之與下底的延長線相交,如圖2-4.

        5.當(dāng)梯形中出現(xiàn)中點時,都會過其中一腰的中點,作另一腰的平行線,最后分別與上底的延長線和下底相交,如圖2-5.

        6.當(dāng)梯形中出現(xiàn)中點時,也會常常連接上底的一端點和另一腰的中點,并延長,最后與下底的延長線相交,如圖2-6.

        三、運用“三線合一”性質(zhì),給等腰三角形過頂點作底邊上的高線

        如果題目已知等腰三角形(或者等邊三角形),并且知道其中的某一邊,求面積或者證明某兩條線段相等,這時,利用“三線合一”性質(zhì)過三角形的頂點作底邊上的高線,是最有效的辦法.

        [例2]如圖3,已知點D、E在三角形的底邊BC上,且AB=AC,AD=AE,求證:BD=CE.

        分析:在本題中,呈現(xiàn)了兩個等腰三角形,而且要證明相等的線段在等腰三角形的底邊上,用等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)解決,可得線段BH=HC,DH=HE,再根據(jù)等式性質(zhì)“等量減等量還是等量”,最終命題得證.

        四、截長補短法

        截長補短法常用于證明兩條線段之和或者之差等于另一條線段.具體來說,有兩種操作,一是截長,二是補短.

        [例3]如圖4,已知在△ABC中,∠1=∠2,∠B=2∠C,求證:AB+BD=AC.

        證明:在AC上截取AF=AB,并連接DF.

        在△ABD和△AFD中,

        ∴∠B=∠AFD,BD=DF.

        又因為∠B=2∠C,

        ∴∠AFD=2∠C.

        又∠AFD=∠FDC+∠C,

        ∴∠FDC=∠C.

        ∴FD=FC(等角對等邊),即AB+BD=AC.

        總之,學(xué)生想學(xué)好幾何,關(guān)鍵要學(xué)會添加輔助線.當(dāng)做完一道題目后,應(yīng)及時歸納、總結(jié)相關(guān)解題方法,長此以往,便可熟能生巧,從而提高數(shù)學(xué)解題能力,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

        [參考文獻]

        [1]胡飛.淺談初中數(shù)學(xué)幾何證明的三種思維[J].都市家教(下半月),2012(1):89-90.

        [2]薛春青.淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的“解圖”與“解題”[J].新課程(教師版),2010(3):56-57.

        [3]申忠軍.重視幾何典型題解題思路指導(dǎo)[J].湖南教育(數(shù)學(xué)),2008(8):23-24.

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