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        導(dǎo)數(shù)與數(shù)列中有關(guān)不等式的證明

        2020-02-29 10:38:36馬漢陽

        馬漢陽

        [摘要]導(dǎo)數(shù)與數(shù)列中有關(guān)不等式的證明是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容,也是高考的難點(diǎn)之一.研究此類問題的證明方法,能提高學(xué)生的解題能力.

        [關(guān)鍵詞]導(dǎo)數(shù);數(shù)列;不等式;證明

        [中圖分類號(hào)]G633.6? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A? [文章編號(hào)]1674-6058(2020)02-0012-02

        數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容,在高等數(shù)學(xué)也占有重要的位置.函數(shù)與不等式是高中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要內(nèi)容,它們可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維中的很多方法,當(dāng)兩者結(jié)合在一起的時(shí)候,問題比較難解決.學(xué)生在做這類題目時(shí)往往無從下手.究其原因,一是綜合運(yùn)用知識(shí)的能力欠佳;二是方法不得當(dāng).因此在復(fù)習(xí)這兩類知識(shí)時(shí),一定要注意它們的相互滲透,尋找解決問題的方法.

        [例1](2019年南寧市第二次模擬考)已知函數(shù)f(x)=ax2-2xlnx-1(a∈R).

        (1)若時(shí),函數(shù)f(x)取得極值,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

        (2)證明:.

        解析:(1)由已知f'(x)=2ax-2lnx-2,當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)取得極值.

        故,所以時(shí),時(shí),.

        所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.

        (2)當(dāng)a=1時(shí),.

        令g(x)=x-lnx-1,則.當(dāng)01時(shí),g(x)>0,g(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1),單調(diào)增區(qū)間為(1,+∞),g(x)≥g(1)=0.又f(x)≥0,所以f(x)為增函數(shù).當(dāng)x>1時(shí),f(x)=x2-2xlnx1>f(1)=0,所以當(dāng)x>1時(shí).

        令,得,

        即.

        所以.

        即,所以.

        點(diǎn)評(píng):本題的難點(diǎn)在第二問.解決的關(guān)鍵是要利用函數(shù)不等式x>1時(shí)去構(gòu)造數(shù)列不等式.即令,x取這個(gè)值非常關(guān)鍵,這要看要證明式子兩邊的結(jié)構(gòu)來設(shè)置.

        [例2](2019年南寧市第三中學(xué)模擬考)已知函數(shù)f(x)=(x+1)ln(x+1)-ax.

        (1)求函數(shù)f(x)的極值;

        (2)證明:,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

        解析:,令,解得.由得.由得,故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故的極小值為

        無極大值.

        (2)由(1)知道,當(dāng)a=1時(shí),f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故當(dāng)x>0時(shí),f(x)>f(0)=0.

        即.

        令,可得,則有

        兩邊同時(shí)乘以n2n可得.

        點(diǎn)評(píng):找到要用的函數(shù)不等式,即要證.

        再令,就可以構(gòu)造出數(shù)列不等式,再放縮一次,問題就解決了.

        [例3](2017年新課標(biāo)卷III理)已知函數(shù)

        (I)若f(x)≥0,求a的值;

        (II)設(shè)m為整數(shù),且對(duì)于任意正整數(shù)n,求m的最小值.

        分析:(I)因?yàn)楹瘮?shù),且,所以當(dāng)時(shí)恒成立,此時(shí)在上單調(diào)遞增,所以在(0,1)上,這與矛盾;當(dāng)時(shí)令,解得x=a,所以在(0,a)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,即,又因?yàn)椋?

        (II)由(I)可知當(dāng)時(shí),即,所以,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào).所以,所以.一方面,因?yàn)椋?/p>

        因?yàn)閙為整數(shù),且對(duì)于任意正整數(shù)n.

        點(diǎn)評(píng):只要找到要用的函數(shù)不等式,再根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征,令,所以,問題就可迎刃而解了.

        [例4](2011年高考浙江卷理22)已知函數(shù).

        (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;

        (2)求證:.

        令,令.

        故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,2a-1),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2a-1,∞).

        f(x)的極大值為2aIn2a-2a+1.

        (2)要證,

        即證,即證

        即證.

        令,由(1)可知f(x)在(0,+∞)上遞減,故f(x)

        即,令,故.

        累加得.

        故,得證.

        點(diǎn)評(píng):找到要用的函數(shù)不等式ln(1+x)

        再令,構(gòu)造出數(shù)列不等式.

        導(dǎo)數(shù)與數(shù)列中有關(guān)不等式的證明是緊密相連且互相滲透的.在復(fù)習(xí)中,我們一定要注意它們的聯(lián)系,它們所涉及的問題往往是靈活應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與數(shù)列中有關(guān)不等式的知識(shí),把這兩者完美地結(jié)合在一起.學(xué)生要在知識(shí)的交匯點(diǎn)學(xué)會(huì)思考分析,達(dá)到知識(shí)的融會(huì)貫通.同時(shí),提高自己的分析問題和解決問題的能力.

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