何 偉，董連春，法 旭，邵 偉，郎甲機(jī)

南疆小學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算錯(cuò)誤類型及分析——基于新疆大規(guī)模測(cè)評(píng)數(shù)據(jù)

何 偉，董連春，法 旭，邵 偉，郎甲機(jī)

（中央民族大學(xué) 理學(xué)院，北京 100081）

結(jié)合新疆大規(guī)模測(cè)評(píng)數(shù)據(jù)，針對(duì)南疆小學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算中錯(cuò)誤進(jìn)行了微觀分析．研究發(fā)現(xiàn)，南疆小學(xué)生在整數(shù)乘法、整數(shù)除法、整數(shù)混合運(yùn)算、小數(shù)加法、小數(shù)減法和小數(shù)混合運(yùn)算6個(gè)方面出現(xiàn)錯(cuò)誤類型主要表現(xiàn)為概念性錯(cuò)誤，即混淆運(yùn)算符號(hào)、不理解小數(shù)概念、混合運(yùn)算中運(yùn)算順序混亂和運(yùn)算律使用錯(cuò)誤等問(wèn)題．出現(xiàn)概念性錯(cuò)誤的原因主要包括復(fù)雜運(yùn)算的算法與算理的理解問(wèn)題，對(duì)位值的理解問(wèn)題和混合運(yùn)算中運(yùn)算規(guī)則的理解問(wèn)題．

運(yùn)算能力；運(yùn)算錯(cuò)誤；小學(xué)；數(shù)學(xué)；南疆

1 問(wèn)題提出

數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)課程中“數(shù)與代數(shù)”部分的重要內(nèi)容，同時(shí)也是支撐學(xué)生學(xué)習(xí)“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”3個(gè)部分的重要基礎(chǔ)．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將“運(yùn)算能力”列為十大核心概念之一，并明確指出，“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力”[1]．小學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及其教學(xué)方法層面的研究，主要集中在運(yùn)算錯(cuò)誤的類型以及對(duì)策．王巍指出，小學(xué)生在出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤時(shí)，教師往往會(huì)簡(jiǎn)單歸因?yàn)閷W(xué)生不認(rèn)真聽(tīng)講、不夠細(xì)心或者思維定勢(shì)等原因，缺乏對(duì)學(xué)生運(yùn)算錯(cuò)誤背后深層次原因的剖析與指正[2]．孫興華和馬云鵬發(fā)現(xiàn)，小學(xué)生在數(shù)學(xué)運(yùn)算方面出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因十分復(fù)雜，職初教師往往認(rèn)識(shí)到學(xué)生錯(cuò)誤的表層原因，而教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富的教師能夠發(fā)現(xiàn)學(xué)生錯(cuò)誤背后的深層次原因[3]．張樹(shù)東在總結(jié)國(guó)內(nèi)外研究的基礎(chǔ)上，從心理學(xué)和教育學(xué)兩個(gè)層面梳理了小學(xué)生出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤的主要原因，包括缺乏概念性知識(shí)、工作記憶低下以及視覺(jué)—?jiǎng)幼鹘y(tǒng)合能力低下等[4]．

在中國(guó)的新疆，特別是南疆四地州，即和田地區(qū)、喀什地區(qū)、克孜勒蘇柯?tīng)柨俗巫灾沃莺桶⒖颂K地區(qū)，由于各種因素的影響，長(zhǎng)期以來(lái)，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面面臨的問(wèn)題較為突出[5-6]．研究者對(duì)新疆學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就與諸多影響因素間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行了研究與探討．例如，有學(xué)者指出新疆學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就不佳與如下因素存在密切聯(lián)系：教育投入、師資水平、學(xué)校辦學(xué)形式（如寄宿制）、課程設(shè)置的難度、數(shù)學(xué)教材與新疆學(xué)生日常生活的聯(lián)系、學(xué)生漢語(yǔ)水平、學(xué)生自我效能感、學(xué)生學(xué)習(xí)信念與學(xué)習(xí)習(xí)慣、學(xué)生學(xué)習(xí)方式等[5]．這些研究從宏觀層面分析了新疆學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就的影響因素，為教育政策的制定與調(diào)整提供了非常有價(jià)值的借鑒．

2016年5月，教育部和新疆教育廳聯(lián)合開(kāi)展了新疆雙語(yǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)工作[7]，南疆地區(qū)9?229名四年級(jí)小學(xué)生參加了數(shù)學(xué)測(cè)試．結(jié)果發(fā)現(xiàn)，南疆四地州四年級(jí)小學(xué)生在“數(shù)與代數(shù)”部分的平均得分率僅為50%，其中數(shù)學(xué)計(jì)算題目的平均得分率為51%，進(jìn)一步反映出南疆四年級(jí)小學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力非常薄弱這一問(wèn)題的嚴(yán)重性．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算是小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重中之重，不僅影響到后續(xù)數(shù)與代數(shù)部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，還會(huì)影響到其它模塊的學(xué)習(xí)．因此，深入研究南疆四年級(jí)小學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算錯(cuò)誤十分必要．

基于以上分析，擬研究以下問(wèn)題：南疆小學(xué)生在數(shù)學(xué)運(yùn)算方面出現(xiàn)的具體問(wèn)題有哪些？背后的原因何在？這些問(wèn)題的回答，能夠發(fā)現(xiàn)影響南疆小學(xué)生運(yùn)算能力薄弱的根本原因，進(jìn)而提出有針對(duì)性的解決方法．

2 研究方法

2.1 研究樣本

2016年教育部與新疆教育廳聯(lián)合開(kāi)展新疆雙語(yǔ)教育大規(guī)模質(zhì)量監(jiān)測(cè)項(xiàng)目，抽取南疆四地州310個(gè)班級(jí)共計(jì)9?229名四年級(jí)小學(xué)生，其中維吾爾族小學(xué)生占比97.6%．使用國(guó)家通用語(yǔ)言學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生比例約為80%，男女生比例接近1:1，農(nóng)村學(xué)生比例約為80%．

南疆四地州中，阿克蘇地區(qū)教育水平處于中等水平．因此從阿克蘇地區(qū)參與測(cè)試的學(xué)生樣本（總計(jì)2?085名學(xué)生）中，采用分層抽樣與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣相結(jié)合的方法，抽取660名四年級(jí)學(xué)生的測(cè)試卷．其中，維吾爾族學(xué)生比例99.5%，使用國(guó)家通用語(yǔ)言學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程的學(xué)生約占80%，男女生比例約為47:50，鄉(xiāng)村學(xué)生比例約為81%．抽取樣本各方面比例與原樣本比例基本一致，能夠較好地代表南疆四地州學(xué)生的一般情況．研究對(duì)象具體信息如表1所示．

表1 研究對(duì)象具體信息

2.2 測(cè)試題目選取

表2 測(cè)試題目具體類型

2.3 編碼分析與數(shù)據(jù)處理

結(jié)合已有研究[5-9]，將運(yùn)算錯(cuò)誤分為3類：概念性錯(cuò)誤、程序性錯(cuò)誤和協(xié)調(diào)性錯(cuò)誤．概念性錯(cuò)誤主要指學(xué)生在數(shù)學(xué)運(yùn)算方面存在概念性的認(rèn)知錯(cuò)誤，如不能根據(jù)計(jì)算法則進(jìn)行基本的運(yùn)算；程序性錯(cuò)誤是指，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算有基本的概念認(rèn)知，但是具體使用運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，出現(xiàn)錯(cuò)誤（比如進(jìn)位錯(cuò)誤或者借位錯(cuò)誤）；協(xié)調(diào)性錯(cuò)誤，主要是指學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算有基本的概念認(rèn)知，能夠依據(jù)運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，但是在運(yùn)算過(guò)程中由于粗心產(chǎn)生的錯(cuò)誤，如謄寫錯(cuò)誤或者遺漏數(shù)字錯(cuò)誤．對(duì)加法、減法、乘法、除法、混合運(yùn)算5種類型題目，將學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤分別編碼為概念性錯(cuò)誤、程序性錯(cuò)誤和協(xié)調(diào)性錯(cuò)誤，編碼框架如表3所示．為保證編碼一致性，由兩位編碼員對(duì)所有學(xué)生答案進(jìn)行獨(dú)立編碼．而后對(duì)編碼不一致的學(xué)生答案進(jìn)行進(jìn)一步討論和分析，最終達(dá)成一致．

表3 具體編碼框架

注：錯(cuò)誤類型的具體解讀，請(qǐng)參見(jiàn)下文．

3 研究結(jié)果

3.1 整體水平

660名學(xué)生樣本中，全部（14道）運(yùn)算題目的平均正確率為58%，具體每道題目的正確率情況如表4所示．可以發(fā)現(xiàn)，南疆四年級(jí)小學(xué)生在小數(shù)加減法部分的正確率相對(duì)較高，而在整數(shù)乘除法以及整數(shù)混合運(yùn)算部分的得分率相對(duì)較低．特別地，整數(shù)混合運(yùn)算部分兩道題目的得分率均低于50%．此外，整數(shù)與小數(shù)混合減法的得分率也相對(duì)較低，3道題目中有兩道題目的得分率低于50%．

表4 新疆基礎(chǔ)教育監(jiān)測(cè)測(cè)試中計(jì)算題正確率

注：*表示得分率低于60%．

3.2 錯(cuò)誤類型

圖1給出了學(xué)生在整數(shù)乘法、整數(shù)除法、整數(shù)混合運(yùn)算、小數(shù)加法、小數(shù)減法和整數(shù)小數(shù)混合減法6個(gè)方面的錯(cuò)誤類型情況．可以發(fā)現(xiàn)，在每一類題目中，學(xué)生運(yùn)算錯(cuò)誤中概念性錯(cuò)誤所占比例都超過(guò)了70%．對(duì)于整數(shù)乘法、整數(shù)除法和小數(shù)減法3個(gè)層面，學(xué)生的概念性錯(cuò)誤比例超過(guò)了85%．

注：Z-MUL=整數(shù)乘法，Z-DIV=整數(shù)除法，Z-MIX=整數(shù)混合，X-ADD=小數(shù)加法，X-SUB=小數(shù)減法，MIX=整數(shù)小數(shù)混合減法．

由圖1可見(jiàn)，學(xué)生在運(yùn)算過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤主要為概念性錯(cuò)誤，反映出計(jì)算錯(cuò)誤并非是簡(jiǎn)單的“不認(rèn)真”和“不細(xì)心”，而是對(duì)算理和算法的理解存在很大的問(wèn)題．

3.3 具體錯(cuò)誤實(shí)例

通過(guò)學(xué)生作答的具體實(shí)例，從概念性錯(cuò)誤、程序性錯(cuò)誤和協(xié)調(diào)性錯(cuò)誤3個(gè)方面展示學(xué)生在每個(gè)錯(cuò)誤類型上出現(xiàn)的問(wèn)題和障礙，并簡(jiǎn)要分析這些錯(cuò)誤出現(xiàn)的原因．

3.3.1 概念性錯(cuò)誤及原因分析

（1）混淆運(yùn)算錯(cuò)誤．

學(xué)生在小數(shù)加法與減法計(jì)算中的混淆運(yùn)算錯(cuò)誤見(jiàn)圖2．

注：圖中序號(hào)是為便于展示學(xué)生錯(cuò)誤答案，非測(cè)試題目序號(hào)，下同．

學(xué)生在小數(shù)乘法與除法運(yùn)算中的混淆運(yùn)算錯(cuò)誤見(jiàn)圖3．

圖3 概念性錯(cuò)誤——混淆運(yùn)算（二）

在圖3（a）的5個(gè)例子中，學(xué)生將乘法按照加法進(jìn)行運(yùn)算，從而得出錯(cuò)誤結(jié)果．尤其在例（3）、例（4）、例（5）中，題目中運(yùn)算符號(hào)既有乘法符號(hào)，又有加法符號(hào)，但是學(xué)生仍舊將所有數(shù)字按照加法進(jìn)行計(jì)算．在圖3（b）中，有些情況是學(xué)生將除法混淆為減法，如例（1）、例（4），有些情況是學(xué)生將除法混淆為加法，如例（2）、例（3）．

（2）不考慮列錯(cuò)誤．

學(xué)生在加法與減法運(yùn)算中不考慮列的錯(cuò)誤見(jiàn)圖4．

圖4 概念性錯(cuò)誤——不考慮列錯(cuò)誤

圖4（a）的例（1）中，學(xué)生在乘法運(yùn)算結(jié)果得出之后，對(duì)1?008+792進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí)，混淆了千位與百位，從而將正確結(jié)果由1?800寫成8?100．又如圖4（b）的例（1）中，學(xué)生在進(jìn)行減法計(jì)算時(shí)，沒(méi)有考慮列，從而將兩個(gè)小數(shù)的末位對(duì)齊，而非小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)誤結(jié)果0.50．

（3）不理解小數(shù)概念．

學(xué)生在小數(shù)加法運(yùn)算與小數(shù)減法運(yùn)算中出現(xiàn)的“不理解小數(shù)概念”錯(cuò)誤見(jiàn)圖5和圖6．

圖5 概念性錯(cuò)誤——不理解小數(shù)概念（一）

從圖5中的例（1）可以很清晰地看出，當(dāng)出現(xiàn)7.95+5.76時(shí)，學(xué)生將加號(hào)左邊和右邊的兩組數(shù)字（即95和5）看作了加法的運(yùn)算對(duì)象，并且用小括號(hào)將95+5放在一起，這說(shuō)明學(xué)生并未理解小數(shù)與整數(shù)的區(qū)別．

圖6 概念性錯(cuò)誤——不理解小數(shù)概念（二）

（4）計(jì)算順序錯(cuò)誤．

學(xué)生在混合運(yùn)算中出現(xiàn)的計(jì)算順序錯(cuò)誤見(jiàn)圖7．

圖7 概念性錯(cuò)誤——計(jì)算順序錯(cuò)誤

圖7的例（1）和例（2）中，學(xué)生錯(cuò)誤地按從左至右的順序進(jìn)行計(jì)算，未考慮乘法運(yùn)算的優(yōu)先原則．而例（3）中，學(xué)生考慮了優(yōu)先進(jìn)行乘法運(yùn)算，但錯(cuò)誤地改變了運(yùn)算對(duì)象，導(dǎo)致問(wèn)題產(chǎn)生．例（4）中，學(xué)生首先將36分解成4和9，28分解成4和7，但將9與后面的22直接相乘，出現(xiàn)錯(cuò)誤．

（5）運(yùn)算律使用錯(cuò)誤．

學(xué)生在減法混合運(yùn)算中出現(xiàn)的運(yùn)算律錯(cuò)誤見(jiàn)圖8．

圖8 概念性錯(cuò)誤——運(yùn)算律錯(cuò)誤（一）

學(xué)生在乘除法的混合運(yùn)算中出現(xiàn)的運(yùn)算律錯(cuò)誤見(jiàn)圖9．

圖9 概念性錯(cuò)誤——運(yùn)算律錯(cuò)誤（二）

圖9的例（1）（2）（3）（4）中，學(xué)生試圖使用分配律進(jìn)行運(yùn)算，卻僅將56與100進(jìn)行乘法計(jì)算，忽略將56與1進(jìn)行乘法計(jì)算．例（5）至例（10）中，學(xué)生試圖使用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算，但出現(xiàn)各類錯(cuò)誤，可見(jiàn)，學(xué)生并沒(méi)有真正理解乘法分配律，只是從形式上記憶分配律的公式．

以上5種概念性錯(cuò)誤，說(shuō)明學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)算的過(guò)程中存在較為嚴(yán)重的滯后問(wèn)題．通過(guò)分析學(xué)生在運(yùn)算過(guò)程中出現(xiàn)的概念性錯(cuò)誤類型，發(fā)現(xiàn)如下原因制約學(xué)生運(yùn)算水平的提高．

第一，復(fù)雜運(yùn)算的算法與算理的理解問(wèn)題．例如，與加法和減法相比，乘法與除法的理解與計(jì)算更為復(fù)雜，認(rèn)知要求更高．諸如混淆運(yùn)算錯(cuò)誤的出現(xiàn)，說(shuō)明學(xué)生只能進(jìn)行最為基礎(chǔ)的加法運(yùn)算和減法運(yùn)算，而無(wú)法進(jìn)行乘法和除法運(yùn)算，這反映出學(xué)生在計(jì)算技能方面仍然停留在較低層次．南疆地區(qū)學(xué)生主要為維吾爾族學(xué)生，母語(yǔ)并非國(guó)家通用語(yǔ)言，因此，這種錯(cuò)誤的出現(xiàn)，說(shuō)明有效地理解復(fù)雜運(yùn)算的算理與算法仍然是新疆基礎(chǔ)教育中的一個(gè)難點(diǎn)．

第二，對(duì)位值的理解問(wèn)題．運(yùn)算過(guò)程中，數(shù)字的位置不同，代表不同的位值．出現(xiàn)進(jìn)位、借位錯(cuò)誤的部分原因可能是因?yàn)榫S吾爾語(yǔ)的書寫順序是從右向左，而數(shù)字書寫順序恰恰相反．母語(yǔ)書寫順序與數(shù)字的書寫不一致問(wèn)題，給學(xué)生理解位值帶來(lái)了一定的困難．因此，在面向南疆學(xué)生的教學(xué)中，需要特別考慮學(xué)生在位值這一概念方面的理解障礙．同時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)的對(duì)小數(shù)概念的理解誤區(qū)，也反映出學(xué)生對(duì)小數(shù)表示中的位值理解存在較大的障礙．

第三，混合運(yùn)算中運(yùn)算規(guī)則的理解問(wèn)題．混合運(yùn)算過(guò)程中，涉及不同運(yùn)算的優(yōu)先級(jí)問(wèn)題以及運(yùn)算律的使用．學(xué)生出現(xiàn)運(yùn)算順序問(wèn)題和運(yùn)算律使用混亂等問(wèn)題，反映出學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中未能理解混合運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則，對(duì)運(yùn)算律的認(rèn)識(shí)停留在較淺的層次．

3.3.2 程序性錯(cuò)誤及原因分析

（1）進(jìn)位、借位錯(cuò)誤．

學(xué)生在加法運(yùn)算中的進(jìn)位錯(cuò)誤和減法運(yùn)算中的借位錯(cuò)誤見(jiàn)圖10和圖11．

圖10中的例（1）沒(méi)有進(jìn)位，例（2）進(jìn)了兩位．例（4）中也沒(méi)有進(jìn)位，但是將8+2所得結(jié)果10放在了最后的計(jì)算結(jié)果當(dāng)中，最后得出0.810的錯(cuò)誤結(jié)果．例（5）中在計(jì)算17.95+1.05的過(guò)程中，沒(méi)有向十分位進(jìn)位，而是直接進(jìn)位到了個(gè)位，導(dǎo)致出現(xiàn)19.90的錯(cuò)誤．

圖10 程序性錯(cuò)誤——進(jìn)位錯(cuò)誤

圖11 程序性錯(cuò)誤——借位錯(cuò)誤

（2）殘跡錯(cuò)誤．

學(xué)生在加法運(yùn)算和減法運(yùn)算中出現(xiàn)的殘跡錯(cuò)誤見(jiàn)圖12和圖13．這種錯(cuò)誤是指學(xué)生在加法計(jì)算或者減法計(jì)算中會(huì)改變運(yùn)算的對(duì)象．

圖12 程序性錯(cuò)誤——?dú)堐E錯(cuò)誤

（3）空間排列錯(cuò)誤．

學(xué)生在乘法運(yùn)算中出現(xiàn)的空間排列錯(cuò)誤見(jiàn)圖13．

圖13 程序性錯(cuò)誤——空間排列錯(cuò)誤

這種錯(cuò)誤主要出現(xiàn)在學(xué)生使用豎式進(jìn)行乘法計(jì)算的過(guò)程中．如圖13的例（1）中，學(xué)生將3次運(yùn)算結(jié)果對(duì)齊排列；例（2）和例（3）中，學(xué)生將前兩次運(yùn)算結(jié)果正確排列，但是將第三次的運(yùn)算結(jié)果與第二次運(yùn)算結(jié)果對(duì)齊排列．

（4）計(jì)算不完整．

學(xué)生在乘法和除法運(yùn)算中的計(jì)算不完整錯(cuò)誤見(jiàn)圖14．

圖14 程序性錯(cuò)誤——計(jì)算不完整

圖14（a）的例（1）中，第一次運(yùn)算是56乘以1，第二次運(yùn)算應(yīng)該是50乘以0，但是學(xué)生卻按照5乘以101的方式計(jì)算，然后將兩次運(yùn)算結(jié)果相加．圖14（a）的例（2）中，首先將56與101的個(gè)位與十位進(jìn)行計(jì)算，沒(méi)有按照步驟進(jìn)行完整的乘法計(jì)算．圖14（b）的例（1）中，在得出117后，沒(méi)有繼續(xù)進(jìn)行除法計(jì)算；例（2）中，在完成第一步運(yùn)算，得出商的最高位后，沒(méi)有繼續(xù)完成后續(xù)計(jì)算．

（5）估商錯(cuò)誤．

學(xué)生在除法運(yùn)算中出現(xiàn)的估商錯(cuò)誤見(jiàn)圖15．

圖15 程序性錯(cuò)誤——估商錯(cuò)誤

圖15的例（1）中，在計(jì)算339除以68時(shí)出現(xiàn)估商錯(cuò)誤；例（2）中，在計(jì)算389除以68時(shí)出現(xiàn)估商錯(cuò)誤；例（3）中，計(jì)算174除以68時(shí)出現(xiàn)估商錯(cuò)誤．

以上5種程序性錯(cuò)誤表明，雖然學(xué)生對(duì)算法和算理達(dá)到了一定程度的理解，但在數(shù)學(xué)運(yùn)算的準(zhǔn)確性和熟練性方面存在問(wèn)題，說(shuō)明學(xué)生不能完整有效地完成筆算過(guò)程．此外，諸如“估商錯(cuò)誤”等問(wèn)題的出現(xiàn)，反映出學(xué)生在估算方面存在一定問(wèn)題．實(shí)際上，估算水平的提高，離不開(kāi)熟練的筆算技能這一前提條件．因此，學(xué)生出現(xiàn)程序性錯(cuò)誤，反映出教學(xué)過(guò)程中對(duì)學(xué)生筆算技能熟練程度的培養(yǎng)存在較大提升空間．

3.3.3 協(xié)調(diào)性錯(cuò)誤及原因分析

（1）謄寫錯(cuò)誤．

學(xué)生出現(xiàn)的謄寫錯(cuò)誤見(jiàn)圖16．

圖16 協(xié)調(diào)性錯(cuò)誤——謄寫錯(cuò)誤

圖16是學(xué)生在書寫計(jì)算過(guò)程中，將運(yùn)算對(duì)象寫錯(cuò)，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤．例如，例（1）中，學(xué)生將7.95寫成4.24；例（2）中，將7.95謄寫成95；例（3）中，將1.05寫成5.05．

（2）遺漏錯(cuò)誤．

學(xué)生出現(xiàn)的遺漏錯(cuò)誤見(jiàn)圖17．

圖17 協(xié)調(diào)性錯(cuò)誤——遺漏錯(cuò)誤

圖17是學(xué)生在書寫計(jì)算過(guò)程中，遺漏了小數(shù)點(diǎn)或某一數(shù)字，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤．3個(gè)錯(cuò)例中均出現(xiàn)遺漏小數(shù)點(diǎn)的錯(cuò)誤．

（3）部分錯(cuò)誤．

學(xué)生出現(xiàn)的部分錯(cuò)誤見(jiàn)圖18．

圖18的例（1）中，在計(jì)算4.24+7.95與5.46+1.05時(shí)都是正確的，而在計(jì)算12.19+6.81時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤．

圖18 協(xié)調(diào)性錯(cuò)誤——部分錯(cuò)誤

學(xué)生出現(xiàn)以上3種協(xié)調(diào)性錯(cuò)誤，主要的可能原因是學(xué)生平時(shí)書寫運(yùn)算過(guò)程不規(guī)范，尤其是面對(duì)較多或較大數(shù)字的運(yùn)算問(wèn)題．這種情況通常被歸結(jié)成學(xué)生“粗心馬虎”等原因．但是以往研究[10]也指出，這些錯(cuò)誤也可能是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)運(yùn)算法則進(jìn)行機(jī)械記憶，從而無(wú)法自己察覺(jué)到出現(xiàn)的錯(cuò)誤．

4 結(jié)論與討論

南疆四年級(jí)小學(xué)生數(shù)學(xué)計(jì)算方面的主要障礙是缺乏對(duì)運(yùn)算對(duì)象和算理算法的基本理解，計(jì)算中出現(xiàn)錯(cuò)誤的主要類型是概念性錯(cuò)誤，而非馬虎等簡(jiǎn)單歸因．這反映出學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算、運(yùn)算對(duì)象、算法算理缺乏基本的認(rèn)識(shí)和理解．

算法和算理的理解一直以來(lái)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，南疆小學(xué)生在這方面存在障礙也在情理之中．但是研究發(fā)現(xiàn)，南疆四年級(jí)小學(xué)生所犯概念性錯(cuò)誤中出現(xiàn)大量的混淆運(yùn)算符號(hào)（如將加法按照減法進(jìn)行計(jì)算或者將乘法按照加法計(jì)算）、不理解小數(shù)概念（忽視小數(shù)中的小數(shù)點(diǎn)，將小數(shù)看成兩個(gè)整數(shù)進(jìn)行計(jì)算）、混合運(yùn)算中運(yùn)算順序混亂等問(wèn)題．反映出很多學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在一定程度上存在低效性問(wèn)題，考慮到參加測(cè)試的小學(xué)生處于四年級(jí)期末階段，可以預(yù)想這些學(xué)生在升入五年級(jí)甚至初中時(shí)，運(yùn)算方面的問(wèn)題會(huì)嚴(yán)重影響其數(shù)學(xué)學(xué)科其它模塊的學(xué)習(xí)，是最令人堪憂的問(wèn)題．這些問(wèn)題的出現(xiàn)可以歸結(jié)成3方面原因．

第一，南疆地區(qū)教學(xué)水平有限．學(xué)生在運(yùn)算中出現(xiàn)的概念性錯(cuò)誤和程序性錯(cuò)誤，反映出數(shù)學(xué)教學(xué)未能幫助學(xué)生理解相應(yīng)的算理算法，未能幫助學(xué)生有效地提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的熟練性與準(zhǔn)確性．從研究結(jié)果看，學(xué)生出現(xiàn)的計(jì)算錯(cuò)誤，反映出當(dāng)?shù)亟虒W(xué)水平的有限和師資力量的薄弱．這與以往研究者[11]的觀點(diǎn)相同，反映出南疆地區(qū)學(xué)生學(xué)業(yè)水平的提高，離不開(kāi)師資的改善．

第二，教學(xué)語(yǔ)言、學(xué)生母語(yǔ)不一致現(xiàn)象．不可否認(rèn)，內(nèi)地發(fā)達(dá)地區(qū)學(xué)生在運(yùn)算能力方面也存在一定的問(wèn)題，但是相比較而言，以往研究很少指出內(nèi)地發(fā)達(dá)地區(qū)學(xué)生在運(yùn)算方面存在較嚴(yán)重的概念性錯(cuò)誤．該研究的發(fā)現(xiàn)，說(shuō)明數(shù)學(xué)運(yùn)算中的概念性錯(cuò)誤突出這一問(wèn)題具有一定的地域特點(diǎn)．其背后的主要原因可能是學(xué)生的母語(yǔ)與教學(xué)語(yǔ)言不一致，導(dǎo)致學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中面臨一定的語(yǔ)言理解障礙．在南疆地區(qū)，除了小部分學(xué)生使用母語(yǔ)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)外，絕大部分學(xué)生都在使用國(guó)家通用語(yǔ)言版本的教材，并且課上使用國(guó)家通用語(yǔ)言學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)．在使用國(guó)家通用語(yǔ)言學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，南疆小學(xué)生既要應(yīng)對(duì)非母語(yǔ)授課語(yǔ)言障礙的問(wèn)題，又要掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重難點(diǎn)知識(shí)．兩方面的壓力使得南疆小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中面臨雙重挑戰(zhàn)．

第三，維吾爾語(yǔ)的特點(diǎn)．維吾爾語(yǔ)言中數(shù)字讀法較為復(fù)雜，例如1.314讀作“一點(diǎn)整千分之三百一十四”．而以往研究[12]指出，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中往往會(huì)讀成“一點(diǎn)三百一十四”，這造成了學(xué)生在小數(shù)與整數(shù)的認(rèn)知上產(chǎn)生一定程度的混亂．該研究中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在小數(shù)運(yùn)算過(guò)程中出現(xiàn)較多的問(wèn)題．這在一定程度上反映出，以維吾爾語(yǔ)為母語(yǔ)的小學(xué)生受母語(yǔ)語(yǔ)法特點(diǎn)的影響，給數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來(lái)一定的負(fù)遷移．除此以外，維吾爾語(yǔ)書面語(yǔ)中，普通文本的書寫順序是從右向左橫寫，而阿拉伯?dāng)?shù)字的書寫卻是從左向右，這種差異給學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念（比如位值）帶來(lái)了一定的困難．

當(dāng)前，越來(lái)越多的學(xué)者參與到中國(guó)少數(shù)民族數(shù)學(xué)教育研究與實(shí)踐中[13-15]，極大地推動(dòng)了少數(shù)民族數(shù)學(xué)教育發(fā)展．在以往研究基礎(chǔ)之上，深入分析南疆四年級(jí)小學(xué)生的運(yùn)算錯(cuò)誤，反映出了南疆小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中存在較大的問(wèn)題．南疆地區(qū)維吾爾族人口比例高達(dá)87%[16]，維吾爾族兒童的母語(yǔ)并非國(guó)家通用語(yǔ)言，但是隨著新疆推行國(guó)家通用語(yǔ)言教學(xué)，絕大部分維吾爾族小學(xué)生都在使用國(guó)家通用語(yǔ)言學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)．因此，后續(xù)研究應(yīng)該從新疆基礎(chǔ)教育實(shí)際出發(fā)，研究南疆小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問(wèn)題，有效地利用學(xué)生出現(xiàn)的困難與錯(cuò)誤，深入分析學(xué)生的想法并診斷出具體問(wèn)題所在，進(jìn)而有針對(duì)性地開(kāi)展南疆小學(xué)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)，提高南疆?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)的整體水平．

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A Study of Calculation Mistakes Made by Primary Students in South Xinjiang——Based on Xinjiang Large-Scale Assessment

HE Wei, DONG Lian-chun, FA Xu, SHAO Wei, LANG Jia-ji

(College of Science, Minzu University of China, Beijing 100081, China)

This study conducted a fine-grained analysis of the calculation mistakes made by primary students in South Xinjiang. It found that conceptual errors constituted the majority of the errors made by students in all the six content areas, namely multiplication of the whole numbers, division of the whole numbers, addition of the decimal numbers, subtraction of decimal numbers, and mixed addition and subtraction of decimal numbers. The conceptual errors mainly consisted of misconception of operations, misunderstanding of decimal numbers, order of operations, and so on. The reasons for the conceptual errors mainly included inability of understanding sophisticated computation and algorithms, inability of understanding the place value, inability of understanding the algorithms of mixed computation.

mathematics calculation; calculation mistakes; primary school; mathematics; Southern Xinjiang

2019-10-10

北京市教育科學(xué)規(guī)劃課題——北京市中學(xué)內(nèi)地新疆班、西藏班辦學(xué)現(xiàn)狀與對(duì)策研究（AAA14005）

何偉（1963—），女，蒙古族，黑龍江齊齊哈爾人，教授，主要從事數(shù)據(jù)挖掘、少數(shù)民族數(shù)學(xué)教育研究．董連春為本文通訊作者．

G623.5

A

1004-9894（2020）01-0070-06

何偉，董連春，法旭，等．南疆小學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算錯(cuò)誤類型及分析——基于新疆大規(guī)模測(cè)評(píng)數(shù)據(jù)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020，29（1）：70-75．

[責(zé)任編校：張楠、陳雋]