熊志華，姚智勝

(1.北京交通大學(xué)綜合交通運(yùn)輸大數(shù)據(jù)應(yīng)用技術(shù)交通運(yùn)輸行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100044；2.北京市城市規(guī)劃設(shè)計研究院，北京100045)

0 引 言

若軌道交通系統(tǒng)中某車站出現(xiàn)擁擠，會因網(wǎng)絡(luò)化運(yùn)營造成網(wǎng)絡(luò)中其他車站相繼出現(xiàn)擁擠，影響城市軌道交通系統(tǒng)的正常運(yùn)營.研究軌道交通網(wǎng)絡(luò)中擁擠傳播規(guī)律，識別網(wǎng)絡(luò)中擁擠傳播范圍，能為預(yù)防和控制軌道交通網(wǎng)絡(luò)的相繼故障提供理論基礎(chǔ)，提高軌道交通系統(tǒng)的可靠性.

傳染病模型和模擬仿真被大量用于軌道交通擁擠傳播規(guī)律的研究.傳統(tǒng)染病模型中傳播速率和消散速率的量化，由于列車缺乏能力、站臺滯留人數(shù)等與客流相關(guān)的參數(shù)不易直接獲取，往往取定值，與實(shí)際有偏差[1-2].而微觀仿真由于離散化的狀態(tài)，宏觀變量變化的描述適用性比較差，如采用元胞自動機(jī)，其格子數(shù)取值大，高效的計算能力易被抵消，且各參數(shù)離散化，觀察隨參數(shù)變化的系統(tǒng)行為較難.耦合映像格子(Coupled Map Lattice，CML)模型是一種將時間域和空間域離散化，但狀態(tài)域仍保持連續(xù)的動力學(xué)系統(tǒng)，被廣泛用于研究不同網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的相繼故障行為，同時在城市道路網(wǎng)、公共交通網(wǎng)絡(luò)及軌道交通網(wǎng)絡(luò)的相繼故障研究中得到應(yīng)用[3-6].

現(xiàn)有的CML 模型在交通領(lǐng)域的應(yīng)用大多是從網(wǎng)絡(luò)物理層面分析其相繼故障，即考慮網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)間的連接關(guān)系.然而，CML 模型構(gòu)建的過程中，時空離散化可能忽略小擾動，引起系統(tǒng)行為極大的偏差，故有必要探討模型構(gòu)建過程中的參數(shù)選取，如初始值和耦合系數(shù).現(xiàn)有研究通常在(0,1)范圍內(nèi)隨機(jī)生成網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的初始狀態(tài)值[5]，耦合系數(shù)ε假定[5-7]，只獲得相繼故障規(guī)模，未確定相繼故障的具體影響范圍[4-6].本文立足于此，分析軌道交通擁擠傳播機(jī)理，結(jié)合軌道交通網(wǎng)絡(luò)特征和客流特征分析相應(yīng)的CML 模型中的參數(shù)，給出路網(wǎng)失效傳播范圍的算法流程，通過仿真實(shí)例分析參數(shù)對軌道交通系統(tǒng)擁擠傳播的影響，并界定網(wǎng)絡(luò)擁擠范圍.

1 擁擠傳播規(guī)律分析

軌道交通客流從有序穩(wěn)定狀態(tài)演化為無序狀態(tài)在網(wǎng)絡(luò)上傳播，主要表現(xiàn)為地鐵車輛滿載，后續(xù)車站乘客無法上車，大量客流滯留站臺，后續(xù)車站也產(chǎn)生客流擁擠、積壓，擁擠狀態(tài)在站間傳播，其中擁擠傳播根本原因是客流連續(xù)和列車間隔發(fā)車造成的[7].假設(shè)xk是節(jié)點(diǎn)k的交通狀態(tài)，xk-1是上游節(jié)點(diǎn)k-1 的交通狀態(tài)，站點(diǎn)k進(jìn)站客流Ik和換乘客流Hk決定了車站候車客流量Pk；而上游斷面客流、車輛的運(yùn)輸能力、發(fā)車間隔、本站出站客流Ok、換乘客流Hk決定了車輛的剩余載客能力Qk，上游斷面客流是由上游的交通狀態(tài)xk-1決定，車輛的運(yùn)輸能力、發(fā)車間隔一般都是確定的.Uk=f(Ik,Ok,Hk)表示是當(dāng)前節(jié)點(diǎn)進(jìn)出站客流、換乘客流等函數(shù)關(guān)系.節(jié)點(diǎn)k的交通狀態(tài)由上游節(jié)點(diǎn)的交通狀態(tài)及當(dāng)前節(jié)點(diǎn)自身特性決定，有xk=Z(Uk,xk-1),k=1,2,…,n，n表示節(jié)點(diǎn)數(shù)，假設(shè)第k個節(jié)點(diǎn)擁擠的臨界狀態(tài)是，根據(jù)泰勒展開可以得到

令：

式(1)可以變換為

上游站點(diǎn)交通狀態(tài)與下游站點(diǎn)自身特性相互獨(dú)立，可近似認(rèn)為

式(3)表明當(dāng)前站點(diǎn)交通狀態(tài)的波動與上游節(jié)點(diǎn)交通狀態(tài)波動及本站點(diǎn)自身客流波動的關(guān)系.擁擠傳播在空間維度表示上下游關(guān)聯(lián)，站點(diǎn)之間的影響是累積的，可以推算.其中，Var 表示站點(diǎn)交通狀態(tài)值的方差，i代表與節(jié)點(diǎn)k-1 有關(guān)聯(lián)的節(jié)點(diǎn)集合，m表示第i個節(jié)點(diǎn)自身的影響因素集合，r表示站點(diǎn)自身第r個影響因素.本站自身客流波動因素包括本站進(jìn)站客流，上游列車到達(dá)本站的下車客流，線路間換乘客流.

通過上述擁擠傳播機(jī)理分析可知：軌道交通擁擠傳播受網(wǎng)絡(luò)物理結(jié)構(gòu)，進(jìn)出站、換乘客流和初始交通狀態(tài)影響；擁擠傳播也隨時間不斷推移，函數(shù)Z(Uk,xk-1)要考慮時間維度.因此，本文在傳統(tǒng)CML模型中，融合隨時空變化的節(jié)點(diǎn)初始狀態(tài)、耦合系數(shù)，將網(wǎng)絡(luò)的物理結(jié)構(gòu)、客流條件及初始交通狀態(tài)融合進(jìn)模型中.

2 基于擁擠傳播機(jī)理的模型構(gòu)建

CML 是一種半宏觀描述時空系統(tǒng)的模型，節(jié)點(diǎn)初始狀態(tài)xi(t)，即t時刻節(jié)點(diǎn)i的狀態(tài)函數(shù)，是隨時間變化的值，節(jié)點(diǎn)間的權(quán)重為

式中：ωij為節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j之間的權(quán)重；k(i)為節(jié)點(diǎn)i的度，表示節(jié)點(diǎn)i有幾條邊相連；δij為軌道交通網(wǎng)絡(luò)的連接系數(shù)，若節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j相連δij=1，否則δij=0；N為節(jié)點(diǎn)數(shù).

映射函數(shù)選擇Logistic映射方程，即

軌道交通客流擁擠傳播模型為

式中：ε是耦合系數(shù)，表示各節(jié)點(diǎn)之間的相關(guān)系數(shù)，值越大，節(jié)點(diǎn)間關(guān)聯(lián)越緊密，ε∈(0,1).

由于軌道交通擁擠傳播受網(wǎng)絡(luò)的物理結(jié)構(gòu)、客流條件及初始交通狀態(tài)影響，站點(diǎn)的交通狀態(tài)、客流條件是時變的，而CML 模型對初值敏感依賴，很小的擾動可能對狀態(tài)的變化有很大的影響.t時刻格子點(diǎn)i受其鄰近格點(diǎn)的作用，其狀態(tài)由xi(t)變?yōu)閤i(t+1)，格點(diǎn)i由0時刻初始狀態(tài)x0(i)演變的序列為{xi(0),xi(1),xi(2),…,xi(t),xi(t+1),…} .隨著連續(xù)迭代次數(shù)的不斷增加，節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的誤差會隨之急劇增大.以往采取隨機(jī)數(shù)作為初值具有不確定性，本文在傳統(tǒng)CML 模型基礎(chǔ)上，融合隨時空變化的節(jié)點(diǎn)初始狀態(tài)、耦合系數(shù)，減少誤差的傳播.

取列車的滿載率作為節(jié)點(diǎn)的初始值，即Vi(t)/Ci(t)，其中，Vi(t)為節(jié)點(diǎn)i上游列車在t時刻的斷面客流量，Ci(t)表示節(jié)點(diǎn)i上游列車在t時刻的運(yùn)能，一般某一線路為定值CL，不同線路L取值不一定相等.一旦滿載率取值接近1，說明可能開始出現(xiàn)擁擠.

耦合系數(shù)ε以往采用定值，整個網(wǎng)絡(luò)取值一樣，忽略了節(jié)點(diǎn)間的差異性，為掌握節(jié)點(diǎn)耦合關(guān)系，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)擬合，獲取路網(wǎng)的耦合強(qiáng)度系數(shù)εi為

耦合系數(shù)可能會超過1，通過0-1 變換使得耦合系數(shù)在(0,1)之間.根據(jù)客流數(shù)據(jù)，擬合各個節(jié)點(diǎn)之間的耦合系數(shù)，針對不同擾動發(fā)生時刻，耦合系數(shù)也是時變的.每個節(jié)點(diǎn)與其他節(jié)點(diǎn)之間的耦合系數(shù)不僅與網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相關(guān)，而且與相連線路滿載率相關(guān).

3 CML模型的量化

以某軌道交通網(wǎng)絡(luò)為例，如圖1所示，選取4條線路中60 個車站的實(shí)測數(shù)據(jù)，統(tǒng)計某星期一每隔30 min 的客流量數(shù)據(jù)，以此為基礎(chǔ)量化模型中參數(shù).

將各條線路的滿載率與上游車站屬性相關(guān)聯(lián)，作為網(wǎng)絡(luò)中初始值，車站的滿載率是隨時間變化的.以30 min為時段，將02：00-24：00按順序劃分為44組時間序列，作為Y軸時間間隔坐標(biāo).圖2顯示，前往每一個車站的列車滿載率有較大差異，高峰期07：00-09：00(序號11～14)和17：00-19：00(序號31～34)期間，滿載率較大，與采用正態(tài)分布隨機(jī)取值相比，能更好地結(jié)合網(wǎng)絡(luò)客流特征，初始值更可靠，更符合實(shí)際.

圖1 某軌道交通網(wǎng)絡(luò)示意圖Fig.1 An example of rail transit network

圖2 車站間線路滿載率變化圖Fig.2 Ratio of passenger flow and capacity

分析軌道交通網(wǎng)絡(luò)擁擠傳播規(guī)律的算法流程如下：

(1)將實(shí)際的軌道交通網(wǎng)絡(luò)車站映射為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)，將線路映射為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的邊，構(gòu)建軌道交通網(wǎng)絡(luò)圖.

(2)生成連接矩陣A=(δij)N×N，并計算節(jié)點(diǎn)i的度k(i),i=1,…,N，N為節(jié)點(diǎn)數(shù).

(3)所有節(jié)點(diǎn)一開始都處于正常狀態(tài)，測度整個軌道網(wǎng)絡(luò)中的初始滿載率作為各節(jié)點(diǎn)的初始值.

(4)當(dāng)某一時刻T，某節(jié)點(diǎn)b出現(xiàn)故障或失效，此時節(jié)點(diǎn)b的狀態(tài)變量加上一個擾動，在此后所有時刻，節(jié)點(diǎn)b的狀態(tài)函數(shù)設(shè)為0，標(biāo)記為擁擠節(jié)點(diǎn).

(5)對每個節(jié)點(diǎn)，按照耦合映像格子更新其狀態(tài)，如果xi(t)≥1，則節(jié)點(diǎn)i受到節(jié)點(diǎn)b影響變?yōu)閾頂D狀態(tài)，標(biāo)記節(jié)點(diǎn)為故障點(diǎn)，并繼續(xù)更新其余節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)值.

(6)若網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)均滿足xi(T)＜1，則網(wǎng)絡(luò)擁擠的影響范圍終止.

4 實(shí)例驗(yàn)證

根據(jù)上述網(wǎng)絡(luò)和算法，設(shè)定3 種情景.情景1假設(shè)初始值未知，采用蒙特卡洛法模擬3 000 次，取平均值觀察初值變化對結(jié)果的影響，初始值和耦合系數(shù)都假定在(0,1)范圍內(nèi)取值；情景2假設(shè)初值已知，探討不同時段和不同的耦合系數(shù)擁擠傳播的范圍；情景3根據(jù)實(shí)測的客流量量化的初始值和利用歷史數(shù)據(jù)擬合的耦合系數(shù)，分析在真實(shí)網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行狀態(tài)下，擁擠傳播的規(guī)律.

情景1 的初始值是隨機(jī)生成(0,1)之間的正態(tài)分布函數(shù)值，由于初始值是隨機(jī)變化的，假設(shè)節(jié)點(diǎn)17 發(fā)生擾動，耦合系數(shù)為0.5，每次仿真后在上述網(wǎng)絡(luò)中傳播的范圍是隨機(jī)變化的，如圖3(a)所示，圖中的直方圖是頻數(shù)，曲線是頻數(shù)正態(tài)分布擬合曲線.由于初始值的變化，導(dǎo)致每次計算的擁擠車站數(shù)差異很大，有時擁擠車站數(shù)為30，有時擁擠車站數(shù)為2，而不同時刻擁擠車站數(shù)的差異又會影響下一時刻傳播的范圍.因此，初始值的選取對研究軌道交通擁擠傳播范圍影響很大.圖3(b)是仿真多次后取均值描述不同耦合系數(shù)下?lián)頂D傳播范圍.從圖中可以看出，耦合系數(shù)較小時，擁擠幾乎不傳播，經(jīng)過很短的時間，系統(tǒng)就恢復(fù)穩(wěn)定狀態(tài)；而耦合系數(shù)較大時，影響的車站數(shù)較多，需要經(jīng)過較長時間系統(tǒng)才能達(dá)到一個穩(wěn)定狀態(tài).這與傳染病模型描述擁擠傳播類似，只能估計規(guī)模，無法給出具體哪些車站受到影響.

圖3 情景1 模擬結(jié)果Fig.3 Simulation results of scene 1

圖4 情景2 模擬結(jié)果Fig.4 Simulation results of scene 2

情景2 通過觀測軌道交通系統(tǒng)運(yùn)營狀態(tài)，獲取車站上游列車滿載率來描述相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的初始值，滿載率是時變的，假設(shè)因節(jié)點(diǎn)17 發(fā)生擾動引發(fā)軌道交通系統(tǒng)相繼故障隨時間變化情況如圖4(a)所示，Y軸表示時間序號，以30 min為時段，將02：00-24：00按順序劃分為44組時間序號.不同時刻由于初始值不同，影響范圍差異較大.08：00-08：30(序號13)這一時段，其影響范圍顯著高于其他時刻，隨著仿真時刻的推進(jìn)，其影響范圍不斷擴(kuò)大，直至穩(wěn)定.晚高峰17：00-19：00 (序號31～34)影響范圍顯著高于相鄰其他時段，在較短的仿真間隔內(nèi)快速達(dá)到穩(wěn)定.不同耦合系數(shù)下，在高峰時段(序號13)對網(wǎng)絡(luò)擁擠傳播的影響如圖4(b)所示，耦合系數(shù)越大，擁擠傳播的范圍越大，傳播的越快，與情景1類似，兩者差別在于情景2給定了初始值，不再隨機(jī)變化，反映的是更接近實(shí)際的狀態(tài)而不是一種平均狀態(tài).

情景3 以實(shí)際的運(yùn)營數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，根據(jù)式(5)和圖2可知，時空變化的滿載率和耦合系數(shù).以時間08：00-08：30(序號13)這一時段為例，不同站點(diǎn)滿載率和站點(diǎn)間耦合系數(shù)不同，但取值確定.此時節(jié)點(diǎn)17發(fā)生擾動，擁擠的傳播規(guī)律如圖5所示.粗黑線覆蓋的范圍為節(jié)點(diǎn)17 在08：00-08：30 發(fā)生擾動時，由于網(wǎng)絡(luò)的耦合作用傳播至相鄰車站，最終達(dá)到穩(wěn)定時，網(wǎng)絡(luò)受影響的范圍.從圖中可以看出，擁擠在網(wǎng)絡(luò)中并不是均勻傳播的，不同線路上，節(jié)點(diǎn)17發(fā)生擾動時產(chǎn)生的擁擠在站點(diǎn)間傳播范圍并不一致，這是由于各站點(diǎn)初始值、耦合系數(shù)的共同作用影響并不均勻，與客流分布有很大關(guān)系，體現(xiàn)了量化模型初始值和耦合系數(shù)的必要性.

圖5 情景3 擁擠傳播范圍示意圖Fig.5 Range of congestion propagation under scene 3

具體傳播過程如圖6(a)所示，隨著仿真時間的推移，在某一時段，如08：00-08：30(序號13)，擁擠車站先增加，然后逐步穩(wěn)定；另一方面，不同初始時刻，擁擠傳播范圍變化也不相同，高峰期擁擠傳播顯著，而平峰期，擁擠傳播不顯著.此時考慮的是擁擠發(fā)生時，軌道交通網(wǎng)絡(luò)的初始狀態(tài)及耦合系數(shù)的時空差異性.

不同節(jié)點(diǎn)度k(i)的節(jié)點(diǎn)i發(fā)生擾動時，傳播的范圍會有所不同，如圖6所示.17 號節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)度k(17)=4，43號節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)度k(43)=2.不同時刻17號節(jié)點(diǎn)發(fā)生擾動時，擁擠傳播范圍如圖6(a)所示；43 號節(jié)點(diǎn)發(fā)生擾動，其傳播范圍如圖6(b)所示.由于不同節(jié)點(diǎn)的初始值和耦合系數(shù)都不一樣，并不具備可比性，在早高峰期，不同節(jié)點(diǎn)度發(fā)生故障傳播范圍差距不大，而晚高峰期節(jié)點(diǎn)度2的故障傳播范圍顯著下降，這不僅與節(jié)點(diǎn)度相關(guān)，也與網(wǎng)絡(luò)中的客流有關(guān)系.對于17號節(jié)點(diǎn)，其擁擠傳播范圍隨著時間變化的趨勢與情景2(圖4(a))相比有顯著的不同，主要體現(xiàn)在任意時刻節(jié)點(diǎn)都具有確定的初始值和耦合系數(shù)，在早晚高峰都具有顯著的傳播特性；而情景2中，晚高峰的傳播性明顯被低估了.情景3中耦合系數(shù)通過歷史值擬合而成，表明軌道交通系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)間的耦合作用，不僅僅受網(wǎng)絡(luò)的物理結(jié)構(gòu)影響，也受車站間客流相互作用的影響.

圖6 不同節(jié)點(diǎn)度不同時刻的擁擠傳播范圍Fig.6 Range of congestion propagation with different

通過上述3 種情景分析可以看出：傳統(tǒng)CML模型，由于不考慮初始值影響，與以往的SIR 模型類似，考慮網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，一旦發(fā)生相繼故障，估計的是網(wǎng)絡(luò)的一種平均狀態(tài)；以滿載率作為初始值的CML 模型，能較好地減少模型自身的擾動，但由于耦合系數(shù)采用定值，對站點(diǎn)間耦合強(qiáng)度估計不準(zhǔn)確，弱化了不同站點(diǎn)間的差異性；時空變化的初始值和耦合系數(shù)確定的CML 模型能較好地反映實(shí)際網(wǎng)絡(luò)狀況，確定的相繼故障范圍更符合實(shí)際，并且能具體給出影響的車站位置，有利于制定應(yīng)急預(yù)案.

5 結(jié) 論

軌道交通系統(tǒng)某一車站出現(xiàn)擁堵，因網(wǎng)絡(luò)效應(yīng)會引發(fā)相鄰車站的相繼擁堵，本文通過CML 模型研究這一網(wǎng)絡(luò)相繼故障現(xiàn)象.通過客流量化CML 模型中的初始值和耦合系數(shù)，與以往模型相比，減少了模型自身的擾動，更接近實(shí)際.同時考慮了初始狀態(tài)、耦合系數(shù)和物理結(jié)構(gòu)的CML 模型，可以評估擁擠傳播影響范圍，有助于及時確定應(yīng)急管理范圍，提前做好應(yīng)急預(yù)案.由于客流具有隨機(jī)性，關(guān)于客流影響的穩(wěn)定性需要進(jìn)一步研究.