李雪梅，曹慧卓

(北京交通大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京100044)

0 引 言

高鐵客票定價(jià)市場化改革備受社會(huì)關(guān)注.2015年12月，國家發(fā)展改革委員會(huì)下發(fā)《改革完善高鐵動(dòng)車組旅客票價(jià)政策的通知》，明確中國鐵路總公司(下稱“鐵總”)對(duì)高鐵的自主定價(jià)權(quán).2017年4月，鐵總上調(diào)東南沿海部分高鐵車次的票價(jià)，2018年5月上調(diào)部分線路的高等級(jí)席別票價(jià)，同年7月在部分線路實(shí)行最大65%折扣的浮動(dòng)票價(jià).票價(jià)總體有升有降，漲價(jià)有利于增加企業(yè)利潤，降價(jià)有利于增加旅客福利.可見，高鐵客票定價(jià)要在增加企業(yè)利潤和保障旅客福利的多目標(biāo)中尋優(yōu).

高鐵客票多目標(biāo)定價(jià)研究主要有兩種思路.一種是在多個(gè)單目標(biāo)定價(jià)方案中擇選，單目標(biāo)定價(jià)方案是指企業(yè)根據(jù)唯一目標(biāo)制定票價(jià)決策.如認(rèn)為鐵路峰值期宜根據(jù)社會(huì)福利目標(biāo)定價(jià)，非峰值期宜根據(jù)利潤目標(biāo)定價(jià)[1]；或根據(jù)定價(jià)部門的需求對(duì)比不同目標(biāo)的定價(jià)方案，如以收益、利潤、出行量和社會(huì)福利作為定價(jià)目標(biāo)[2].這種思路不涉及多目標(biāo)間的權(quán)衡取舍，而是對(duì)比單一目標(biāo)定價(jià)結(jié)果制定最優(yōu)方案.另一種思路是多目標(biāo)定價(jià)方案，即企業(yè)同時(shí)考慮多個(gè)目標(biāo)制定票價(jià)決策，常見的有加權(quán)和方法和Epsilon 約束法.加權(quán)和方法是將每個(gè)目標(biāo)賦權(quán)后的加和作為目標(biāo)函數(shù)，如在航空與高鐵競爭情形下，當(dāng)高鐵以利潤和社會(huì)福利加權(quán)和為定價(jià)目標(biāo)時(shí)，權(quán)重選取對(duì)票價(jià)制定的影響[3-4].已有多目標(biāo)定價(jià)研究大多采用加權(quán)和方法，結(jié)果受制于主觀的權(quán)重設(shè)置，且受限于目標(biāo)問題的凸性.Epsilon 約束法是在某一目標(biāo)的約束中考慮其他目標(biāo)，保留目標(biāo)間的對(duì)抗性，多目標(biāo)的取舍相對(duì)客觀，且對(duì)目標(biāo)函數(shù)沒有限制.Epsilon約束法形成后[5]，多用于交通規(guī)劃領(lǐng)域，在高鐵定價(jià)應(yīng)用方面較少.本文選擇Epsilon 約束法更適合求解高鐵客票多目標(biāo)定價(jià)問題.

本文研究問題是以企業(yè)利潤和旅客福利為目標(biāo)的高鐵客票定價(jià)，在客運(yùn)市場中考慮旅客差異和多種運(yùn)輸方式競爭，構(gòu)建高鐵客票多目標(biāo)定價(jià)模型.雙層規(guī)劃模型刻畫利益主體間的博弈關(guān)系，Epsilon 約束法建立目標(biāo)間對(duì)抗關(guān)系，根據(jù)分層序列思想分解多目標(biāo)問題，設(shè)計(jì)松弛算法得到納什均衡解.根據(jù)解對(duì)應(yīng)的目標(biāo)值繪制近似的帕累托邊界，以此確定多目標(biāo)問題的最優(yōu)決策.創(chuàng)新在于引入Epsilon約束法求解高鐵客票多目標(biāo)定價(jià)問題.

1 問題描述

高鐵客票定價(jià)的直接利益主體是高鐵運(yùn)營方和旅客，雙方根據(jù)決策目標(biāo)進(jìn)行博弈.高鐵定價(jià)目標(biāo)有運(yùn)營方利潤最大化和出行旅客福利最大化，決策結(jié)果是高鐵票價(jià).旅客以出行效用最大化為決策目標(biāo)，決策結(jié)果是每種方式出行的人數(shù).從客運(yùn)市場的供給方看，多種運(yùn)輸方式存在競爭博弈，其他運(yùn)輸方式運(yùn)營方是高鐵客票定價(jià)的間接利益主體；從需求方看，旅客具有異質(zhì)性.各利益主體經(jīng)過動(dòng)態(tài)博弈后形成穩(wěn)定的納什均衡解[6].由于多目標(biāo)定價(jià)存在N個(gè)納什均衡解，最優(yōu)決策是在解集中借助帕累托邊界(不能在不降低其他目標(biāo)值的前提下增加某一目標(biāo)值的解的集合)找到最優(yōu)解，這也是本文研究難點(diǎn)，求解思路詳見2.5 節(jié).本文邏輯框架如圖1所示.

圖1 邏輯框架Fig.1 Logical framework

多種運(yùn)輸方式包括高鐵、航空、高速客車及非公共交通(指私人小汽車或9 座以下乘用車)，前3種公共交通記作m=1,2,3，非公共交通記作m′.由于票價(jià)和時(shí)間是影響旅客出行因素中可量化且最主要的影響因素，大多研究將票價(jià)和時(shí)間作為區(qū)別異質(zhì)性旅客的依據(jù)[7].據(jù)此，設(shè)計(jì)兩種理想類型的旅客：時(shí)間敏感型和價(jià)格敏感型，分別記作k=b 和k=l，旅客特征由價(jià)格敏感度ξp,k和時(shí)間敏感度ξt,k體現(xiàn).旅行時(shí)間對(duì)時(shí)間敏感型旅客的出行效用影響較大，表現(xiàn)為時(shí)間敏感度較高而價(jià)格敏感度較低，如以商務(wù)、通勤為目的的旅客；票價(jià)對(duì)價(jià)格敏感型旅客的出行效用影響較大，表現(xiàn)為價(jià)格敏感度較高而時(shí)間敏感度較低，如以旅行、休閑為目的的旅客.高鐵運(yùn)營部門可以通過購票時(shí)間對(duì)不同類型的旅客進(jìn)行甄別.

2 模型構(gòu)建

2.1 模型假設(shè)

(1)假設(shè)單位人次運(yùn)營成本c(m)與旅客類型無關(guān)，僅與出行方式有關(guān).

(2)假設(shè)旅客出行效用由確定效用和隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)決定，互相獨(dú)立并符合Gumbel分布.

2.2 旅客出行效用函數(shù)

公共交通方式的確定效用由票價(jià)、旅行時(shí)間和擁擠度構(gòu)成.非公共交通方式的效用值為常量，在效用函數(shù)中添加常數(shù)項(xiàng)χk，=χk為固定常數(shù)，對(duì)于公共交通方式，χk=0.定義為

擁擠度可以表示為負(fù)載程度(出行量占容量B(m)的比例)的增函數(shù)，即

2.3 下層模型：旅客出行決策

雙層規(guī)劃模型刻畫客運(yùn)運(yùn)營方與旅客之間的供需博弈，也可加入多種運(yùn)輸方式競爭博弈，上下層模型通過變量票價(jià)和出行量建立聯(lián)動(dòng).下層模型確定旅客出行決策，公共出行分擔(dān)率和非公共出行分擔(dān)率用Logit模型表示為

式中：θ為換算系數(shù).

旅客出行量由分擔(dān)率得到，下層模型約束為流量不得超過容量，下層模型為

式中：α表示公共交通出行量占客運(yùn)總需求Q的比例；β表示時(shí)間敏感型旅客占公共出行量的比例.

2.4 上層模型：票價(jià)決策

上層模型分別考慮運(yùn)輸企業(yè)各自的利潤和整體旅客福利目標(biāo)，確定票價(jià)決策.利潤目標(biāo)記為P，等于運(yùn)營收入扣除運(yùn)營成本，表示為

由于擾動(dòng)項(xiàng)假設(shè)和出行的離散選擇特征，個(gè)體旅客福利函數(shù)可表示為所有可選出行方式期望效用和的對(duì)數(shù)除以ξp,k[8].個(gè)體旅客福利與相應(yīng)旅客人數(shù)相乘，即為整體旅客福利函數(shù)，記為PW，表示為

約束條件為票價(jià)不低于每人次運(yùn)營成本，即

2.5 求解過程

多目標(biāo)定價(jià)問題可根據(jù)分層序列思想進(jìn)行分解[9].具體操作如表1所示：首先，求解單目標(biāo)定價(jià)問題，即滿足企業(yè)利潤最大化(S1)或旅客福利最大化(S2)時(shí)的企業(yè)利潤最大值π和旅客福利最大值σ；繼而，求解多目標(biāo)定價(jià)的最佳結(jié)果，將π或σ作為另一目標(biāo)的約束值(Epsilon)引入模型，S3以企業(yè)利潤最大為目標(biāo)函數(shù)并保證旅客福利水平不低于σ，S4 以旅客福利最大為目標(biāo)函數(shù)并保障企業(yè)利潤水平不低于π，可得目標(biāo)值上限；最后，求解多目標(biāo)定價(jià)的最差結(jié)果，S5是將S3目標(biāo)函數(shù)換乘企業(yè)利潤最小，S6是將S4目標(biāo)函數(shù)換成旅客福利最小化，可得目標(biāo)值下限.S1，S4 和S6 優(yōu)先滿足企業(yè)利潤，S2，S3和S5優(yōu)先滿足旅客福利.在目標(biāo)值變動(dòng)范圍內(nèi)均等選取Epsilon 值，作為π*和σ*替換S3和S4中的π和σ，將解所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)目標(biāo)值繪制于坐標(biāo)系中，得到近似的帕累托邊界，以此確定最優(yōu)決策.

表1 多目標(biāo)定價(jià)的分解問題Table1 Decomposition problem of multi-objective pricing

上述6個(gè)問題均采用松弛化算法尋求最優(yōu)解，步驟如下：

Step 1初始化.

設(shè)置迭代次數(shù)t=0，將初始值，代入模型中.

Step 2求解下層模型.

當(dāng)解滿足容量約束，直接進(jìn)入Step 3；否則采用權(quán)重方法，m∈{1,2,3}，得到符合容量約束的分流結(jié)果.

Step 3求解上層模型.

(1)初始化.設(shè)置迭代次數(shù)n=0，帶入初始值，

(2)求解均衡票價(jià).高鐵的上層模型根據(jù)表1求解，航空和高速客車的上層模型分別根據(jù)式(7)和式(9)求解，結(jié)果記為.

Step 4更新結(jié)果.

3 算 例

長途旅行中，民航是高鐵的主要競爭方式，短途旅行中，高速客車是高鐵的主要競爭方式.為區(qū)別不同運(yùn)距情境下的主要競爭方式，長途以北京—上海(1 318 km)為例，短途以南京—上海(295 km)為例.成本數(shù)據(jù)參考文獻(xiàn)(高鐵0.35元/(人?km)[10]，高速客車0.26元/(人?km)[11]，航空0.47元/(人?km)[10])設(shè)置運(yùn)營成本.票價(jià)和客流量數(shù)據(jù)取自2017年1月4日官方訂票網(wǎng)站(12306 和攜程)，將航空票價(jià)的最低票價(jià)設(shè)置為價(jià)格敏感型旅客票價(jià)，最高票價(jià)為時(shí)間敏感型旅客票價(jià)，日均容量由頻次和定員數(shù)相乘獲得.客運(yùn)總需求量為公共交通出行人數(shù)總和除以α.α和β為貼近實(shí)際的估計(jì)值，其他參數(shù)設(shè)置同文獻(xiàn)[6]，如表2所示.最大迭代次數(shù)t=15.

3.1 優(yōu)化結(jié)果分析

表3中3～6列展示了高鐵票價(jià)、客流變動(dòng)百分比，7～8列展示了高鐵利潤和旅客福利表現(xiàn).首先，從目標(biāo)值表現(xiàn)來看，S3 和S4 得到了帕累托解，且量價(jià)變動(dòng)幅度較小；其次，從旅客類型來看，時(shí)間敏感型票價(jià)比價(jià)格敏感型票價(jià)變動(dòng)幅度大，尤其在優(yōu)先滿足利潤時(shí)表現(xiàn)更明顯，優(yōu)先滿足旅客福利時(shí)兩者差別不大，均接近成本票價(jià)；最后，從運(yùn)距情境來看，短途票價(jià)漲幅大于長途票價(jià)，短途漲價(jià)對(duì)時(shí)間敏感型客流影響較小，對(duì)價(jià)格敏感型客流影響較大，長途漲價(jià)效果反之.

表4中2～5列和6～9列分別展示了航空和高速客車的票價(jià)、客流變動(dòng)，10～11 列展示了企業(yè)利潤表現(xiàn).在競爭影響下，空鐵票價(jià)差距縮小，長途航空票價(jià)降低，時(shí)間敏感型機(jī)票降幅大于價(jià)格敏感型機(jī)票，兩者差距縮??；在高鐵漲價(jià)客流降低時(shí)，航空客流有所增加，且時(shí)間敏感型客流增幅較多；當(dāng)高鐵以利潤為優(yōu)先滿足目標(biāo)時(shí)，此時(shí)航空利潤較高，S6達(dá)到最大值.受高鐵票價(jià)影響，短途客車票價(jià)上漲，時(shí)間敏感型票價(jià)漲幅高于價(jià)格敏感型票價(jià)；當(dāng)高鐵漲價(jià)客流降低時(shí)，客車客流增加，且價(jià)格敏感型客流增幅較多；當(dāng)高鐵以利潤為優(yōu)先滿足目標(biāo)時(shí)，此時(shí)高速客車?yán)麧欇^高，S6達(dá)到最大值.

表2 模型初值及參數(shù)取值Table2 Initial value and parameter value

表3 高鐵優(yōu)化結(jié)果Table3 Optimization results of HSR

表4 航空、高速客車優(yōu)化結(jié)果Table4 Optimization results of airline and high-way bus

3.2 目標(biāo)取舍的最優(yōu)決策

相比單目標(biāo)定價(jià)，3.1 節(jié)的優(yōu)化結(jié)果顯示多目標(biāo)定價(jià)實(shí)現(xiàn)了帕累托改進(jìn).在多目標(biāo)定價(jià)方法下，不同目標(biāo)值對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解有多個(gè)，需要進(jìn)一步借助帕累托邊界確定最優(yōu)決策.不同運(yùn)距情境下的最優(yōu)決策點(diǎn)不同，但決策都是根據(jù)帕累托邊界，下文僅以長途OD為例進(jìn)行說明.

在S3～S6 得到的目標(biāo)值范圍內(nèi)，將10 等分的值作為Epsilon 值，分別代入S3 和S4 求解.圖2坐標(biāo)軸為目標(biāo)值變動(dòng)百分比，圖中點(diǎn)為多個(gè)均衡解，連接線為近似的帕累托邊界，按斜率變化將帕累托邊界劃分為4 個(gè)區(qū)域.區(qū)域A，利潤從0 增加到50%時(shí)，旅客福利下降了37%；曲線在區(qū)域B變緩，利潤進(jìn)一步增加30%時(shí)，旅客福利僅多降6%；在區(qū)域C 下降最快，利潤增加10%時(shí)，旅客福利下降25%；曲線在區(qū)域D下降平緩，利潤新增10%時(shí)，旅客福利降低5%.當(dāng)高鐵更看重利潤回報(bào)時(shí)，降低10%利潤是最優(yōu)決策，此時(shí)利潤保留較多而福利損失較少.當(dāng)高鐵更看重旅客福利時(shí)，降低50%利潤是最優(yōu)決策，此時(shí)福利保留較多而利潤損失較少.當(dāng)決策者無偏好時(shí)，20%降低利潤是最優(yōu)決策.帕累托邊界提供了客觀的最優(yōu)決策點(diǎn)，結(jié)合決策者的主觀偏好，確定最終的最優(yōu)決策點(diǎn).

圖2 帕累托邊界Fig.2 Pareto frontier

4 結(jié) 論

以企業(yè)利潤和旅客福利為高鐵客票定價(jià)目標(biāo)，考慮旅客差異和不同運(yùn)距情境下的多種運(yùn)輸方式競爭，研究了高鐵客票多目標(biāo)定價(jià)問題.結(jié)合Epsilon 約束法構(gòu)建了雙層規(guī)劃模型，根據(jù)分層序列思想分解多目標(biāo)問題，設(shè)計(jì)松弛化算法求解.通過算例演示了多目標(biāo)定價(jià)的最優(yōu)決策，為高鐵客票定價(jià)改革提供新思路.主要結(jié)論為：提出的多目標(biāo)定價(jià)方法能夠?qū)崿F(xiàn)帕累托最優(yōu)，對(duì)出行量、票價(jià)變動(dòng)影響較小，有利于價(jià)改和市場穩(wěn)定；就差別票價(jià)和運(yùn)距情境而言，時(shí)間敏感型客票和短途客票有較高的漲價(jià)空間；市場競爭影響定價(jià)實(shí)施效果，高鐵定價(jià)需關(guān)注競爭者策略；最優(yōu)決策由帕累托邊界和決策者的主觀偏好確定.本文局限在于優(yōu)化結(jié)果與特征參數(shù)等因素相關(guān)，后續(xù)研究可借鑒實(shí)證研究的參數(shù)取值，豐富旅客類型，在高鐵網(wǎng)絡(luò)中設(shè)計(jì)復(fù)雜的差別票價(jià).