肖 逍，張海豐

(佳木斯大學理學院，黑龍江 佳木斯 154007)

0 引 言

在量子力學的基礎性研究中，升降算符被廣泛應用于角動量的研究。例如：呼和滿都拉等分析了一維諧振子模型中升降算符的性質及電子自旋角動量的升降算符[1～2]；田杏霞等使用升降算符給出了角動量算符的矩陣表示并進行表象變換[3]；梁霄使用代數(shù)解法給出了量子力學中的若干升降算符[4]；王百川等從不同角度分析了升降算符的性質和作用[5]；王東方等使用升降算符對電子自旋和角動量耦合進行了分析[6]；尋大毛等給出了角動量量子數(shù)1的升降算符并生成了球諧函數(shù)[7]。本文就是將升降算符應用于Lz表象的具體求解之中，對物理量的本征值和平均值進行求解。

1 升降算符及角動量代數(shù)

根據(jù)文獻[1]，升算符定義為

(1)

降算符為

(2)

于是有

(3)

(4)

(5)

于是

(6)

(7)

可以得到對易關系

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

將降算符和升算符作用于|lm〉給出

(14)

(15)

m=-l,-l+1,…,0,…l-1,l

(16)

于是

(17)

(18)

|lm〉是正交歸一的，即

〈l1m1|l2m2〉=δl1l2δm1m2

(19)

其完備性關系為

(20)

2 升降算符在Lz表象求解中的應用

(21)

可以看到

(22)

?2[l(l+1)-m2-m]=

?2[l(l+1)-m(m+1)]

(23)

又因為

(24)

所以

?2[l(l+1)-m2+m]=

?2[l(l+1)-m(m-1)]

(25)

由對易關系

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

?2[l(l+1)-m2]

(41)

(42)

(43)

3 結 論