王國欣 郭 偉 邵偉龍 任霽筇 劉鳳祺 聞蘇平＊

（1.西安交通大學(xué)能源與動力工程學(xué)院；2.沈陽鼓風(fēng)機(jī)集團(tuán)股份有限公司）

0 引言

膨脹機(jī)作為有機(jī)朗肯循環(huán)等工業(yè)余熱回收系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)熱能轉(zhuǎn)換為機(jī)械能的核心動力部件，國內(nèi)、外研究人員對此進(jìn)行了長期深入的研究。Moroz[1]等人對以R245fa為工質(zhì)的250kW功率有機(jī)朗肯循環(huán)系統(tǒng)膨脹機(jī)在150℃以下低溫工況下的詳細(xì)設(shè)計(jì)進(jìn)行了討論，重點(diǎn)介紹了膨脹機(jī)流道、氣動和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的細(xì)節(jié)并強(qiáng)調(diào)了級數(shù)、泄漏和葉片扭曲等關(guān)鍵參數(shù)對膨脹機(jī)效率的影響。Jubori[2]等在小型單級亞音速軸流膨脹機(jī)中，在應(yīng)用6種工質(zhì)條件下，采用多目標(biāo)遺傳算法對軸流膨脹機(jī)葉片數(shù)、葉片前緣角、后緣角和葉片安裝角等8個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，使軸流膨脹機(jī)與基準(zhǔn)設(shè)計(jì)工況相比，最大絕熱效率提高了14.08%，突顯三維優(yōu)化技術(shù)在提高軸流膨脹機(jī)性能方面的技術(shù)潛力。陳朝輝[3]等人基于有限元法，對渦輪機(jī)葉輪及葉片進(jìn)行了模態(tài)分析，研究獲得了葉片旋轉(zhuǎn)的動力特性并提出葉片動頻不能小于3.5倍基頻的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。

軸流膨脹機(jī)的工程優(yōu)化設(shè)計(jì)流程如圖1，首先建立軸流膨脹機(jī)氣動數(shù)值計(jì)算模型，進(jìn)行氣動數(shù)值分析，根據(jù)軸流膨脹機(jī)葉柵的氣動性能進(jìn)行單目標(biāo)或多目標(biāo)優(yōu)化，再進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，對動、靜葉片的強(qiáng)度和動力特性進(jìn)行優(yōu)化，由于氣動與結(jié)構(gòu)性能存在一定的制約關(guān)系，這種優(yōu)化策略可能無法獲得合理的結(jié)構(gòu)方案，而需要重新對動、靜葉柵進(jìn)行氣動設(shè)計(jì)，就大大增加了優(yōu)化設(shè)計(jì)的時(shí)間成本。本文利用某5MW有機(jī)朗肯循環(huán)膨脹機(jī)建立了一個(gè)多級軸流膨脹機(jī)的跨學(xué)科優(yōu)化平臺，對軸流膨脹機(jī)的多列動、靜葉柵同時(shí)進(jìn)行氣動與結(jié)構(gòu)的多學(xué)科與多工況優(yōu)化，快速獲得綜合性能提升的優(yōu)化設(shè)計(jì)方案。

圖1 膨脹機(jī)工程優(yōu)化流程圖Fig.1 Engineering optimization flow chart of expander

1 多級軸流膨脹機(jī)多學(xué)科優(yōu)化平臺

多級軸流膨脹機(jī)的優(yōu)化平臺主要由幾何識別及參數(shù)化、氣動數(shù)值計(jì)算、結(jié)構(gòu)數(shù)值計(jì)算和優(yōu)化算法幾大模塊組成；幾何識別及參數(shù)化模塊用于對原型軸流膨脹機(jī)的氣動模型和結(jié)構(gòu)模型按照一定的參數(shù)化規(guī)則進(jìn)行逆向幾何識別，將幾何設(shè)計(jì)參數(shù)提取至參數(shù)池；氣動數(shù)值計(jì)算模塊包含氣動計(jì)算域提取、網(wǎng)格劃分與數(shù)值求解，并將數(shù)值求解的溫度場與壓力場傳遞至結(jié)構(gòu)數(shù)值計(jì)算模塊實(shí)現(xiàn)單向流固耦合。提取膨脹機(jī)總-靜絕熱效率ηts和軸向推力F作為優(yōu)化參數(shù)加入?yún)?shù)池；結(jié)構(gòu)數(shù)值計(jì)算模塊包含固體計(jì)算域提取、網(wǎng)格劃分、強(qiáng)度求解、動力特性求解，提取動葉片最大等效應(yīng)力S和最大徑向位移A，并加入到參數(shù)池；優(yōu)化模塊將參數(shù)池中的設(shè)計(jì)變量進(jìn)行數(shù)值邊界和數(shù)值類型定義，將優(yōu)化變量進(jìn)行優(yōu)化目標(biāo)定義和數(shù)值約束，利用多目標(biāo)遺傳算法MOGA（Multi-Objective Genetic Algorithms，MOGA）進(jìn)行優(yōu)化。此優(yōu)化平臺可對多級軸流膨脹機(jī)的多工況和多列動、靜葉柵同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化，自動進(jìn)行模塊間數(shù)據(jù)傳遞，形成工作流，實(shí)現(xiàn)多學(xué)科和多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化平臺的架構(gòu)圖和流程圖如圖2所示。

圖2 優(yōu)化平臺架構(gòu)圖和流程圖Fig.2 Optimization platform flow chart

2 多級軸流式膨脹機(jī)葉柵參數(shù)化方法

原型軸流膨脹機(jī)動、靜葉柵采用平面流面的二維葉柵積疊，使用等中徑端壁型線進(jìn)行截取，通過調(diào)整流道寬度可快速實(shí)現(xiàn)機(jī)組?；O(shè)計(jì)，如圖3所示（圖中藍(lán)色代表靜葉片，紅色代表動葉片）。葉片的空間形狀由沿葉高方向11個(gè)截面所確定，將每個(gè)截面的二維葉柵使用由Pritchard[4]改進(jìn)的八參數(shù)法定義。動葉和靜葉的中徑截面的基本幾何參數(shù)見表1。葉片的壓力面和吸力面一般常采用多階貝塞爾曲線[5]定義，n個(gè)曲線控制點(diǎn)存在2n個(gè)設(shè)計(jì)變量，經(jīng)過研究改進(jìn)，將曲線采用多階B樣條曲線[6]定義，引入向量因子作為設(shè)計(jì)變量，利用向量運(yùn)算可使n個(gè)曲線控制點(diǎn)存在n+1個(gè)設(shè)計(jì)變量，對于高階曲線可大幅減少設(shè)計(jì)變量數(shù)目，大大減少了壓力面、吸力面曲線相交等無效方案的幾率?？刂泣c(diǎn)定義方式見圖4，CAESES[7]平臺下向量運(yùn)算式為：

圖3 原型機(jī)葉柵造型方式Fig.3 Original blade cascade

表1 原型軸流膨脹機(jī)葉柵中徑截面設(shè)計(jì)參數(shù)Tab.1 The design parameter of cascade pitch section of axial expandar

圖4 二維葉柵曲線控制點(diǎn)定義方式Fig.4 2D blade control point

為了減少設(shè)計(jì)變量的數(shù)量，動葉和靜葉的空間定義僅選取沿葉高方向0%，25%，50%，75%和100%，5個(gè)截面，每個(gè)截面處的壓力面和吸力面的B樣條曲線控制點(diǎn)向量因子Tp1，Tp2，Tp3，Tp4，Tp5，Tp6作為一組設(shè)計(jì)變量；動葉和靜葉的切向積疊線采用B樣條-直線-B樣條曲線的方式定義。靜葉采用前緣積疊，動葉采用重心積疊，葉根截面端點(diǎn)固定不動，存在積疊線各控制點(diǎn)Tvc1，Tvc2，Tvp1，Tvp2，Tα1，Tα2，Tα3，具體定義方式見圖5。

圖5 切向積疊線Fig.5 Stack line in tangential

3 多級軸流式膨脹機(jī)數(shù)值計(jì)算方法

3.1 氣動數(shù)值計(jì)算方法

原型軸流膨脹機(jī)由兩級葉柵組成，單主流區(qū)域包含兩列動葉和兩列靜葉共計(jì)四列葉片，如圖6所示。計(jì)算域沿介質(zhì)流動方向由進(jìn)口靜止區(qū)域（延長段）、靜止區(qū)域、旋轉(zhuǎn)區(qū)域、靜止區(qū)域、旋轉(zhuǎn)區(qū)域和出口區(qū)域組成。

圖6 計(jì)算域Fig.6 Computational domain

軸流膨脹機(jī)三種工況如表2所示，進(jìn)口靜止區(qū)域給定總壓、總溫和介質(zhì)流向，出口給定靜壓，葉片采用單通道周期性邊界，旋轉(zhuǎn)區(qū)域設(shè)置轉(zhuǎn)速，計(jì)算域內(nèi)所有固體壁面均為光滑、絕熱、無滑移，動靜交界面使用混合平面法。動葉葉頂間隙與固體壁面一般連接，旋轉(zhuǎn)區(qū)域葉頂側(cè)壁面與出口區(qū)域兩側(cè)固體壁面在相對坐標(biāo)系下設(shè)置反向旋轉(zhuǎn)。

表2 膨脹機(jī)三種工況參數(shù)Tab.2 Three kinds of design condition parameters of expandar

數(shù)值計(jì)算采用有限體積法離散求解三維定?？蓧嚎s的雷諾時(shí)均N-S方程，湍流模型為兩方程的SST模型[8]，近壁面采用自動壁面函數(shù)，氣體介質(zhì)為R245fa。

計(jì)算域的空間離散使用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為H-O-H，葉片周圍采用O型網(wǎng)格，向外過渡為H型網(wǎng)格，動葉葉頂間隙采用蝶形網(wǎng)格，如圖7所示。近壁面網(wǎng)格作加密處理，最大延展比1.3，粘性底層至少設(shè)置10個(gè)節(jié)點(diǎn)，進(jìn)口靜止區(qū)域和出口區(qū)域處延展比1.02。保證計(jì)算域網(wǎng)格最大長寬比小于1 000，正交度15°～165°，網(wǎng)格質(zhì)量能夠確保計(jì)算精度。全局殘差均方根值RMS的值小于10-4，計(jì)算域進(jìn)出口質(zhì)量流量之差小于0.5%則視為計(jì)算收斂。

圖7 數(shù)值計(jì)算網(wǎng)格細(xì)節(jié)Fig.7 Details of grid

圖8 網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證Fig.8 Grid independence verification

圖8所示是y+≈30與y+≈1使用自動壁面函數(shù)，1×106,2×106和4×106三套不同網(wǎng)格數(shù)所得到的三種工況的相對功率-效率曲線，考慮到計(jì)算的精確性和效率，最終使用了y+≈30，2×106個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)格來進(jìn)行數(shù)值計(jì)算與優(yōu)化。

3.2 強(qiáng)度與動力特性數(shù)值計(jì)算方法

多級軸流膨脹機(jī)動葉片強(qiáng)度與振動采用有限元方法，原型膨脹機(jī)動葉的輪盤和動葉片整體銑制，輪盤最大等效應(yīng)力和變形均遠(yuǎn)小于動葉片相應(yīng)值，因此忽略輪盤，建立動葉有限元模型并考慮葉根圓角。該膨脹機(jī)動葉材料屬性如表3所示。

表3 動葉材料特性參數(shù)Tab.3 The dynamic blade material parameters

約束動葉葉根表面所有自由度，添加軸向旋轉(zhuǎn)速度3 000r/min。圖9所示為第一級動葉離散化的固體計(jì)算域，網(wǎng)格為四面體非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格并在葉根圓角進(jìn)行局部加密；將CFD計(jì)算獲得的動葉葉片的壓力場與溫度場加載到對應(yīng)固體計(jì)算域，計(jì)算獲得了在最大膨脹比工況（工況3）下動葉片最大應(yīng)力和位移，如圖10所示。網(wǎng)格分別采用了第一級動葉5×103，1×104和1.6×104及第二級動葉8×103，1.4×104和2×104三套方案。圖11所示為采用三套網(wǎng)格在工況3下計(jì)算獲得的膨脹機(jī)兩級動葉的無量綱最大應(yīng)力和應(yīng)變，可以看到，采用三套網(wǎng)格計(jì)算結(jié)果基本相同，考慮到精度及計(jì)算效率，最終采用了第一級動葉1×104和第二級動葉1.4×104的網(wǎng)格。最后求解了預(yù)應(yīng)力處理下兩級動葉的前六階模態(tài)，用于判定優(yōu)化后動葉片的工作轉(zhuǎn)速頻率激勵(lì)與靜葉通過頻率激勵(lì)。

圖9 動葉片四面體網(wǎng)格Fig.9 Rotor blade tetrahedral grid

圖10 動葉片加載壓力、溫度場Fig.10 The pressure and temperature field of dynamic blade

圖11 網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證Fig.11 Grid independence verification

4 多級軸流式膨脹機(jī)多學(xué)科優(yōu)化方法

4.1 數(shù)學(xué)描述

本次軸流膨脹機(jī)的優(yōu)化參數(shù)為三種工況下的總-靜效率ηts、軸向推力F、動葉最大等效應(yīng)力S和動葉頂最大徑向位移A，將三種工況下的ηts最大化，F(xiàn)最小化，約束最大膨脹比工況（工況3）下的Sc3小于830MPa，Ac3小于0.9mm，約束三種工況下ηts大于初始值，F(xiàn)均小于65kN，質(zhì)量流量m變化均小于2%。該問題目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)描述如下：

對于設(shè)計(jì)變量X集合元素，需定義各自的上下邊界，描述單一葉片形狀的設(shè)計(jì)變量X=(Tp1i,Tp2i,Tp3i,Tp4i,Tp5i,Tp6i,Tvc1,Tvc2,Tvp1,Tvp2,Tα1,Tα2,Tα3,i=1,2,3,4,5)，共計(jì) 37 個(gè)設(shè)計(jì)變量，兩級軸流膨脹機(jī)共有動、靜葉片四列葉片，共計(jì)148個(gè)設(shè)計(jì)變量。

4.2 優(yōu)化方法

將多級軸流膨脹機(jī)的多學(xué)科多工況優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化的數(shù)學(xué)問題。因變量數(shù)較多，通過空間取樣建立映射關(guān)系良好的數(shù)學(xué)代理模型，需要數(shù)量龐大的樣本點(diǎn)，是幾乎不可完成的。因此，優(yōu)化方法直接使用多目標(biāo)遺傳算法（MOGA）進(jìn)行兩輪優(yōu)化的策略[9]，第一輪優(yōu)化針對葉片積疊線造型，側(cè)重于全局尋優(yōu)選取動靜葉柵耦合較好的傾、彎規(guī)則，第二輪優(yōu)化針對葉片沿葉高方向五個(gè)截面的壓力面吸力面控制點(diǎn)，在首輪優(yōu)化后所得最優(yōu)葉片積疊規(guī)則的基礎(chǔ)上尋找二維葉型的最優(yōu)解，圖12為多目標(biāo)遺傳算法流程圖，設(shè)置初始人口數(shù)為20，最多進(jìn)化20代，每次進(jìn)化生成10人口，多點(diǎn)交叉，交叉率50%，變異率20%。

圖12 多目標(biāo)遺傳算法流程圖Fig.12 MOGA workflow chart

5 多級軸流式膨脹機(jī)優(yōu)化結(jié)果與分析

5.1 優(yōu)化方案及分布規(guī)律

經(jīng)過兩輪約420次迭代計(jì)算，選取了54個(gè)非劣解集中的一個(gè)作為最優(yōu)解，如表4中所示，工況1的總-靜效率ηc1.ts提高了1.23%，輸出功率Wc1提高1.1%，軸向推力Fc1減小4.5%，工況2的總-靜效率ηc2.ts提高1.44%，輸出功率Wc2提高1.6%，軸向推力Fc2減小2.5%，工況3的總-靜效率ηc3.ts提高1%，輸出功率Wc3提高0.67%，軸向推力Fc3減小3.4%，三種工況下質(zhì)量流量變化m均小于1%，R1和R2動葉的最大等效應(yīng)力S均未超過表3中的材料屈服極限。工況1為有機(jī)朗肯循環(huán)的設(shè)計(jì)工況，工況2和工況3分別為夏季和冬季時(shí)循環(huán)中凝汽器冷卻水溫度變化，導(dǎo)致上游膨脹機(jī)不同總靜膨脹比[10]的運(yùn)行工況，將兩級軸流膨脹機(jī)優(yōu)化前后的性能繪制成特性曲線，見圖13。

表4 優(yōu)化前后性能參數(shù)對比Tab.4 Comparison of performance parameters before and after optimization

圖13 兩級軸流膨脹機(jī)三種工況性能曲線Fig.13 Two stage axial expander performance curve

圖14為多維空間中兩級動、靜葉柵總-靜效率ηts的分布圖，圖14（a）中可發(fā)現(xiàn)較高的第二級總-總效率η2.tt對應(yīng)了較高的整體總-靜效率ηts，第二級效率對整體效率影響較大，而第一級效率η1.tt與整機(jī)效率的影響并不明顯；圖14（b）中可見在第二級反動度Ω2在0.25～0.3時(shí)，第一級反動度Ω1在0.46～0.52大范圍內(nèi)可以獲得較高的第二級總-總效率η2.tt和整體效率ηts，第一級反動度Ω1在0.5～0.52時(shí)，高效點(diǎn)比較集中；圖14（c）中可發(fā)現(xiàn)對于第二級動葉，尾緣出口馬赫數(shù)MR2.te在0.8～0.84，出口氣流角αR2.te約在-58°時(shí)，可獲得較高的第二級總-總效率η2.tt和整體總-靜效率ηts，在此范圍內(nèi)馬赫數(shù)MR2.te越高，效率越高。

將葉片彎曲和傾斜方向朝向吸力面定義為正彎和正傾，朝向壓力面定義為反彎和反傾。圖15（a）和圖15（b）分別為整機(jī)總-靜效率隨R1動葉和R2動葉的彎曲形式分布情況，藍(lán)色圓點(diǎn)為滿足約束的非劣解集，紅色為選取的優(yōu)化方案，結(jié)合圖2可知當(dāng)Tα1＞0時(shí)，葉片下半部呈正傾或正彎，反之為反傾或反彎，Tα3＞0時(shí)，葉片上半部呈正傾或正彎，反之為反傾或反彎?？砂l(fā)現(xiàn)R1動葉下半部正彎20°和40°時(shí)，高效點(diǎn)較為聚集，R2動葉下半部反彎-10°左右，上半部正彎45°時(shí)高效點(diǎn)比較集中；圖15（c）和圖15（d）分別為R1動葉和R2動葉的最大應(yīng)力隨彎曲形式分布情況，可發(fā)現(xiàn)R1和R2動葉類似，均在葉片的下半部正彎20°～40°時(shí)，最大等效應(yīng)力較大。

圖15 動葉彎曲分布圖Fig.15 Bend blade distribution chart

5.2 氣動性能分析

圖16為原始葉片與優(yōu)化后葉片的對比，可以看到S1，S2靜葉和R2動葉優(yōu)化后均呈反彎，R1動葉為正傾加頂部正彎，呈倒J型，圖17（a）與（b）為工況1下子午面壓力梯度和熵分布圖，可發(fā)現(xiàn)由于壓力梯度與流速的影響，R1動葉片正傾加正彎曲在通道內(nèi)形成J型壓力梯度，使葉頂端壁附面層及葉中主流區(qū)向葉根端壁遷移，改善了葉頂端壁損失和葉中的二次流損失，而葉根附面層增厚，流動惡化；S1，S2靜葉和R2動葉反彎曲會在通道內(nèi)形成反C型壓力梯度，使葉中主流區(qū)向兩側(cè)端壁遷移，減少葉中二次流損失，增加端壁側(cè)的流動損失；從圖17（b）中可以看到，優(yōu)化后葉中主流區(qū)低熵產(chǎn)區(qū)面積增大，二次流損失減小，S2靜葉葉頂高熵產(chǎn)區(qū)消失，端壁損失減小，R2動葉后葉頂一側(cè)高熵產(chǎn)區(qū)增大，端壁損失增大。

圖16 優(yōu)化前后葉片對比Fig.16 Blade row comparison

圖17 子午面壓力梯度及熵分布Fig.17 The distribution of meridional pressure gradient and entropy

表5為各列葉片能量損失系數(shù)對比，可看到三種工況優(yōu)化情況類似，與圖13（b）相對應(yīng)，S1、S2靜葉和R2動葉損失減小，R1動葉損失增大，通過動、靜葉片傾、彎規(guī)則的耦合，可達(dá)到局部級損失增大，但整機(jī)損失減小，總效率提高的優(yōu)化目的，定義能量損失系數(shù)定義如下：

表5 各列葉片能量損失系數(shù)對比Tab.5 Blade energy loss coefficient comparison of blades

其中，h01為靜葉進(jìn)口總焓；h2為靜葉出口靜焓；h2S為靜葉出口絕熱靜焓；h3為動葉出口靜焓；h3S為動葉出口絕熱靜焓；h02,rel為相對坐標(biāo)系下動葉進(jìn)口總焓。

圖18為能量損失系數(shù)沿葉高方向分布曲線，各列葉片在三種工況的能量損失優(yōu)化前后趨勢均相似，圖18（a）中S1靜葉20%葉高以下與80%葉高以上的兩側(cè)端壁面損失增大，葉中主流區(qū)損失減小，這與圖17中S1靜葉優(yōu)化后的反彎形式流體遷移特點(diǎn)相一致；圖18（b）中R1動葉80%葉高以下部分損失增大，以上部分損失減小，R1動葉優(yōu)化后頂部為正彎，整體呈倒J狀，頂部損失減小與正彎形式葉片的特點(diǎn)相一致；圖18（c）S2靜葉與圖18（d）中R2動葉的50%葉高以下均損失增大，以上部分損失減小，是由于R1動葉頂部正彎與S2靜葉、R2動葉反彎形式耦合后，產(chǎn)生指向葉片下部區(qū)域的正壓梯度，使流體向葉根側(cè)端壁面進(jìn)行遷移，改善了葉片上部區(qū)域的流動情況。

圖18 能量損失系數(shù)沿葉高分布Fig.18 The distribution of energy loss coefficient along the blade height spanwise

5.3 強(qiáng)度分析

軸流膨脹機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，葉片受離心載荷、熱載荷和氣動載荷等多種因素影響，葉片上會產(chǎn)生拉伸和彎曲應(yīng)力，根據(jù)第四強(qiáng)度理論，葉片最大等效應(yīng)力大于材料屈服強(qiáng)度將產(chǎn)生塑性變形；當(dāng)動葉的最大徑向位移大于葉頂安裝間隙時(shí)，動葉將與端壁發(fā)生刮碰導(dǎo)致斷裂。

工況3下兩級動葉的最大等效應(yīng)力見圖19，數(shù)值均小于材料屈服強(qiáng)度，R1動葉最大應(yīng)力出現(xiàn)在葉根吸力面最大葉厚處，而R2動葉最大應(yīng)力出現(xiàn)在約30%葉高的尾緣處，并且在前緣處也出現(xiàn)較大的應(yīng)力分布。

兩級動葉的最大徑向位移見圖20，R1動葉為0.012mm，處于動葉50%葉高以上的前緣處；R2動葉為0.573mm，處于動葉葉頂尾緣。

圖19 最大等效應(yīng)力云圖Fig.19 Maximum equivalent stress

圖20 最大徑向變形云圖Fig.20 Maximum directional deformation

表6 動葉片前六階固有頻率Tab.6 The dynamic blade first six order natural frequency

5.4 振動分析

軸流膨脹機(jī)葉片的振動產(chǎn)生的主要原因是周期性的機(jī)械激振與葉片流道氣流尾跡激振[11-13]，機(jī)械激振力來源于膨脹機(jī)的主軸旋轉(zhuǎn)，而氣流尾跡激振來源于當(dāng)前葉片上下游的交變氣流，當(dāng)激振頻率與葉片固有頻率呈倍數(shù)關(guān)系時(shí)，葉片與激勵(lì)源發(fā)生共振，嚴(yán)重時(shí)導(dǎo)致葉片疲勞斷裂[14]。計(jì)算得到的兩級動葉片前六階固有頻率如表6。

圖21和圖22為兩級動葉的前六階振型圖，對于R1動葉，一階振型為切向彎曲振動，彎曲發(fā)生在葉頂；二階振型為扭轉(zhuǎn)振動，扭轉(zhuǎn)最大變形發(fā)生在葉頂尾緣；三階振型主要為軸向彎曲振動，彎曲最大變形量出現(xiàn)在葉中尾緣；四階振型為二階切向彎曲振動；五階振型為二階切向彎曲與二階扭轉(zhuǎn)復(fù)合振動；六階振型為三階切向彎曲振動。R2動葉的一階振型為切向彎曲振動，二階振型為扭轉(zhuǎn)振動，最大變形發(fā)生在葉頂尾緣；三階振型為扭轉(zhuǎn)復(fù)合振動，主要為一階扭曲振型；四階振型為二階切向彎曲振動；五階六階振型均為高階彎曲振動。

圖21 R1動葉前六階振型圖Fig.21 R1 dynamic rotor blade first six order vibration mode

圖22 R2動葉前六階振型圖Fig.22 R2 dynamic rotor blade first six order vibration mode

激振頻率與葉片固有頻率（動頻）呈階次倍數(shù)關(guān)系時(shí)，葉片會以當(dāng)前階次振型發(fā)生最大振幅共振，因?yàn)榉逯蹈浇恼穹廊惠^大，還需要設(shè)定安全避開率；高階振動振幅較小，危害相對較小，因此對于低頻激振，一般取二到六階次[15]。低頻激振力避開率見公式（6），高頻激振力避開率見公式（7）：

其中，Δf為避開率；K為階次，取2～6；fz為激振頻率；fn為動葉片固有頻率；Z為上下游靜葉數(shù)量；Zfz即靜葉柵通過頻率。

根據(jù)動葉片前六階模態(tài)振型，取不同的安全避開率，將激振力干涉范圍與動葉前六階固有頻率繪制到圖表中，見圖23（a）～（d），可見R1，R2動葉前六階固有頻率均未落入工作轉(zhuǎn)速干涉和靜葉通過頻率干涉區(qū)域，不會發(fā)生大幅度振動，判定結(jié)果合格。

圖23 R1，R2動葉前六階固有頻率判定Fig.23 R1，R2 dynamic rotor blade first six order natural frequency

6 結(jié)論

通過建立以多目標(biāo)遺傳算法MOGA為基礎(chǔ)的的兩級軸流渦輪多學(xué)科多工況優(yōu)化平臺，在維度龐大的設(shè)計(jì)空間中尋求最優(yōu)解，得到了在氣動和結(jié)構(gòu)多方面綜合評估得到提升的方案。

通過對5MW有機(jī)朗肯循環(huán)系統(tǒng)中的兩級軸流膨脹機(jī)的優(yōu)化，獲得如下主要研究結(jié)論：

1）對十一參數(shù)法葉柵定義方式改進(jìn)的八參數(shù)法進(jìn)一步研究，對動、靜葉片的壓力面、吸力面曲線采用多階B樣條定義，引入向量因子并作為設(shè)計(jì)變量，可大幅減少設(shè)計(jì)變量數(shù)目，同時(shí)建立控制點(diǎn)二維拓?fù)?，減小曲線相交等無效方案的發(fā)生幾率。

2）兩級軸流膨脹機(jī)的第二級效率η2.tt對整體效率影響較大，而第一級效率η1.tt與整機(jī)效率的影響并不明顯；第二級反動度Ω2在0.25～0.3時(shí)，第一級反動度Ω1在0.46～0.52大范圍內(nèi)可以獲得較高的第二級總-總效率η2.tt和整體效率ηts，第一級反動度Ω1在0.5～0.52時(shí)，高效點(diǎn)比較集中；對于第二級動葉，尾緣出口馬赫數(shù)MR2.te在0.8～0.84，出口氣流角αR2.te約在-58°時(shí)，可獲得較高的第二級總-總效率η2.tt和整體總-靜效率ηts，在此范圍內(nèi)馬赫數(shù)MR2.te越高，效率越高。

3）優(yōu)化后的膨脹機(jī)工況1下總-靜效率ηc1.ts提高了1.23%，輸出功率Wc1提高1.1%，軸向推力Fc1減小4.5%，工況2下總-靜效率ηc2.ts提高1.44%，輸出功率Wc2提高1.6%，軸向推力Fc2減小2.5%，工況3下總-靜效率ηc3.ts和輸出功率Wc3基本持平，軸向推力Fc3減小3.4%，三種工況下質(zhì)量流量變化m均小于1%，R1和R2動葉的最大應(yīng)力S、葉頂最大徑向位移A，均滿足材料力學(xué)性能和工程實(shí)際要求。

4）對設(shè)計(jì)變量分布情況做了分析，在R1動葉下半部正彎20°和40°時(shí)，高效點(diǎn)較為聚集，R2動葉下半部反彎-10°左右，上半部正彎45°時(shí)高效點(diǎn)比較集中；R1和R2動葉均在葉片下半部正彎20°～40°時(shí)，最大等效應(yīng)力較大。

5）分析優(yōu)化后的兩級動葉片前六階固有頻率和振型圖，對工作轉(zhuǎn)速頻率激勵(lì)和靜葉通過頻率激勵(lì)進(jìn)行了評估，結(jié)果均合格。