程克玲

(呂梁學(xué)院，山西 汾陽 032200)

1 對(duì)角化矩陣具備條件

矩陣對(duì)角化是整個(gè)高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，研究的歷史也很久遠(yuǎn)，起源于市場(chǎng)生活，生活中不斷總結(jié)進(jìn)行演化，進(jìn)而以完整體系的矩陣體系及概念進(jìn)行呈現(xiàn)，衍生出了相應(yīng)體系下的的矩陣，以及相關(guān)數(shù)據(jù)化性質(zhì)，進(jìn)一步推動(dòng)了矩陣對(duì)角化的應(yīng)用，具有廣闊的發(fā)展前景。這將有助于在不同科技領(lǐng)域中的應(yīng)用，數(shù)據(jù)化的科技也使得各行各業(yè)不斷產(chǎn)生多元化，這對(duì)角矩陣的廣泛運(yùn)用也提供了廣泛的可能性。實(shí)對(duì)稱矩陣正交對(duì)角化是整個(gè)線性代數(shù)的核心與重難點(diǎn)，也是不可或缺的一部分。[1]本文從實(shí)對(duì)稱矩陣，相應(yīng)的相似對(duì)角化的相關(guān)路徑與步驟進(jìn)行分解，首先求S解相應(yīng)矩陣的特征值，求解的方法很多，最終得到的數(shù)值相同，接著求出對(duì)應(yīng)的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量，進(jìn)而將這些無關(guān)的線性向量進(jìn)行排列組合，再將其單位正交化，進(jìn)而獲得其對(duì)角矩陣。

線性代數(shù)是最抽象、最難的一門課，其難點(diǎn)是：與其他各章節(jié)有一定的聯(lián)系，但是聯(lián)系較為隱秘，將這一關(guān)系在各個(gè)章節(jié)之間打通，方能貫通好線性代數(shù)。在學(xué)習(xí)中，基礎(chǔ)需要扎實(shí)，尋根究底，證明過程要真正弄明白。比較難的部分，大多數(shù)學(xué)生理解會(huì)比較粗糙，感覺是似是而非?；A(chǔ)不牢、死記硬背無法真正實(shí)現(xiàn)對(duì)線性代數(shù)的真正理解，所以，上課過程中，需要重點(diǎn)解釋，強(qiáng)化難點(diǎn)內(nèi)容，能夠?qū)φ痪仃嚨臉?gòu)成解釋通透。本文對(duì)線性代數(shù)中重難點(diǎn)——非負(fù)矩陣的對(duì)角化進(jìn)行闡述，以達(dá)到學(xué)生能夠真正地理解這部分內(nèi)容的最終目的。

對(duì)于n階的矩陣A，首先矩陣的特征向量 x 和特征值λ滿足：

Ax=λx

那么以特征向量為列向量，可以構(gòu)成矩陣S:

S={x1,x2,x3……xn}

(1)

AS=A{x1,x2,x3……xn}

=(Ax1,Ax2,Ax3,...Axn)={λx1,λx2,λx3,……λxn}

={x1,x2,x3……xn} diag(λ1,λ2,λ3,...λn}

(2)

即 AS=SΛ

其中S實(shí)矩陣，可逆。

Λ=S-1AS

對(duì)角化的前提條件便是保證 S 可逆?？赡媲疤崾鞘沟肧 的矩陣秩為n 。[2]討論一個(gè)矩陣是否可以實(shí)現(xiàn)對(duì)角化，方法也很多，求解其對(duì)角矩陣的方法也很多，上述是列舉的主要用到的方法，可以根據(jù)具體的情況進(jìn)行求解。每一個(gè)特征值可以作為基數(shù)，特征數(shù)可以是單一的，也可以是重根，這并不是判斷是否可對(duì)角化的條件，還需要深入分析。[3]當(dāng)特征值是重根時(shí)，這便意味著，矩陣的秩是n，特征值數(shù)量n-r，必然會(huì)小于n，此時(shí)需要進(jìn)入第二階段進(jìn)行判決，將重根基礎(chǔ)解系進(jìn)行求解，此時(shí)基礎(chǔ)解系的總數(shù)等于n時(shí)，仍可以實(shí)現(xiàn)其對(duì)角化。

(1)n階矩陣 A ，經(jīng)過矩陣運(yùn)算，求解有n 個(gè)特征值，就是說，如果相應(yīng)的數(shù)值在一定區(qū)域具備n 個(gè)不同的根。

(2)線性映射 T : V → V 帶有 n=dim(V) 是可對(duì)角化的，如果它有 n個(gè)不同的特征值，就此時(shí)矩陣根的數(shù)目仍是 n。

(3)定義在域 F 上的 n × n 矩陣 A，判斷該矩陣是否可以實(shí)現(xiàn)對(duì)角化，可以使用一個(gè)簡(jiǎn)單方法直接判斷該重根的維數(shù)是否等于特征向量數(shù)目，如果相等，便可以進(jìn)行矩陣的對(duì)角化。

總結(jié)得出：

n階方陣對(duì)應(yīng)的n個(gè)線性無關(guān)推論：對(duì)有n階方陣的秩也是n，那么特征值便是n,則必然可對(duì)角化。如果n階方陣存在重復(fù)的特征值,該特征值重復(fù)數(shù)目便是可以等于該特征向量個(gè)數(shù)，便是可相似對(duì)角化，因此處理這些矩陣特別簡(jiǎn)單：它們的特征值和特征向量是已知的，將這一簡(jiǎn)單對(duì)角元素對(duì)應(yīng)的冪矩陣。

數(shù)aij為(i,j)元的矩陣可記為(aij)或(aij)m × n，m×n矩陣A也記作Amn。

矩陣分解指的是其矩陣的運(yùn)算，分解方法有三角分解、譜分解、奇異值分解、滿秩分解等。

把可以對(duì)角化的矩陣稱為單純矩陣。判斷是否為簡(jiǎn)單矩陣的方法如下：

1)n階矩陣A具有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量;

2)n階矩陣A具有n個(gè)不同特征值;

3)n階矩陣A含有重特征值時(shí)，重根重?cái)?shù)等于其特征向量數(shù);

4)n階矩陣A的最小項(xiàng)多項(xiàng)重根數(shù)目為零。

特殊的單陣是正規(guī)陣(包括Hermite矩陣、酉矩陣、對(duì)角陣等)。

可對(duì)角化矩陣，對(duì)角化的方法是整個(gè)高等數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，在金融經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，特別當(dāng)需要處理的數(shù)據(jù)過多、數(shù)據(jù)的變化很快時(shí)，必須體現(xiàn)出這個(gè)矩陣核心作用，特征值將會(huì)是整個(gè)數(shù)量的核心所在，也會(huì)是處理繁瑣數(shù)據(jù)的鑰匙，對(duì)角化后的數(shù)據(jù)會(huì)大大降低其復(fù)雜性，并可以將其化為簡(jiǎn)單的冪矩陣進(jìn)行分解，進(jìn)而對(duì)整個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行深入透徹分析及應(yīng)用。在此背景下，數(shù)字化的矩陣運(yùn)算需要運(yùn)算方法的優(yōu)化與升級(jí)，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化。

2 矩陣對(duì)角化過程

給定矩陣A，需要求出其特征數(shù)，判斷其矩陣的特征向量的重?cái)?shù)，是否可以實(shí)現(xiàn)對(duì)角化，以及使用的方法是否最為簡(jiǎn)便。

(1)求特征多項(xiàng)式，matlab命令p= poly(A)；

(2)求出特征值，并且求出相應(yīng)的對(duì)應(yīng)特征多項(xiàng)式；

(3)分別將以上求出的特征值，求出分別的特征向量；

(4)依據(jù)每個(gè)相應(yīng)的特征值，進(jìn)行每個(gè)特征值的基礎(chǔ)解系化簡(jiǎn)，進(jìn)而將其進(jìn)行相應(yīng)的正交化；

(5)對(duì)正交化后的向量單位化。

已知λ1,λ2,…,λn為實(shí)對(duì)稱矩陣A的n個(gè)特征根，對(duì)應(yīng)n個(gè)特征向量P1,P2,…，Pn，且證明因 Ap=λp, AT=λT, 等價(jià)，現(xiàn)只需證明 AT=λT即可。由特征值的定義可得，Ap=λp,

=λi1ηi1

(3)

即ηii為A對(duì)應(yīng)特征值λij的特征向量，η1，η2……ηii，線性無關(guān)且是兩兩正交。

由數(shù)學(xué)歸納法可得，Aηii=ληii(i=1,2,…,n), 則向量η1，η2，η3，ηii為A的n個(gè)特征向量，當(dāng)然也滿足相應(yīng)的線性無關(guān)條件。即向量q1,q2, …，Pn為A的n個(gè)單位特征向量，線性無關(guān)且兩兩正交。

取 P=(p1,p2,…pn)則有p-1AP=Λ。向量組P=(p1,p2,…pn)經(jīng)過Schmidt正交單位化后得到A的n個(gè)線性無關(guān)單位特征向量的數(shù)值，q1,q2,…qn。令Q = (q1,q2,…，qn)，則Q為正交矩陣，且 QTAQ = Q-1AQ,則有：

(4)

事實(shí)上，如果滿足Schmidt正交化,對(duì)相關(guān)的特征向量進(jìn)行相關(guān)的可逆變換，特征向量組便是等價(jià)的，舉證便能實(shí)現(xiàn)正交相似對(duì)角化。說明將 P= (p1, p2,…，pn)的列向量正交化后可逆矩陣N= (η1, η2, η3,…ηn)仍滿足N-1AN=Λ。將N的列向量單位化，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的Q對(duì)角陣，這對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣相似性具有很好的解決方法，首先要正確解決其單位正交化問題。

矩陣等價(jià)關(guān)系轉(zhuǎn)到對(duì)抽象、合同關(guān)系中會(huì)有難度，也獨(dú)具魅力，只能是學(xué)它、懂它，理解體會(huì)。若全身心投入研究，將其應(yīng)用到不同的場(chǎng)所中，便能夠理解這其中的奧秘。隨著目前數(shù)據(jù)經(jīng)濟(jì)背景不斷延伸，數(shù)字化的建設(shè)急劇需要相關(guān)數(shù)字化理論支持，矩陣的運(yùn)算十分重要，應(yīng)大力實(shí)現(xiàn)這些基本運(yùn)算方法的優(yōu)化與升級(jí)，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)組合優(yōu)化。

3 矩陣對(duì)角化研究方向

P是怎么構(gòu)成的[A×an]=[λ1×a1,λ2×a2…]，如果λ=3找不到3個(gè)線性無關(guān)的解[λ1×a1,…λn×an]=P×B,將上面等式換一種描述就是 A=P×B×P-1,但是如果A有某個(gè)λ是個(gè)重根呢,是個(gè)3重根，即Aa=λa,如果階n方陣存在重復(fù)的特征值,但是經(jīng)過驗(yàn)證仍可實(shí)現(xiàn)相應(yīng)對(duì)角化，則能知道，P由n個(gè)線性無關(guān)的向量組成。

特征方程(3I-A)x=0，方法不同求解的方法路徑也不同，在不同的情況下，P可逆,十分重要,能實(shí)現(xiàn)這一可逆矩陣的對(duì)角化。

A求解得到n個(gè)不同的特征值,求解得出其對(duì)應(yīng)的向量矩陣，矩陣P=[a1a2…an],直接得出n個(gè)無關(guān)的線性無關(guān)的數(shù)向量,進(jìn)而AP=A×[a1，… a2] ,特征向量具備不會(huì)存在線性相關(guān)的現(xiàn)象，A有n個(gè)不同的特征值λi，B=λ[1 0 0] ,即Aai=λi×ai,比如λ=3,n階方陣存在n個(gè)線性無關(guān)的特征向量推論。n階方陣可實(shí)現(xiàn)絕對(duì)對(duì)角化的必要條件是：特征值對(duì)應(yīng)的所有的特征向量，全部不是線性相關(guān)，而是線性無關(guān)。P要滿足可逆，an=[A×a1A×a2] ,這是因?yàn)槟茏孉對(duì)角化的P矩陣不存在。

在分解P中，分析得出P有n個(gè)向量，滿足全部線性無關(guān)的條件下,便是可逆，才能借助P，深入分解A，實(shí)現(xiàn)A的矩陣對(duì)角化。但是如果A有某個(gè)λ是個(gè)重根的情況下，矩陣對(duì)角化的條件需要重新進(jìn)行對(duì)角化分析，再如：如λ=3是個(gè)3重根，特征方程(3I-A)x=0解可以是3個(gè)，也可以是少于3個(gè)，如果λ=3的線性無關(guān)的數(shù)量少于3，既可以得出結(jié)論：A就不能對(duì)角化了,原因是P矩陣不存在，即A對(duì)角化的P矩陣不存在導(dǎo)致A無法實(shí)現(xiàn)對(duì)角化.

對(duì)于對(duì)角線相應(yīng)的數(shù)據(jù)元素可以為0或其他值；對(duì)角線上元素全為1為單位矩陣。

4 矩陣對(duì)角化的深層次應(yīng)用及展望

矩陣是當(dāng)前數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常見的內(nèi)容之一，可以廣泛地應(yīng)用在電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)以及量子物理；這一應(yīng)用還可以將其應(yīng)用在三維動(dòng)畫制作矩陣之中。矩陣的運(yùn)算已經(jīng)演化成為當(dāng)代大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)中數(shù)理計(jì)算的核心之一。對(duì)稱矩陣對(duì)角化問題是既簡(jiǎn)單也復(fù)雜的，如何實(shí)現(xiàn)這一矩陣的運(yùn)算，得到相關(guān)龐大數(shù)據(jù)的關(guān)鍵是特征數(shù)值，進(jìn)而借助特征數(shù)值進(jìn)行龐大數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)化，實(shí)現(xiàn)相關(guān)運(yùn)算的合理與簡(jiǎn)化，是矩陣數(shù)據(jù)簡(jiǎn)化的重要目的及途徑，也是實(shí)現(xiàn)整個(gè)數(shù)據(jù)發(fā)展的必不可少的處理工具。目前相應(yīng)的矩陣?yán)碚摪l(fā)展已經(jīng)演化成為較為成熟的理論，可以應(yīng)用在天體物理、量子力學(xué)等領(lǐng)域，以及當(dāng)代應(yīng)用的一種推廣——無窮維的矩陣。[6]此外，相關(guān)的研究學(xué)者在對(duì)數(shù)據(jù)深化研究分析之下，找出了更加合適的方法，被稱為“近似聯(lián)合對(duì)角化”，是一種非正交的運(yùn)算算法，這一方法的理論相對(duì)來說是正交化與相似對(duì)角化的方法融合，該算法的目標(biāo)是找到兩個(gè)不同的一般(不一定正交或平方)對(duì)角化矩陣，使基于梯度的最小二乘(LS)準(zhǔn)則最小化，并采用最優(yōu)秩近似方法，它可以用來計(jì)算三階張量的正則并矢分解(CPD)，在這種情形下提出了一種新型的對(duì)角化方法的一個(gè)應(yīng)用程序(FDM)，該程序研究同時(shí)還解決更高一元代數(shù)方程的數(shù)值系數(shù)問題，這其中提到只有一小部分的根，能夠滿足在指定位置附近的復(fù)雜平面或指定的間隔。

隨著時(shí)代的進(jìn)步發(fā)展，F(xiàn)DM方法實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)進(jìn)程的演化，在矩陣特征值的基礎(chǔ)上進(jìn)行深入融合，實(shí)現(xiàn)全面矩陣特征。[4]采用配對(duì)法，求解相應(yīng)的矩陣的高次N代數(shù)方程的根，將此結(jié)果作為相應(yīng)的矩陣A的特征值。通常所有特征值都可以用移位QR迭代法求解。當(dāng)代學(xué)者在這一基礎(chǔ)上提出了一種基于系統(tǒng)矩陣對(duì)角化的常微分方程線性方程組變系數(shù)解析解的計(jì)算方法[5]。當(dāng)前學(xué)者對(duì)角化問題系統(tǒng)研究熱點(diǎn)是對(duì)角矩陣化特征值問題的推廣，因此解析是由構(gòu)成基本解系統(tǒng)的線性無關(guān)特解的和得到的。在應(yīng)用領(lǐng)域之中，考慮了時(shí)間線性函數(shù)的點(diǎn)推動(dòng)力學(xué)方程，也可以在空間中，利用擬線性一階偏微分方程系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)李亞普諾夫問題的解，構(gòu)造了具有“鞍節(jié)點(diǎn)”型駐點(diǎn)的光滑穩(wěn)定分形“曲面”或條件穩(wěn)定流形，該對(duì)角化方法可以將這些結(jié)果應(yīng)用在非線性奇異邊值問題，拓展了矩陣表述和數(shù)值分析研究可能性。[6]

此外對(duì)角矩陣的延伸應(yīng)用中最常見是當(dāng)代大數(shù)據(jù)處理下的多個(gè)耦合的變量盡可能的解耦。如：常用的一個(gè)彩票中獎(jiǎng)理念中，預(yù)先選擇一定的號(hào)碼，運(yùn)用某種矩陣，將數(shù)字填入對(duì)應(yīng)的位置，若選擇的數(shù)字中存在與開獎(jiǎng)數(shù)字碼相同的概數(shù)，便會(huì)產(chǎn)生獎(jiǎng)級(jí)的獎(jiǎng)，因此這種旋轉(zhuǎn)矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用，實(shí)現(xiàn)低載高效的收益，投入成本也將低于復(fù)式投注。旋轉(zhuǎn)矩陣的原理便是矩陣組合設(shè)計(jì)：覆蓋設(shè)計(jì)。所謂覆蓋設(shè)計(jì)，又稱為相應(yīng)的填裝設(shè)計(jì)，在歐洲又被喻為斯坦納系，這一理論方法的背后是數(shù)據(jù)運(yùn)算的升級(jí)，這些數(shù)據(jù)的核心目的是實(shí)現(xiàn)整個(gè)數(shù)據(jù)的優(yōu)化問題，當(dāng)然這一理論也滿足了相應(yīng)的大數(shù)據(jù)背景下急劇處理優(yōu)化該問題的需要，這一問題的核心是為了實(shí)現(xiàn)整個(gè)數(shù)據(jù)行業(yè)的進(jìn)步，也為數(shù)字化的基礎(chǔ)建設(shè)提供了技術(shù)支持及不竭動(dòng)力，在此背景下，數(shù)字化的建設(shè)將會(huì)飛速向前運(yùn)轉(zhuǎn)，因此矩陣的運(yùn)算就會(huì)顯得尤其重要，因此需要大力度的實(shí)現(xiàn)這些基本運(yùn)算方法的優(yōu)化與升級(jí)，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)解，滿足最急劇的數(shù)字化組合優(yōu)化問題。它們解決的核心問題是如何組合集合中的元素以達(dá)到某種特定的要求，實(shí)現(xiàn)大數(shù)據(jù)下多個(gè)耦合的變量盡可能的解耦。