羅建宇

(江蘇省張家港市沙洲中學(xué) 215600)

面對(duì)“怎樣培養(yǎng)人”、“如何讓核心素養(yǎng)落地”等關(guān)鍵問(wèn)題，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)變革需向縱深推進(jìn)，以深度教學(xué)為抓手，讓學(xué)生的深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生在數(shù)學(xué)課堂之上．鑒于高中數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性與概括性，為實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教與學(xué)的良性互動(dòng)，讓學(xué)習(xí)在抽象的數(shù)學(xué)與生動(dòng)的現(xiàn)實(shí)間構(gòu)建聯(lián)系通道，高中數(shù)學(xué)教學(xué)離不開(kāi)現(xiàn)代教育技術(shù)的支持和助力．本文以GeoGebra為例，談?wù)勅绾蝿?chuàng)生追求品質(zhì)與意義的深度教學(xué)課堂，促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)力．

1 GeoGebra與深度教學(xué)

問(wèn)診我們的數(shù)學(xué)課堂，常?？梢砸?jiàn)到一些現(xiàn)象：課堂熱鬧活動(dòng)多樣，數(shù)學(xué)的思考卻淹沒(méi)在花樣翻新的形式中；教者不講道理，跳過(guò)概念生成直接變式應(yīng)用；學(xué)者不求甚解，簡(jiǎn)單模仿(甚至死記硬背)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)；滿(mǎn)足于數(shù)學(xué)知識(shí)與技能(經(jīng)驗(yàn))的簡(jiǎn)單積累，卻沒(méi)有將碎片化的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)考察，整體性的認(rèn)識(shí)更無(wú)從談起；這樣的教學(xué)弊端歸結(jié)于一點(diǎn)，就是缺乏深度，直接導(dǎo)致學(xué)生體驗(yàn)不深切、思維不深入和理解不深透，自然難以對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)與發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響．

于是，走進(jìn)學(xué)生情感和思維的深處，觸及學(xué)科本質(zhì)與知識(shí)內(nèi)核，離不開(kāi)深度教學(xué)．何為深度教學(xué)(Deep Teaching)，學(xué)界并沒(méi)有統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)，綜合文[1]-[4]的觀點(diǎn)，我們以為深度教學(xué)強(qiáng)調(diào)的是對(duì)教學(xué)內(nèi)容全面且深刻的理解，追求的是師生間的深度交流和對(duì)話(huà)，指向的是學(xué)生思維和情感的深度發(fā)展．而聯(lián)系到“深度”一詞的本意，是“觸及事物本質(zhì)的程度，或事物向更高階段發(fā)展的程度”，本文將深度教學(xué)界定為，一種反映學(xué)科本質(zhì)、推動(dòng)學(xué)生認(rèn)知從表層結(jié)構(gòu)進(jìn)入深層結(jié)構(gòu)的教學(xué)，一種能夠吸引學(xué)生深度參與其中思考學(xué)科問(wèn)題、生成學(xué)科思維的教學(xué)．

具體到數(shù)學(xué)學(xué)科而言，深度教學(xué)首先體現(xiàn)在知識(shí)內(nèi)容的呈現(xiàn)上要觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)，即展現(xiàn)概念、原理的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，讓學(xué)生知其然更要知其所以然；同時(shí)注重知識(shí)間的橫向、縱向聯(lián)系，把握知識(shí)、方法、思想之間的關(guān)系，“置知識(shí)于系統(tǒng)之中，讓所學(xué)知識(shí)牢不可破”；更為重要的是，深度教學(xué)要激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中獲得樸素而廣泛、深厚而靈動(dòng)的數(shù)學(xué)思想，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維，即“以深刻的思想啟迪學(xué)生”，而這其中特別重要的4個(gè)環(huán)節(jié)，包括聯(lián)系的觀點(diǎn)，問(wèn)題引領(lǐng)，交流和互動(dòng)，努力幫助學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)[5]．顯然，這樣的深度教學(xué)很難為傳統(tǒng)的“一支筆一塊黑板一張嘴”的教學(xué)手段所能承載，于是“運(yùn)用現(xiàn)代技術(shù)手段，把現(xiàn)代技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的強(qiáng)有力的工具”便成了數(shù)學(xué)深度教學(xué)的必然選擇．

作為一款“專(zhuān)為教與學(xué)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件”，GeoGebra實(shí)現(xiàn)了“形”(幾何Geometry)與“數(shù)”(代數(shù)Algebra)的完美融合，代數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)(CAS)的完美嵌入為數(shù)學(xué)探究提供無(wú)限可能，指令輸入和工具構(gòu)造讓動(dòng)態(tài)演示過(guò)程更加生動(dòng)，多模塊區(qū)域間的關(guān)聯(lián)互動(dòng)保證高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的全面覆蓋．GeoGebra帶給我們的，不僅是更加方便快捷的數(shù)學(xué)，更是理想的深度學(xué)習(xí)平臺(tái)和深度教學(xué)工具．它為我們提供了“多元聯(lián)系表征”的學(xué)習(xí)環(huán)境，可以將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化，使數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)性變得可見(jiàn)甚至可操作，從而能深入學(xué)科內(nèi)部，幫助學(xué)習(xí)者洞悉數(shù)學(xué)本質(zhì)；它能構(gòu)建“抽象的數(shù)”與“可見(jiàn)的形”之間的聯(lián)系通道，幫助學(xué)生超越表層知識(shí)符號(hào)的學(xué)習(xí)，進(jìn)入知識(shí)內(nèi)在的邏輯形式和意義領(lǐng)域，體現(xiàn)“數(shù)學(xué)是清楚的、自然的、水到渠成的”；它能突破數(shù)學(xué)“難以意會(huì)，無(wú)法言傳”的障礙，實(shí)現(xiàn)以思維的分析帶動(dòng)具體知識(shí)和技能的學(xué)習(xí)，真正做到“教懂、教活、教深”；它操作簡(jiǎn)單即學(xué)即用，能夠真正交到學(xué)生手中(不限于計(jì)算機(jī)操作，在平板電腦、智能手機(jī)等移動(dòng)終端上也能流暢運(yùn)行)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和參與度，從而真正促進(jìn)學(xué)習(xí)方式的變革．

2 數(shù)學(xué)深度教學(xué)的實(shí)施策略

數(shù)學(xué)可以在學(xué)生的內(nèi)心深處培植理性的種子，開(kāi)展深度教學(xué)的意義恰在于此．通過(guò)創(chuàng)設(shè)真實(shí)的學(xué)習(xí)情境，吸引學(xué)生參與其中，深入思考學(xué)科問(wèn)題；構(gòu)建靈動(dòng)的數(shù)學(xué)資源，推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，引領(lǐng)數(shù)學(xué)思維從表層進(jìn)入深層；開(kāi)展多樣的實(shí)驗(yàn)探究活動(dòng)，在經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程中，觸及數(shù)學(xué)內(nèi)核；結(jié)合主題單元教學(xué)，從更廣泛的角度聯(lián)系分析問(wèn)題，在數(shù)學(xué)內(nèi)涵的不斷追問(wèn)中，學(xué)會(huì)嚴(yán)謹(jǐn)、審慎地看待問(wèn)題、理解世界．

2.1 情境創(chuàng)設(shè)，走進(jìn)思維深處

我們知道，離開(kāi)了師生間真正的情感交流和思維碰撞的課堂，即便學(xué)到更多的方法、考到更高的分?jǐn)?shù)，也難以引發(fā)學(xué)生的共鳴，更談不上“心向往之”．正如德國(guó)哲學(xué)家雅思貝爾斯所言，“教育就是一棵樹(shù)搖動(dòng)另一棵樹(shù)，一朵云推動(dòng)另一朵云，一個(gè)靈魂喚醒另一個(gè)靈魂．”知識(shí)和技能只有進(jìn)入學(xué)生的情感和思維，凝聚為個(gè)體生命的智慧和精神時(shí)，才有可能在學(xué)生心靈深處相遇、融匯．于是深度教學(xué)需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)真實(shí)靈動(dòng)的情境，以境啟知由知怡情，走進(jìn)學(xué)生心靈深處，以深刻的思想啟迪學(xué)生．

案例1 函數(shù)周期性的教學(xué)

“周而復(fù)始”的變化規(guī)律可以用周期性這個(gè)概念來(lái)實(shí)行定量的刻畫(huà)，然而學(xué)生對(duì)于周期T和周期函數(shù)的概念理解需要一個(gè)過(guò)程．于是需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，呈現(xiàn)足夠豐富的樣例，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)經(jīng)歷從“形”的認(rèn)識(shí)到“數(shù)”的刻畫(huà)的過(guò)渡；而創(chuàng)設(shè)情境時(shí)，不僅限于簡(jiǎn)單的基本三角函數(shù)，如y=sinx、y=cos2x等，還要有相對(duì)復(fù)雜的函數(shù)(只限于圖形的認(rèn)識(shí)，暫不涉及具體周期的求解)，如h(x)=2sin(3x)+cos(2x)等．從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的過(guò)渡，可以保證學(xué)生對(duì)周期性有全面而深刻的認(rèn)識(shí)．事實(shí)上，周期性并不只是三角函數(shù)所獨(dú)有的，在經(jīng)歷周期性的學(xué)習(xí)后，可借助于軟件來(lái)構(gòu)造一些函數(shù)，這對(duì)學(xué)生的深度理解是不可或缺的．

情境在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中有著極其重要的作用，借助于現(xiàn)代教育技術(shù)創(chuàng)設(shè)靈動(dòng)的數(shù)學(xué)情境，為學(xué)生的數(shù)學(xué)理解構(gòu)建一條件場(chǎng)域，為真實(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為開(kāi)辟路徑、啟發(fā)思考，從而保證我們的教學(xué)真正走進(jìn)學(xué)生情感和思維深處．當(dāng)然，數(shù)學(xué)情境不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的背景，也內(nèi)嵌有數(shù)學(xué)思想方法的表達(dá)；它不僅能激發(fā)數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出，也能為數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決提供信息和依據(jù)[6]．這樣的情境創(chuàng)設(shè)自然離不開(kāi)教師對(duì)教與學(xué)的“意義”的追問(wèn)和找尋．

2.2 聯(lián)系表征，促進(jìn)深刻理解

促進(jìn)深刻理解，需打開(kāi)學(xué)生學(xué)習(xí)與發(fā)展的內(nèi)部轉(zhuǎn)換通道，一方面，要推動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)認(rèn)知從感性走向知性和理性，即從表面的模糊的認(rèn)識(shí)走向事物聯(lián)系和事物本質(zhì)的把握和判斷，從外部的操作感知走向內(nèi)部的理解認(rèn)知．另一方面，要實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象的多元聯(lián)系表征，因?yàn)閿?shù)學(xué)概念的抽象概括性決定了單一表征往往難以充分揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，而高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的一個(gè)重要原因就是對(duì)問(wèn)題不能做出適宜的表征、不能在多種表征之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而深度教學(xué)就要凸顯多元聯(lián)系表征的優(yōu)勢(shì)，幫助學(xué)習(xí)者實(shí)現(xiàn)各種表征形式的操作與轉(zhuǎn)換．

如前所述，GeoGebra可以輕松實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的“聯(lián)系表征”，讓數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)性變得可見(jiàn)可操作，促進(jìn)深刻理解．以線(xiàn)性規(guī)劃為例，代數(shù)區(qū)中的不等式與繪圖區(qū)中的可行域直接對(duì)應(yīng)，從而為探索兩者之間的關(guān)聯(lián)提供了非常方便的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)．

案例2 阿波羅尼圓的深刻理解

我們知道，到兩定點(diǎn)A、B的距離之比為定值t(≠1)的動(dòng)點(diǎn)P軌跡為圓(通常稱(chēng)之為阿波羅尼圓，簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓)．對(duì)于阿氏圓的理解，不應(yīng)僅限于代數(shù)推演的方式確認(rèn)，而應(yīng)想辦法讓學(xué)生“看見(jiàn)”真實(shí)的圓，從而認(rèn)識(shí)到阿氏圓以MN為直徑(M、N為直線(xiàn)AB上的兩定比分點(diǎn))而非AB，這樣可以用特殊法確定阿氏圓方程．然而更深刻的問(wèn)題是，定值t是如何影響并決定阿氏圓的形狀大小的．于是有必須做進(jìn)一步的探究(通過(guò)軟件拖動(dòng)滑動(dòng)條，改變t的值)：當(dāng)t∈(0,1)，阿氏圓偏向A點(diǎn)一側(cè)(A在圓內(nèi)B在圓外)，隨著t的不斷增大，阿氏圓從A點(diǎn)往外擴(kuò)張發(fā)散(半徑增大)；當(dāng)t∈(1,+∞)時(shí)，阿氏圓偏向B點(diǎn)一側(cè)(B在圓內(nèi)A在圓外)，隨著t的增大，阿氏圓逐漸往B點(diǎn)處收斂縮進(jìn)(半徑減小)．通過(guò)這樣的動(dòng)態(tài)探究可以看到阿氏圓的全貌，即從A點(diǎn)處生長(zhǎng)到B點(diǎn)處消亡、從偏A一隅逐漸擴(kuò)張到居B一側(cè)逐漸收縮(其中的分界恰為t=1時(shí)的垂直平分線(xiàn)，可謂涇渭分明)．既可以從整體上聯(lián)系思考把握阿氏圓的變化特征，也可幫助學(xué)生在具體問(wèn)題求解時(shí)迅速確認(rèn)阿氏圓的位置形狀．

借助數(shù)學(xué)軟件開(kāi)展數(shù)學(xué)探究，可以實(shí)現(xiàn)同一數(shù)學(xué)對(duì)象的不同表征方式的多元呈現(xiàn)，不但可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的“美”(美妙)，更可創(chuàng)設(shè)情況體會(huì)數(shù)學(xué)的“真”(真實(shí))；當(dāng)然推動(dòng)學(xué)生的深刻理解，需要關(guān)注不同表征形式的“同現(xiàn)”，更要重視有內(nèi)在聯(lián)系的“共生”，以此達(dá)成表征系統(tǒng)內(nèi)轉(zhuǎn)換與系統(tǒng)間轉(zhuǎn)譯的“水到渠成”．

2.3 實(shí)驗(yàn)探究，推動(dòng)自主發(fā)現(xiàn)

教是為了學(xué)，深度教學(xué)需要為學(xué)生打開(kāi)一扇窗戶(hù)，讓學(xué)生透過(guò)這扇窗戶(hù)，去發(fā)現(xiàn)無(wú)限的世界．而推動(dòng)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)離不開(kāi)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的土壤，通過(guò)實(shí)驗(yàn)手段來(lái)學(xué)習(xí)、驗(yàn)證和發(fā)展數(shù)學(xué)，可以將抽象的結(jié)論寓于其中，使學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)從具體到抽象的過(guò)程，從而見(jiàn)到數(shù)學(xué)的全貌；在問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、方法的形成、知識(shí)體系的構(gòu)建過(guò)程中，讓學(xué)生感悟蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法．

案例3 二分法求方程近似解的實(shí)驗(yàn)探究

掌握算法的關(guān)鍵在于算理的思考，如果只是采用“告訴”的方式教學(xué)，精妙的數(shù)學(xué)思想只會(huì)淹沒(méi)在繁雜的形式演算之中．讓學(xué)生在軟件界面上自行選擇方程和初始有解區(qū)間(以方程x3-3x+1=0和初始區(qū)間(1,2)為例)，面對(duì)長(zhǎng)度遞減的系列有解區(qū)間：(1,2)→(1.5,2)→(1.5,1.75)→(1.5,1.625)→(1.5,1.563)→(1.531,1.563)→(1.531,1.547)→…二分的含義自然可以“呼之欲出”，而方程近似解也在“不言中”．事實(shí)上，這樣的實(shí)驗(yàn)可以簡(jiǎn)單重復(fù)，面對(duì)豐富的素材和樣例，學(xué)生自然會(huì)追問(wèn)如何二分、為何可以二分，查看相應(yīng)數(shù)學(xué)對(duì)象的屬性，“零點(diǎn)存在定理”便可以“浮出水面”．

借助于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程，在“做”中理解數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，而不是簡(jiǎn)單的應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題，可以讓原先枯燥無(wú)味的數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理變得鮮活起來(lái)；正是有學(xué)生的親身參與，這樣的教學(xué)更能走進(jìn)學(xué)生的內(nèi)心深處，從直觀、想象到猜想、發(fā)現(xiàn)，“做”數(shù)學(xué)的過(guò)程中豐富感知，在直觀感知的基礎(chǔ)上建立表象，在表象提取與運(yùn)用中發(fā)展想象．值得說(shuō)明的是，GeoGebra創(chuàng)設(shè)的實(shí)驗(yàn)素材不僅可以發(fā)送給學(xué)生，也可直接發(fā)布到網(wǎng)上，這樣學(xué)生可以隨時(shí)隨地使用任何終端開(kāi)展實(shí)驗(yàn)探究．

2.4 聚焦主題，觸及本質(zhì)內(nèi)涵

只有從更廣泛的角度，也即用聯(lián)系的觀點(diǎn)進(jìn)行分析思考，才能達(dá)到更大的認(rèn)識(shí)深度；反之，也只有達(dá)到了更大的認(rèn)識(shí)深度，才能更好發(fā)現(xiàn)不同對(duì)象之間的聯(lián)系[5]．于是深度教學(xué)要求我們應(yīng)跳出各個(gè)細(xì)節(jié)從整體上進(jìn)行分析思考，用整體性認(rèn)識(shí)指導(dǎo)各個(gè)具體內(nèi)容的教學(xué)， 通過(guò)“結(jié)構(gòu)性教學(xué)”幫助學(xué)生學(xué)會(huì)“結(jié)構(gòu)性思維”．這就需要教師有一個(gè)整體的大單元觀，能夠按照邏輯的順序(由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由低維到高維)把握各個(gè)相關(guān)內(nèi)容，并通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的整合和教學(xué)內(nèi)容上的有意義鏈接開(kāi)展主題教學(xué)．如果將日常教學(xué)中的每個(gè)課時(shí)理解為一個(gè)一個(gè)點(diǎn)的話(huà)，那么“大單元”就是一條主線(xiàn)、一個(gè)面，而主題教學(xué)的任務(wù)則是結(jié)點(diǎn)成線(xiàn)，將無(wú)數(shù)個(gè)小點(diǎn)聯(lián)貫起來(lái)形成結(jié)構(gòu)和體系．

主題教學(xué)要求教師能從一節(jié)一節(jié)的教學(xué)中跳出來(lái)，整體把握數(shù)學(xué)課程．這樣的主題單元概念可以出現(xiàn)在章首語(yǔ)的教學(xué)中，如教學(xué)三角函數(shù)時(shí)，可以通過(guò)案例1幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)“三角函數(shù)是描述客觀世界周期性變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型”，同時(shí)也將后階段學(xué)習(xí)的角的概念推廣、三角變換等納入到函數(shù)研究的框架中(作為必要的知識(shí)準(zhǔn)備而進(jìn)行的概念推廣)，當(dāng)然也可以體現(xiàn)在章節(jié)復(fù)習(xí)課中．當(dāng)然主題單元更多的體現(xiàn)在章節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)過(guò)程中，以某段重點(diǎn)或關(guān)鍵內(nèi)容為依托，聯(lián)系相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行縱向和橫向的融通，既可以以數(shù)學(xué)中通性通法、數(shù)學(xué)思想為單元，如“函數(shù)方程思想”，也可以以重要的教學(xué)主線(xiàn)為單元，如“數(shù)的概念推廣”．

主題教學(xué)是進(jìn)入深度教學(xué)的核心．一方面需要教師本身必須對(duì)于相關(guān)內(nèi)容有深刻的理解，不僅能夠準(zhǔn)確把握相應(yīng)的“核心內(nèi)容”，還要有整體的大知識(shí)觀；另一方面，在內(nèi)容設(shè)計(jì)時(shí)，要基于學(xué)生已有認(rèn)識(shí)，符合螺旋上升的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，處理好細(xì)節(jié)與整體、“生成”與“再認(rèn)識(shí)”等關(guān)系．

3 從融合走向創(chuàng)新的思考展望

深度教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的有效路徑，也是當(dāng)下課堂教學(xué)改革向縱深推進(jìn)的實(shí)質(zhì)與方向，然而知易行難，要真正觸及學(xué)科本質(zhì)推動(dòng)學(xué)生認(rèn)知走向深層談何容易；另一方面，“重視信息技術(shù)運(yùn)用”已是共識(shí)，但如何“實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合”卻是舉步維艱．而技術(shù)應(yīng)用與深度教學(xué)的結(jié)合，恰可以讓我們“豁然開(kāi)朗”，不僅深度教學(xué)有了切實(shí)的抓手，而且技術(shù)應(yīng)用也煥然一新，從融合走向了創(chuàng)新．

3.1 技術(shù)融合，開(kāi)展深度教學(xué)的必然選擇

深度教學(xué)要求反映學(xué)科本質(zhì)，然而數(shù)學(xué)對(duì)象之間嚴(yán)格的數(shù)量關(guān)系和幾何關(guān)系、運(yùn)動(dòng)與變化中的數(shù)學(xué)規(guī)律等本身就難以把握，更何況要跳出細(xì)節(jié)從整體上思考、學(xué)會(huì)“結(jié)構(gòu)性思維”，于是借助技術(shù)的表征優(yōu)勢(shì)，為概念理解創(chuàng)設(shè)背景，為規(guī)律探索啟發(fā)思路，為問(wèn)題解決提供直觀，如案例2可以幫助學(xué)生從單個(gè)的阿氏圓認(rèn)識(shí)中跳出來(lái)整體思考，從而建立定值t與阿氏圓的直接聯(lián)系，在認(rèn)識(shí)全貌的同時(shí)保證具體問(wèn)題解決時(shí)的快速定位．事實(shí)上，技術(shù)的應(yīng)用不僅限于為深度教學(xué)提供資源，它還推動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，案例3告訴我們，技術(shù)本身就是數(shù)學(xué)，可以將 “向書(shū)本學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”變?yōu)椤跋蚣夹g(shù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開(kāi)展正可以促進(jìn)學(xué)生的自主發(fā)現(xiàn)和真正理解，從而技術(shù)支持下的教學(xué)環(huán)境為學(xué)生“沉浸”于學(xué)習(xí)提供支撐．

3.2 深度教學(xué)，創(chuàng)新技術(shù)應(yīng)用的應(yīng)然方向

技術(shù)應(yīng)用固然可以改進(jìn)我們的教與學(xué)，但技術(shù)本身只是工具，發(fā)揮技術(shù)的教育價(jià)值離不開(kāi)深度教學(xué)的理念指引，而從促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的感悟出發(fā)，恰可以為我們帶來(lái)技術(shù)本身的創(chuàng)新應(yīng)用．如案例1中所以想到構(gòu)造周期函數(shù)，也是基于深度教學(xué)的需求．事實(shí)上，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)、促進(jìn)學(xué)生高水平思維參與，就不能停留于抽象概念的簡(jiǎn)單具象化呈現(xiàn)，而需要從具體教學(xué)內(nèi)容出發(fā)，研究學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)和技術(shù)優(yōu)勢(shì)，明晰技術(shù)具體用在哪里、如何使用、為什么要使用，進(jìn)而設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)、架設(shè)橋梁以啟發(fā)思維，或理解數(shù)學(xué)內(nèi)容，或探索、發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題．所以說(shuō)，正是有了深度教學(xué)的方向引領(lǐng)，有了對(duì)“技術(shù)”、“設(shè)計(jì)”和“學(xué)習(xí)”的意義的不斷追問(wèn)和深刻理解，我們便能為技術(shù)賦予應(yīng)有的教育價(jià)值，從而為創(chuàng)造性地應(yīng)用技術(shù)開(kāi)辟道路．

“以深刻的思想啟迪學(xué)生”，讓我們的課堂散發(fā)應(yīng)有的魅力，離不開(kāi)教師自身的深度研究(研究數(shù)學(xué)、研究教學(xué)、研究學(xué)生、研究技術(shù))，唯有對(duì)學(xué)科內(nèi)容的全面深刻理解才能有課堂教學(xué)的“深入淺出”，唯有對(duì)學(xué)生學(xué)情的深度追問(wèn)才有課堂教學(xué)的“指點(diǎn)有方”，唯有對(duì)技術(shù)應(yīng)用的創(chuàng)造性理解才有課堂教學(xué)的“游刃有余”，基于此我們需要“簡(jiǎn)單問(wèn)題，深度思考，心往高處，行向遠(yuǎn)方”．