鄒佳晨 沈中宇 汪曉勤

(1.華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062;2.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 200241)

通過對(duì)最近的一屆的國際數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育會(huì)議(簡(jiǎn)稱HPM-2016)學(xué)術(shù)報(bào)告的分析表明，國際數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育(HPM)領(lǐng)域的研究取得了以下五個(gè)方面的新進(jìn)展：在實(shí)踐研究上，建立了可操作的途徑和方法；在教師專業(yè)發(fā)展的研究上，研究對(duì)象由教師擴(kuò)展到教師專業(yè)發(fā)展指導(dǎo)者；在數(shù)學(xué)文化方面，出現(xiàn)了一系列跨文化的研究；在教育取向的數(shù)學(xué)史研究方面，趣味數(shù)學(xué)進(jìn)入了研究者的視野；在理論探討上，構(gòu)建了基于數(shù)學(xué)史的問題提出的框架．基于這些新進(jìn)展，在我國HPM學(xué)術(shù)研究、數(shù)學(xué)課程修訂與教學(xué)評(píng)價(jià)、教師培訓(xùn)等方面得到了若干啟示．

從19世紀(jì)中葉開始，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之關(guān)系就已受到了人們的關(guān)注，英國數(shù)學(xué)家德摩根(A. De Morgan, 1806～1871)、美國數(shù)學(xué)史家卡約黎(F.Cajori, 1859～1930)、史密斯(D. E. Smith, 1860～1944)等對(duì)數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的價(jià)值都有較為深刻的認(rèn)識(shí)．1972年，在第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)之關(guān)系國際研究小組(International Study Group on the Relations Between the History & Pedagogy of Mathematics,簡(jiǎn)稱HPM)成立，標(biāo)志著數(shù)學(xué)史與教學(xué)教育(也簡(jiǎn)稱HPM)這一學(xué)術(shù)領(lǐng)域的誕生[1]．HPM即表示國際數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究小組，也表示一個(gè)學(xué)術(shù)領(lǐng)域．經(jīng)過40年的發(fā)展，該領(lǐng)域成果豐碩，《數(shù)學(xué)教育研究》(Educational Studies in Mathematics)[2]、《科學(xué)與教育》(Science & Education)[3]等數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的國際重要期刊都相繼出版HPM專輯．從1984年開始，歷屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)均舉辦相應(yīng)的HPM衛(wèi)星會(huì)議，至今已有9屆，最近的一屆為HPM-2016，在法國南部城市蒙彼利埃舉行．

中國大陸學(xué)術(shù)界直到2005年才真正開始關(guān)注這一領(lǐng)域[1]，全國數(shù)學(xué)史學(xué)會(huì)舉辦“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育國際研討會(huì)”，每隔兩年舉辦一次，已經(jīng)舉辦7屆．十余年來，HPM的研究文獻(xiàn)(包括研究生學(xué)位論文)逐年增多，但大多數(shù)研究仍聚焦于數(shù)學(xué)史教育價(jià)值的探討，雖然也有一些實(shí)證和實(shí)踐研究，但研究方法尚不成熟，課題也比較單一．因此，我們有必要了解國際HPM研究的新進(jìn)展，把握未來的研究方向，為當(dāng)前中國的HPM研究提供思想啟迪．

HPM-2016是國際上該領(lǐng)域最高級(jí)別的會(huì)議，會(huì)議主題包括：(1)將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的理論和概念框架；(2)數(shù)學(xué)教育中學(xué)生及教師的歷史和認(rèn)識(shí)論：班級(jí)實(shí)驗(yàn)和教學(xué)材料；(3)課程中的原始素材及其教育影響；(4)數(shù)學(xué)與科學(xué)、技術(shù)以及藝術(shù)之間的關(guān)系：歷史問題及跨學(xué)科的教與學(xué)；(5)數(shù)學(xué)和文化；(6)有關(guān)數(shù)學(xué)教育史的主題；(7)地中海國家的數(shù)學(xué)．會(huì)議共提交85個(gè)報(bào)告，其中英語報(bào)告70個(gè)，法語報(bào)告15個(gè)，報(bào)告的類型分為：大會(huì)報(bào)告(9個(gè))，討論組(3個(gè))，專題討論(2個(gè))，口頭報(bào)告(45個(gè))，工作坊(15個(gè))，海報(bào)(9份)和展覽(2個(gè))．本文選取HPM-2016的報(bào)告進(jìn)行研究分析，試圖回答以下問題：國際HPM研究有哪些新進(jìn)展？對(duì)中國HPM研究有何啟示？

1 會(huì)議內(nèi)容概述

為了更清晰地展現(xiàn)當(dāng)前國際HPM研究的現(xiàn)狀，我們將本次會(huì)議的85個(gè)報(bào)告重新分為以下6類，與已有的研究框架相吻合[4]，這6類涵蓋了會(huì)議的所有報(bào)告，且每個(gè)報(bào)告均屬于其中一類．

第一類：HPM理論探討(對(duì)應(yīng)主題1，9個(gè)報(bào)告，占10.6%)

第二類：教育取向的數(shù)學(xué)史研究(對(duì)應(yīng)主題3、主題4、主題5，32個(gè)報(bào)告，占37.7%)

第三類：教學(xué)實(shí)踐與案例開發(fā)(對(duì)應(yīng)主題2、主題3，22個(gè)報(bào)告，占25.9%)

第四類：HPM與教師專業(yè)發(fā)展(對(duì)應(yīng)主題2、主題3，8個(gè)報(bào)告，占9.4%)

第五類：數(shù)學(xué)教育史研究(對(duì)應(yīng)主題6，9個(gè)報(bào)告，占10.6%)

第六類：地中海國家的數(shù)學(xué)(對(duì)應(yīng)主題7，5個(gè)報(bào)告，占5.8%)

由此可見，有關(guān)教育取向的數(shù)學(xué)史研究和教學(xué)實(shí)踐與案例開發(fā)的報(bào)告較多，占比達(dá)63.6%．下面我們以每類中的典型報(bào)告為例，分析國際HPM研究的現(xiàn)狀．

HPM理論探討主要解決“為何”與“如何”的問題，對(duì)HPM教學(xué)實(shí)踐具有指導(dǎo)意義．這一主題在HPM的早期歷史上頗為流行，但主要停留在思辨層面上．如今，隨著HPM研究的深入，HPM理論探討已經(jīng)與教學(xué)實(shí)踐相結(jié)合，建立在科學(xué)研究方法的基礎(chǔ)之上．HPM理論研究在歐美的探討已經(jīng)較為深刻，形成了一些常用的理論框架，以色列本古里安大學(xué)的Fried、加拿大渥太華大學(xué)的Guillemette和德國杜伊斯堡大學(xué)的Jahnke三人圍繞著數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的理論框架的構(gòu)建展開討論．從詮釋學(xué)和生活經(jīng)驗(yàn)兩個(gè)角度將當(dāng)前的HPM理論分為兩類，即分別從心理層面和社會(huì)文化層面分析數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教育的價(jià)值[5]．對(duì)于數(shù)學(xué)史的應(yīng)用方式，研究者結(jié)合“任務(wù)設(shè)計(jì)”以及“問題提出”等方面展開了深入的研究．

教育取向的數(shù)學(xué)史研究是以服務(wù)教育為目的，針對(duì)數(shù)學(xué)課程中涉及的概念、公式、定理、問題的歷史所進(jìn)行的文獻(xiàn)研究．這類研究是HPM領(lǐng)域的重要特色，為數(shù)學(xué)史在教學(xué)中的運(yùn)用提供了豐富的素材．本次會(huì)議的報(bào)告中，教育取向的數(shù)學(xué)史研究數(shù)量最多且種類豐富，可以分為歷史發(fā)展研究(12個(gè))、數(shù)學(xué)與文化(4個(gè))、數(shù)學(xué)與娛樂(3個(gè))、數(shù)學(xué)與藝術(shù)(3個(gè))、數(shù)學(xué)與技術(shù)(7個(gè))、數(shù)學(xué)人物(3個(gè))，其中以歷史發(fā)展研究居多．如法國數(shù)學(xué)教育研究所(IREM)的Keller通過兩個(gè)工作坊分別對(duì)史前的幾何和算術(shù)進(jìn)行了研究．幾何方面，考察了舊石器時(shí)代、洞穴和裝飾物藝術(shù)中的幾何[6]；算術(shù)方面，分析了從一到多、量的概念以及數(shù)系之間的關(guān)系，對(duì)原始社會(huì)中數(shù)字的產(chǎn)生進(jìn)行了考察[7]．從這類報(bào)告中可以看出，國際上對(duì)于教育取向的數(shù)學(xué)史研究的理解非常多元，呈現(xiàn)出跨學(xué)科的特點(diǎn)，同時(shí)也關(guān)注發(fā)掘本土文化的特色．

教學(xué)實(shí)踐與課例開發(fā)是指將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐研究，旨在通過促進(jìn)知識(shí)理解、增加學(xué)習(xí)興趣等來改善數(shù)學(xué)教學(xué)．意大利數(shù)學(xué)教育實(shí)驗(yàn)室的Longoni等人針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)概念的困難，通過探究歷史上分?jǐn)?shù)概念的起源，對(duì)小學(xué)三年級(jí)實(shí)施了分?jǐn)?shù)教學(xué)實(shí)驗(yàn)，以此促進(jìn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的理解[8]．臺(tái)灣勤益科技大學(xué)的劉柏宏則將數(shù)學(xué)小說運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，以此來改善學(xué)生的數(shù)學(xué)信念[9]．從這類報(bào)告中可以看出，研究者十分關(guān)注數(shù)學(xué)史自身的價(jià)值，同時(shí)，由于國情、學(xué)情、課程目標(biāo)的差異，不同國家的教學(xué)實(shí)踐有著不同的特色．

HPM與教師專業(yè)發(fā)展之間的關(guān)系是HPM的重要研究課題之一．美國佛羅里達(dá)州立大學(xué)的Clark和德國吉森大學(xué)的Schorcht主持的討論組就在教師教育中為什么要使用數(shù)學(xué)史、有哪些困難、對(duì)教師有何價(jià)值、如何開展相關(guān)活動(dòng)等相關(guān)主題進(jìn)行了熱烈的討論[10]．HPM與教師專業(yè)發(fā)展的研究雖然起步較晚，理論基礎(chǔ)相對(duì)匱乏，但已有學(xué)者在這方面進(jìn)行了深入的研究．

數(shù)學(xué)教育史的研究主要關(guān)注某一階段、某個(gè)國家或地區(qū)的數(shù)學(xué)教育發(fā)展歷程．包括歷史上數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)教育家的教育思想和該國或該地區(qū)的數(shù)學(xué)教育發(fā)展情況．如荷蘭代爾夫特理工大學(xué)的Smid考察了著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾(H. Freudenthal, 1905-1990)的早年經(jīng)歷，并分析了其對(duì)弗賴登塔爾之后數(shù)學(xué)教育思想的影響[11]．冰島大學(xué)的Bjarnadottir通過冰島大學(xué)入學(xué)考試試題的變化探討了新數(shù)運(yùn)動(dòng)對(duì)冰島數(shù)學(xué)教育的影響[12]．

地中海國家的數(shù)學(xué)史是本次會(huì)議的專題．法國里爾大學(xué)的Djebbar追溯了地中海地區(qū)的數(shù)學(xué)發(fā)展史，考察了該地區(qū)與周邊地區(qū)的數(shù)學(xué)傳播與交流[13]．會(huì)議還安排了地中海地區(qū)數(shù)學(xué)成就的主題展覽．

2 HPM研究新進(jìn)展

通過對(duì)HPM-2016的報(bào)告進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)國際HPM研究的一些新進(jìn)展．

2.1 新方法：從理論到實(shí)踐

隨著研究的深入，研究者漸漸開始從“為何”使用數(shù)學(xué)史轉(zhuǎn)向到了“如何”在課堂中使用數(shù)學(xué)史，從而切實(shí)地改善數(shù)學(xué)教學(xué)，在此基礎(chǔ)上，HPM視角下的教學(xué)實(shí)踐和案例開發(fā)漸漸增多．本次會(huì)議中，來自法國、中國大陸和臺(tái)灣的研究者的報(bào)告呈現(xiàn)出豐富的實(shí)踐特色，提供了新的實(shí)踐維度．

法國巴黎狄德羅大學(xué)的Chorlay的報(bào)告介紹了兩個(gè)HPM教學(xué)案例：一是將德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨(G. W. Leibniz, 1646～1716)的一封關(guān)于概率計(jì)算的信函，用于中學(xué)生概率論起始課教學(xué)；二是將起源于印度、十五世紀(jì)流行于歐洲的多位正整數(shù)相乘的格子算法，用于小學(xué)高年級(jí)學(xué)生的乘法教學(xué)．兩個(gè)案例的教學(xué)過程均由以下四個(gè)步驟構(gòu)成：呈現(xiàn)史料、學(xué)生探究、課堂交流、古今對(duì)比．通過學(xué)生的反饋，得出數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂的教育價(jià)值[14]．

中國大陸的HPM研究團(tuán)隊(duì)在本次會(huì)議上以工作坊的形式展示了三個(gè)HPM教學(xué)案例．案例“三角形內(nèi)角和”引導(dǎo)初中生沿著歷史上數(shù)學(xué)家的足跡去發(fā)現(xiàn)并證明三角形內(nèi)角和定理；案例“函數(shù)的概念”借鑒函數(shù)概念的歷史演進(jìn)過程，以問題串引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)定義的發(fā)展歷程，促進(jìn)學(xué)生對(duì)高中函數(shù)新定義的理解；案例“棱柱的概念”則通過讓學(xué)生給棱柱下定義并對(duì)其進(jìn)行辨析和改進(jìn)，從而讓學(xué)生經(jīng)歷棱柱定義從不完善到完善的過程，學(xué)生在理解棱柱概念時(shí)顯示出驚人的歷史相似性．三個(gè)案例呈現(xiàn)了中國大陸HPM案例開發(fā)的策略和特點(diǎn)[15]．

中國臺(tái)灣的蘇意雯、英家銘、黃俊瑋和陳玉芬以數(shù)學(xué)敘事的形式，分別在大學(xué)、高中和初中三個(gè)學(xué)段開展了融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)實(shí)踐研究．這里的數(shù)學(xué)敘事是指通過敘事的方式交流與建構(gòu)數(shù)學(xué)意義或理解．大學(xué)案例圍繞海倫公式展開，高中案例圍繞歐拉公式展開，初中案例則圍繞數(shù)學(xué)文化活動(dòng)展開．諸案例的教學(xué)過程包括呈現(xiàn)原始文獻(xiàn)、展開數(shù)學(xué)交流、構(gòu)建數(shù)學(xué)思想等環(huán)節(jié)，最后，研究者通過學(xué)生的反饋信息，得出數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值[16]．

數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐探索是HPM研究領(lǐng)域最受關(guān)注的課題．雖然文化差異導(dǎo)致HPM教學(xué)策略、價(jià)值取向的不同，但這些實(shí)踐研究都豐富和拓展了HPM的研究方法．

2.2 新方向：教師教育者的專業(yè)發(fā)展

HPM與教師專業(yè)發(fā)展是關(guān)于數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展影響的研究，是HPM的重要研究課題之一[17]．該主題的研究起步較晚，主要探討職前與在職數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展．從教師專業(yè)發(fā)展的角度，美國數(shù)學(xué)教育家Ball提出了面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)(Mathematical Knowledge for Teaching ，簡(jiǎn)稱MKT)理論，其中指出數(shù)學(xué)教師所需要的知識(shí)由六部分組成，即一般內(nèi)容知識(shí)(CCK)、水平內(nèi)容知識(shí)(HCK)、專門內(nèi)容知識(shí)(SCK)、內(nèi)容與學(xué)生知識(shí)(KCS)、內(nèi)容與教學(xué)知識(shí)(KCT)和內(nèi)容與課程知識(shí)(KCC)．那么，培訓(xùn)教師的教師教育者需要什么知識(shí)？Zopf[18]和Kim[19]在MKT理論的基礎(chǔ)上開始研究面向教師教育的數(shù)學(xué)知識(shí)(Mathematical Knowledge for Teaching Teachers，簡(jiǎn)稱MKTT)，即教師教育者所需要的知識(shí)．他們認(rèn)為，MKTT中包含MKT中的特殊知識(shí)，以及數(shù)學(xué)學(xué)科本身的知識(shí)，其中數(shù)學(xué)學(xué)科本身的知識(shí)包含“數(shù)學(xué)定義、性質(zhì)、定理等數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方面的知識(shí)”，還包含“對(duì)學(xué)科知識(shí)本質(zhì)的理解，包括學(xué)科知識(shí)的來源、演進(jìn)和創(chuàng)立”．

此次會(huì)議中，丹麥奧胡斯大學(xué)的Jankvist關(guān)注數(shù)學(xué)史與教師教育者所需要的知識(shí)之間的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)史在教師教育者培訓(xùn)中的重要性，拓展了HPM與教師專業(yè)發(fā)展之間關(guān)系的研究方向．

為了揭示數(shù)學(xué)史與MKTT之間的關(guān)系，Jankvist在丹麥奧胡斯大學(xué)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，在四名教師教育者的培訓(xùn)課程中加入數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)史知識(shí)對(duì)他們MKTT的影響進(jìn)行了考察．實(shí)施培訓(xùn)課程后發(fā)現(xiàn)，學(xué)員們?cè)贛KTT的兩部分知識(shí)上都得到了增強(qiáng)，一方面，通過對(duì)數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，學(xué)員重溫以前學(xué)過但已遺忘的數(shù)學(xué)知識(shí)，另一方面，通過考慮數(shù)學(xué)史在教與學(xué)方面的融入，MKT知識(shí)也得到了增強(qiáng)，從學(xué)生所完成的作業(yè)可見，MKT中的水平內(nèi)容知識(shí)(HCK)和內(nèi)容與教學(xué)知識(shí)(KCT)與MKTT之間的聯(lián)系最為密切[20]．

從本報(bào)告可見，數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教師教育者的培訓(xùn)、發(fā)展他們的MKTT方面有著重要的作用，這是一個(gè)值得研究的新方向．

2.3 新視角：跨文化的研究

HPM本身就橫跨了歷史與教育兩大學(xué)科，隨著研究的發(fā)展，HPM中所具有的跨文化特點(diǎn)日益明顯，這已成為HPM在史料挖掘和教學(xué)實(shí)踐上的重要發(fā)展趨勢(shì)．本次會(huì)議的報(bào)告為我們帶來了跨學(xué)科、跨民族和跨地域的新視角．

從跨學(xué)科的角度，希臘克里特大學(xué)的Tzanakis從數(shù)學(xué)和物理兩門學(xué)科的本質(zhì)、歷史發(fā)展、認(rèn)識(shí)論基礎(chǔ)三方面揭示了兩者之間的深刻聯(lián)系．在此基礎(chǔ)上，通過歷史上地球周長的測(cè)量等例子說明如何將數(shù)學(xué)史或物理學(xué)史融入這兩門學(xué)科的教學(xué)中，以促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)[21]．巴西圣保羅大學(xué)的Abdounur對(duì)西方歷史上數(shù)學(xué)與音樂理論之間的聯(lián)系進(jìn)行了探討[22]，英國巴斯思巴大學(xué)的Ranson對(duì)牛頓(I. Newton, 1643～1727)的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)進(jìn)行了展示，其中采用英國詩人、畫家布萊克(W. Blake, 1757～1821)的牛頓畫像作為教學(xué)的材料[23]．

從跨民族的角度，此次會(huì)議的報(bào)告更重視本國不同民族的數(shù)學(xué)文化的挖掘，在HPM與民族文化之間建立深刻的聯(lián)系．如秘魯卡耶塔諾迪亞大學(xué)的Bonilla[24]的報(bào)告首先提到，秘魯是一個(gè)多語言、多文化的國家，因此形成了一個(gè)多語言多文化的教育系統(tǒng)，在此背景下，學(xué)生的成績并不理想，而教學(xué)脫離民族文化的背景是其原因之一．因此，Bonilla在教學(xué)中融入本土民族的文化元素(包括一些古代的數(shù)字系統(tǒng))，并嘗試用動(dòng)態(tài)幾何軟件繪制帶有民族元素的幾何圖案．實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，學(xué)生的算術(shù)與幾何成績有了一定的提升，更重要的是，增強(qiáng)了學(xué)生的自信心．

從跨地域的角度，中國香港大學(xué)的蕭文強(qiáng)追溯了明清之際中西數(shù)學(xué)交流的三次高潮：第一次為徐光啟(1562～1633)和利瑪竇(M. Ricci, 1552～1610)翻譯《幾何原本》(前六卷)，第二次為康熙皇帝學(xué)習(xí)西方數(shù)學(xué)文化，第三次為李善蘭(1811～1882)和偉烈亞力(A. Wylie, 1815～1887)等翻譯西方微積分、解析幾何等著作．最后，報(bào)告引用明代數(shù)學(xué)家李之藻(1565～1630)在利瑪竇所編《天主實(shí)義》重印版序言中的“東海西海，心同理同．所不同者，特言語文字之際”作為總結(jié)[25]．

2.4 新素材：趣味數(shù)學(xué)作為課堂素材

教育取向的數(shù)學(xué)史研究是HPM研究的基礎(chǔ)，沒有歷史研究，HPM實(shí)踐研究就成了無米之炊．本次會(huì)議的若干報(bào)告對(duì)數(shù)學(xué)史上的趣味數(shù)學(xué)著作進(jìn)行深入研究，為HPM實(shí)踐提供了新的素材．

法國南特大學(xué)的Barbin和法國狄德羅大學(xué)的Guitart對(duì)19世紀(jì)法國數(shù)學(xué)中興起的趣味數(shù)學(xué)熱進(jìn)行研究．他們分別選取法國數(shù)學(xué)家盧卡斯(é. Lucas, 1842～1891)、富雷(é. Fourrey, 1869～?)和萊桑(C.-A. Laisant, 1841～1920)的有關(guān)著作，從歷史、教學(xué)和數(shù)學(xué)三個(gè)維度對(duì)其中的趣味數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析，并指出這三個(gè)維度不可分割．例如，盧卡斯在其《趣味算術(shù)》中運(yùn)用幾何方法來解決古代遺產(chǎn)分配問題，實(shí)現(xiàn)算術(shù)與代數(shù)問題解法的可視化[26]．可見這些趣味數(shù)學(xué)問題不僅僅供人消遣，而是富有思想啟迪，具有重要的教育價(jià)值．

2.5 新框架：基于數(shù)學(xué)史的問題提出

迄今為止，HPM的理論探討主要涉及“為何”與“如何”問題，歐美學(xué)者已提出一系列較為成熟的框架．來自中國大陸的汪曉勤則首次將HPM與問題提出結(jié)合起來，構(gòu)建了基于數(shù)學(xué)史的問題提出(History Based Problem Posing，簡(jiǎn)稱HBPP)框架．

數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的方式可分成附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式四種，其中復(fù)制式是直接采用歷史上的數(shù)學(xué)問題，順應(yīng)式是基于歷史材料或歷史上數(shù)學(xué)問題對(duì)其進(jìn)行改編，重構(gòu)式是基于歷史順序、心理順序和邏輯順序進(jìn)行教學(xué)，在教學(xué)中表現(xiàn)為設(shè)置一系列由易至難、環(huán)環(huán)相扣的數(shù)學(xué)問題．因此，基于數(shù)學(xué)史的問題提出在HPM教學(xué)實(shí)踐中不可或缺．

美國學(xué)者Silver等人的研究表明，根據(jù)已知問題提出新問題的具體策略有四種：條件操作(改變已知條件)、目標(biāo)操作(改變問題的目標(biāo))、對(duì)稱性(將已知條件和目標(biāo)互換)、鏈接(對(duì)現(xiàn)有問題進(jìn)行擴(kuò)充，新問題的解決依賴于已有問題的解決)[27]．結(jié)合數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的方式，汪曉勤將基于數(shù)學(xué)史料的問題提出策略分成七種：再現(xiàn)式、自由式、情境式、條件式、結(jié)論式、對(duì)稱式、鏈接式．

“再現(xiàn)式”策略就是直接采用數(shù)學(xué)史上“原汁原味”的問題，對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)史運(yùn)用方式是復(fù)制式，即數(shù)學(xué)史料本身是數(shù)學(xué)問題．“自由式”策略是根據(jù)一則數(shù)學(xué)史料(如歷史上的數(shù)學(xué)故事、數(shù)學(xué)方法等)來提出數(shù)學(xué)問題，問題的條件和結(jié)論可根據(jù)教學(xué)需要自由選擇．“情境式”策略是對(duì)歷史上數(shù)學(xué)問題的情境進(jìn)行改編、或增加符合學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的情境，而保持已知條件和所求項(xiàng)不變．對(duì)歷史上數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論進(jìn)行改編來提出新問題，分別為“條件式”策略和“結(jié)論式”策略．將歷史上數(shù)學(xué)問題中的條件和結(jié)論進(jìn)行互換，從而提出新的問題，這種策略稱為“對(duì)稱式”．將歷史上數(shù)學(xué)問題的結(jié)論作為新的條件來提出問題，這種策略稱為“鏈接式”．這些方式對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)史運(yùn)用方式是順應(yīng)式和重構(gòu)式．

3 若干啟示

從國際HPM研究的新進(jìn)展中可以發(fā)現(xiàn)，HPM這一學(xué)術(shù)領(lǐng)域目前已進(jìn)入蓬勃發(fā)展時(shí)期，在理論探索、研究方法、研究框架等方面有一定的突破，為教育教學(xué)研究和實(shí)踐提供了豐富的視角和素材，可以說，HPM為溝通歷史與教育兩大學(xué)科架設(shè)了一座橋梁．同時(shí)，我們得到了一些對(duì)中國HPM研究的啟示．

3.1 加強(qiáng)教育取向的歷史研究

教育取向的數(shù)學(xué)史研究是HPM研究的基礎(chǔ)，盡管國內(nèi)HPM文獻(xiàn)很多，但在此方面的研究相對(duì)較少，本次會(huì)議中教育取向的歷史研究十分豐富，如十九世紀(jì)法國的趣味數(shù)學(xué)著作．此外，本次會(huì)議還關(guān)注到一些跨學(xué)科，跨民族的歷史素材，如布萊克繪畫中的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)與物理、數(shù)學(xué)與音樂之間的聯(lián)系，帶有民族特色的幾何圖案等．

HPM研究需要擴(kuò)大教育取向的歷史研究，這就要求數(shù)學(xué)史的學(xué)者能夠多做教育取向的歷史研究，HPM研究者能進(jìn)行原始文本的歷史研究，而不是僅僅依賴于二手文獻(xiàn)．美國數(shù)學(xué)家洛維特(E. O. Lovett, 1871～1957)說過：“二手思想就像二手書本和二手衣服一樣充滿細(xì)菌．”[28]本次會(huì)議上，國際HPM主席、加拿大勞倫森大學(xué)的Radford的報(bào)告亦為原始文獻(xiàn)的研究，充分說明了HPM領(lǐng)域?qū)τ谠嘉墨I(xiàn)的重視[29]．

另一方面，我們從原始材料中可以獲得豐富的教學(xué)素材．目前，國內(nèi)關(guān)于西方早期教科書的研究，取得了一定的成果，但在進(jìn)行HPM實(shí)踐時(shí)仍時(shí)常出現(xiàn)“巧婦難為無米之炊”的現(xiàn)象，因此需要繼續(xù)此方面的研究．

3.2 數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課程與教學(xué)評(píng)價(jià)

教育部2017年高考內(nèi)容修訂意見提出：要充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導(dǎo)向作用，增加中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考核內(nèi)容，并要求在數(shù)學(xué)中增加數(shù)學(xué)文化內(nèi)容．因此，數(shù)學(xué)史融入高考命題受到人們的極大關(guān)注．然而，對(duì)近十年來的高考試題的分析可以發(fā)現(xiàn)，基于數(shù)學(xué)史材料的高考命題策略非常單一，所用史料也十分有限．本次會(huì)議中HBPP框架的提出，對(duì)于豐富和完善高考數(shù)學(xué)命題，乃至中小學(xué)數(shù)學(xué)訓(xùn)練系統(tǒng)，有著很好的指導(dǎo)意義；同時(shí)，教育取向的數(shù)學(xué)史研究成果也可以為高考命題提供更豐富的材料．

3.3 數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

目前國內(nèi)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的研究方興未艾，如何正確理解數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[30-31]，并在數(shù)學(xué)課程中落實(shí)核心素養(yǎng)[32]，得到越來越多學(xué)者的關(guān)注[33]．而HPM實(shí)踐研究表明，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)改善學(xué)生的情感和信念有著顯著的促進(jìn)作用，因此，HPM研究可以為完善我國數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的結(jié)構(gòu)提供有力參考．?dāng)?shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)系之研究，亦是未來HPM研究的重要課題之一．

3.4 HPM與數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)

盡管HPM受到國內(nèi)學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注，但是HPM對(duì)于國內(nèi)大多數(shù)數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展指導(dǎo)者來說還是一個(gè)陌生的領(lǐng)域．本次會(huì)議的相關(guān)報(bào)告顯示，HPM對(duì)教師專業(yè)發(fā)展指導(dǎo)者具有積極的作用，而教師專業(yè)發(fā)展指導(dǎo)者往往對(duì)教師的專業(yè)發(fā)展以及教育教學(xué)的改革作用巨大，因此，有必要加強(qiáng)對(duì)教師專業(yè)發(fā)展指導(dǎo)者的HPM培訓(xùn)．MKTT理論與HPM之間的聯(lián)系，可以為這方面的研究與實(shí)踐提供重要借鑒．