陳潔怡,涂俐蘭,余 東

(武漢科技大學(xué)冶金工業(yè)過程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北武漢 430065)

(武漢科技大學(xué)理學(xué)院,湖北武漢 430065)

1 引言

2008 年美國的關(guān)鍵基礎(chǔ)設(shè)施報(bào)告指出“理解跨部門基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)之間的相互依賴和相互作用, 對于評估整個(gè)關(guān)鍵基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)的恢復(fù)能力或魯棒性至關(guān)重要”[1].為了更好地理解現(xiàn)今社會中的重要的基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)之間的相互作用, Buldyrev 等人[2]首次在數(shù)學(xué)的框架下研究了兩個(gè)相互依賴的設(shè)施系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性與級聯(lián)失效.他們的分析方法主要基于單網(wǎng)絡(luò)滲流和單網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu), 從而打開了利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)工具研究相互依賴設(shè)施系統(tǒng)的大門.

相互依存網(wǎng)絡(luò)是由若干不同性質(zhì)、不同尺度的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)由相互依存關(guān)系耦合成的網(wǎng)絡(luò),所以它仍然可看作是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò), 是一種網(wǎng)絡(luò)中的網(wǎng)絡(luò).在過去的二十年里, 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)科學(xué)中的相互依賴、相互作用研究領(lǐng)域吸引了大批科技工作者的關(guān)注[3?13].不只是因?yàn)檫@種相互依賴關(guān)系存在于基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)中, 它還廣泛存在于社會、經(jīng)濟(jì)、工程和生物系統(tǒng)中.網(wǎng)絡(luò)的相互作用關(guān)系由網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)來表達(dá).網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)決定了網(wǎng)絡(luò)的功能.相互依存網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)包括子網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和骨干結(jié)構(gòu)(即子網(wǎng)間結(jié)構(gòu)).相比較而言, 骨干結(jié)構(gòu)扮演著更重要的角色.一個(gè)自然的且?guī)в刑魬?zhàn)性的問題是: 對于相互依存網(wǎng)絡(luò), 它的骨干結(jié)構(gòu)是怎樣的, 如何識別, 如何挖掘？

結(jié)構(gòu)信息的挖掘問題一直是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)科學(xué)中的熱點(diǎn)問題.它主要涉及兩個(gè)問題: 一是結(jié)構(gòu)預(yù)測問題, 即從現(xiàn)有觀察中出發(fā), 挖掘網(wǎng)絡(luò)中的缺失信息, 進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)演化預(yù)測; 二是從動力學(xué)表征挖掘網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).迄今為止, 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)信息挖掘和識別已經(jīng)有一系列的研究成果[14?25].Zhang 等人[14]通過結(jié)合新的模塊化功能來識別復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的重疊社區(qū); Liu 等人[15]探討了具有時(shí)滯的一般不確定復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)識別和參數(shù)識別; Sun 等人[16]利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)和連邊的特征來描述蛋白質(zhì), 通過分析、識別蛋白質(zhì)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)獲得蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)的最好表達(dá); Wu 等人[17]研究了在隨機(jī)噪聲下, 時(shí)滯/非時(shí)滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的未知結(jié)構(gòu)恢復(fù)問題; Gui等人[18]提出了一種新的可擴(kuò)展算法, 用于識別全基因組基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)(GRN) 結(jié)構(gòu); Zhou等人[19]通過引入輔助系統(tǒng), 提出了兩種具有耦合時(shí)延的復(fù)雜時(shí)空網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間拓?fù)渥R別方法.

一直以來, 利用動力學(xué)來挖掘結(jié)構(gòu)信息是主流方法, 它的基本思想是基于同步控制.文獻(xiàn)[20–27]都是通過設(shè)置合適的控制器, 在使得復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)達(dá)到同步的同時(shí), 獲得各種復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的識別.

然而, 上述現(xiàn)有結(jié)果的研究對象都是單個(gè)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò), 現(xiàn)今, 對相互依存網(wǎng)絡(luò)甚至網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)識別研究少之又少[28].基于以上, 本文將研究由兩個(gè)子網(wǎng)構(gòu)成的有向相互依存網(wǎng)絡(luò)的骨干結(jié)構(gòu)識別問題.在該網(wǎng)絡(luò)中, 本文只考慮子網(wǎng)間的耦合連接, 不涉及子網(wǎng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu).基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論、自適應(yīng)反饋控制技術(shù)和LMI 方法, 本文對響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)施加合適的自適應(yīng)控制器, 從理論上提出了使得驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到同步的充分條件.這些條件簡單易行, 而且利用這些條件, 可同時(shí)識別出驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)中的有向骨干結(jié)構(gòu).

2 預(yù)備知識

給定一個(gè)有向相互依存網(wǎng)絡(luò), 它由節(jié)點(diǎn)數(shù)分別為N的子網(wǎng)G1和子網(wǎng)G2在相互依賴關(guān)系下構(gòu)成.網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程可表示為

其中M是具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣.

注1本文的研究對象是網(wǎng)絡(luò)(2.1).本文的研究目標(biāo)是: 在控制器的作用下, 如何識別出網(wǎng)絡(luò)(2.1) 的骨干結(jié)構(gòu)即外部耦合矩陣

為了識別出骨干結(jié)構(gòu), 本文將在李雅普諾夫穩(wěn)定性理論的框架下, 利用自適應(yīng)同步控制技術(shù)和LMI 方法, 使得網(wǎng)絡(luò)達(dá)到同步的同時(shí), 獲得拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的識別.假設(shè)網(wǎng)絡(luò)(2.1) 為驅(qū)動網(wǎng)絡(luò), 再設(shè)響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)為

注2在結(jié)構(gòu)識別過程中, 本文的研究目標(biāo)轉(zhuǎn)化為構(gòu)造出合適的自適應(yīng)控制器和使得驅(qū)動網(wǎng)絡(luò) (2.1) 和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò) (2.3) 達(dá)到自適應(yīng)同步, 即滿足

注3若令則本文結(jié)構(gòu)識別的目標(biāo)是在獲得式(2.6) 成立的同時(shí), 滿足

為了更好地說明所做出的的理論結(jié)果, 下面給出本文需要用到的幾個(gè)假設(shè)和引理.

假設(shè)1本文總假設(shè)I為具有適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣, 同時(shí)設(shè)文中所用到的范數(shù)為2 -范數(shù).

假設(shè) 2設(shè)F(t,e(t)) =f(t,y(t))?f(t,x(t)),G(t,e(t)) =g(t,y(t))?g(t,x(t)), 則由函數(shù)的有界性, 假設(shè)存在正數(shù)L1和L2, 使得成立.

假設(shè)3若令類似地, 假設(shè)存在常數(shù)L3>0, 總有

引理1[29]對于任意向量x,y ∈Rn和正定矩陣T ∈Rn×n, 下面的矩陣不等式成立

引理2[30]假設(shè)Q(x) =Q(x)T,R(x) =R(x)T和S(x) 都是x的矩陣函數(shù), 下列線性矩陣不等式等價(jià)于下列條件中的任何一個(gè)

(1)R(x)<0,Q(x)?S(x)R(x)?1S(x)T<0,

(2)Q(x)<0,R(x)?ST(x)Q(x)?1S(x)<0.

3 主要結(jié)果

基于李雅普諾夫方法、自適應(yīng)控制技術(shù)和LMI 方法, 本節(jié)獲得驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)(2.1) 和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)(2.3) 達(dá)到自適應(yīng)同步的充分條件, 從而識別出驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)(2.1) 的骨干結(jié)構(gòu).

定理1當(dāng)假設(shè)1、假設(shè)2 和假設(shè)3 成立時(shí), 若存在兩個(gè)正定的矩陣P和Q使得

成立, 那么網(wǎng)絡(luò)(2.1) 和網(wǎng)絡(luò)(2.3) 在控制器

證由網(wǎng)絡(luò)(2.1) 和網(wǎng)絡(luò)(2.3) 以及假設(shè)1 和假設(shè)2, 可得網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)誤差狀態(tài)方程為

構(gòu)造一個(gè)李亞普諾夫函數(shù)為

則由控制器(3.3) 和自適應(yīng)律(3.4) 和(3.5), 關(guān)于誤差系統(tǒng)(3.6) 的導(dǎo)數(shù)有

所以整理得

根據(jù)引理1, 有

且

所以不等式(3.8) 可化為

整理后可得

所以若

定理1 提出了當(dāng)耦合函數(shù)為非線性的情況下, 網(wǎng)絡(luò)(2.1) 和網(wǎng)絡(luò)(2.3) 達(dá)到自適應(yīng)同步的充分條件.當(dāng)耦合函數(shù)H(·) 為線性函數(shù)時(shí), 就不需要用到假設(shè)3, 此時(shí), 定理1 中的條件相對來說更簡單些, 因此得以下推論1.

推論1在假設(shè)1 和假設(shè)2 成立的條件下, 若存在兩個(gè)矩陣P>0 和Q>0 使得不等式

成立, 那么網(wǎng)絡(luò)(2.2) 和網(wǎng)絡(luò)(2.3) 在控制器(3.3) 和自適應(yīng)律(3.4), (3.5) 的作用下達(dá)到自適應(yīng)同步.

4 數(shù)值模擬

為了驗(yàn)證定理1 的可行性和有效性, 本節(jié)將對一個(gè)由兩個(gè)子網(wǎng)構(gòu)成的有向相互依存網(wǎng)絡(luò)(2.1) 和(2.3) 進(jìn)行數(shù)值模擬.因?yàn)楣?jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)過多, 對骨干結(jié)構(gòu)的識別就顯得過于復(fù)雜, 所以在本節(jié)中, 為了簡單起見, 設(shè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為8, 其中子網(wǎng)G1和子網(wǎng)G2的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為4.同樣地, 對于網(wǎng)絡(luò)(2.1) 和(2.3), 本節(jié)只考慮子網(wǎng)間的耦合, 不涉及到子網(wǎng)內(nèi)部的耦合.對于子網(wǎng)G1, 設(shè)它的每個(gè)節(jié)點(diǎn)動力系統(tǒng)都是Lorenz 系統(tǒng)

其中a1,a2,a3是實(shí)數(shù).當(dāng)a1= 10,a2= 8/3,a3= 28 時(shí), Lorenz 系統(tǒng)是混沌的.同時(shí), 設(shè)子網(wǎng)G2的每個(gè)節(jié)點(diǎn)動力系統(tǒng)為Chen 系統(tǒng)

其中a1,a2,a3是實(shí)參數(shù).當(dāng)a1=35,a2=3,a3=28 時(shí), Chen 系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).由Lorenz系統(tǒng)和Chen 系統(tǒng)的特點(diǎn), 可知存在L1=L2=60 滿足假設(shè)2.在以下所有的數(shù)值模擬中, 設(shè)子網(wǎng)G1和子網(wǎng)G2的外部耦合矩陣為

非線性耦合函數(shù)為H(x(t))=(x1(t),x2(t),sin(x3(t)))T.此時(shí),可設(shè)L3=1 滿足假設(shè)3.再設(shè)子網(wǎng)間的耦合強(qiáng)度c1=c2=0.5, 驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)(2.1) 和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)(2.3) 的節(jié)點(diǎn)(i=1,2,···,4)的初始值分別為

滿足定理1 中的條件(3.1) 和(3.2), 從而從理論上保證了網(wǎng)絡(luò)(2.1) 和網(wǎng)絡(luò)(2.3) 能夠達(dá)到自適應(yīng)同步.在上述條件下, 利用Matlab 軟件, 本節(jié)獲得了子網(wǎng)G1和子網(wǎng)G2的誤差軌跡圖,如圖1 和圖2.圖1 中的第二和第三個(gè)子圖和圖2 均表明了誤差狀態(tài)變量在控制器的作用下,很快趨于零, 也即驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)很快達(dá)到了漸近同步.而圖1 的第一個(gè)子圖表明誤差雖然在零的附近有很小的擺動, 但是它的軌跡仍然是有界的, 也就是說它在零的附近是漸近穩(wěn)定的.

圖1: 子網(wǎng)G1 的誤差狀態(tài)變量軌跡

圖2: 子網(wǎng)G2 的誤差狀態(tài)變量軌跡

圖3: 子網(wǎng)G1 的反饋增益運(yùn)動軌跡

圖4: 子網(wǎng)G2 的反饋增益運(yùn)動軌跡

在驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到同步的同時(shí), 隨著時(shí)間的增大, 網(wǎng)絡(luò)(2.3) 的控制器的反饋增益也很快穩(wěn)定在有界的值, 如圖3 和圖4 所示.而且, 此時(shí), 驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)(2.1) 的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)也同時(shí)被識別出.圖5 和圖6 分別表示了響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)(2.3) 中從子網(wǎng)G1出發(fā)和從子網(wǎng)G2出發(fā)的連接識別軌跡.與驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)(2.1) 相比, 圖5 和圖6 表明了識別的精度非常高.隨著時(shí)間的變化,矩陣A和矩陣B的每個(gè)元素都很快穩(wěn)定在矩陣式(4.1) 中的值.

5 結(jié)論

隨著社會、科技的日益發(fā)展與成熟, 我們賴以生存的自然環(huán)境、社會環(huán)境以及各種人造環(huán)境之間的聯(lián)系變得更加緊密和錯(cuò)綜復(fù)雜.相互依存網(wǎng)絡(luò)從復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的角度, 利用網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)信息闡述了這種關(guān)系.對相互依存網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)的研究, 特別是骨干結(jié)構(gòu)的研究是一個(gè)具有重要的理論和實(shí)際意義的熱點(diǎn)課題.本文研究了有向相互依存網(wǎng)絡(luò)的骨干結(jié)構(gòu)識別問題.其中該網(wǎng)絡(luò)中的連接只存在于子網(wǎng)間, 且具有非線性連接, 而在子網(wǎng)間沒有連接關(guān)系.這種形式的網(wǎng)絡(luò)代表了實(shí)際中的很多網(wǎng)絡(luò), 在以往的文獻(xiàn)中很少涉及到.基于李亞普諾夫穩(wěn)定性理論、自適應(yīng)控制技術(shù)和LMI 方法, 本文提出了自適應(yīng)同步的充分條件.這些條件能夠保證驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中對應(yīng)的每個(gè)節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡達(dá)到一致, 在此基礎(chǔ)上, 驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)的骨干結(jié)構(gòu)也能被響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)識別出來.而且, 本文的假設(shè)和所獲得的自適應(yīng)控制器以及自適應(yīng)律非常簡單, 也便于實(shí)際中運(yùn)行.最后的數(shù)值模擬也證明了所提出理論的正確性和有效性.本文的研究成果是目前相互依存網(wǎng)絡(luò)研究的一個(gè)重要的發(fā)展和深入, 對于現(xiàn)實(shí)生活中存在的相互依存網(wǎng)絡(luò)(譬如重要的基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)等) 具有一定的理論指導(dǎo)意義.

圖5: (a) 矩陣的第1 列的識別; (b) 矩陣的第2 列的識別;(c) 矩陣的第3 列的識別; (d) 矩陣的第4 列的識別.

圖6: (a) 矩陣的第1 列的識別; (b) 矩陣的第2 列的識別;(c) 矩陣的第3 列的識別; (d) 矩陣的第4 列的識別.