茆漢國，張建德

南京工程學(xué)院 計算機工程學(xué)院，南京211167

1 引言

隨著人工智能技術(shù)的火熱發(fā)展，多智能體系統(tǒng)的一致性問題受到了國內(nèi)外學(xué)者們的廣泛關(guān)注[1]，并且在機器人編隊控制、無人機協(xié)同控制、蟲類蜂擁、蜂群計算等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[2-5]。

在過去的幾十年中，學(xué)者們對一致性問題的研究取得了許多成果。其中，Vicsek等[6]就一群自驅(qū)粒子的相變問題提出了著名的Vicsek模型。之后，Jadbabaie等[7]運用圖論的方法就Vicsek模型的一致性行為給出了理論解釋。在Vicsek模型基礎(chǔ)之上，Cucker和Smale[8]又介紹并分析了一個含有N個粒子系統(tǒng)的蜂擁模型，簡稱C-S模型。Sun等[9-10]進一步探討了C-S模型中存在通訊時滯和隨機噪聲擾動的蜂擁問題。除了線性系統(tǒng)之外，文獻[11]研究了基于事件觸發(fā)的隨機非確定線性多智能體系統(tǒng)的指數(shù)同步問題。最近，文獻[12]討論了事件觸發(fā)機制下的多智能體領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性。

總體來說，在這些系統(tǒng)中[2-12]實現(xiàn)一致（或蜂擁）都是漸進穩(wěn)定的，也就是收斂時間是趨于無窮大的。但是在實際運用中往往需要多智能體系統(tǒng)在有限時間內(nèi)實現(xiàn)一致，比如要實現(xiàn)較高的控制精度。此外，有限時間一致性具有較高的抗干擾性和魯棒性。Wang等[13]較早地分析了動態(tài)多智能體網(wǎng)絡(luò)的有限時間一致性問題。Sun等[14-16]繼續(xù)討論了在噪聲環(huán)境下的有限時間一致性和蜂擁問題。同時，這些工作[13-16]都對實現(xiàn)一致性（或蜂擁）時間的上界進行了估計。

此外，一個隨之而來的問題是，對有限時間上界的估計高度依賴系統(tǒng)的初始狀態(tài)，也就是不同的初始條件可能產(chǎn)生不同的時間估計。在實際多智能體系統(tǒng)中，由于一些不確定性因素的影響，人們無法預(yù)先知道系統(tǒng)模型的初始狀態(tài)，這就對以往有限時間一致性問題又提出了挑戰(zhàn)。為了克服這個困難，Polyakov[17]突破性地介紹了一種新型非線性回饋控制技術(shù)，實現(xiàn)了閉環(huán)系統(tǒng)的固定時間穩(wěn)定性，其最終實現(xiàn)穩(wěn)定的有限時間上界估計與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān)。最近，Chen等[18]討論了多智能體系統(tǒng)中的固定時間凸優(yōu)化問題。Tian等[19]分析了二階多智能體系統(tǒng)中含有引導(dǎo)者-追隨者的固定時間一致性問題。文獻[20]對多智能體系統(tǒng)固定時間協(xié)同控制進行了概述。

無論是有限時間一致性（或蜂擁）問題，還是多智能體系統(tǒng)中的固定時間一致性問題，其控制協(xié)議中大多含有一個符號函數(shù)sign(?)。由于符號函數(shù)在0點處具有非連續(xù)性，在實際控制作用中當(dāng)誤差趨于0的時候勢必產(chǎn)生震顫現(xiàn)象。如果震顫頻率過高，則會對系統(tǒng)本身造成一定程度的傷害。為了解決這一問題，本文設(shè)計了一個光滑連續(xù)的一致性協(xié)議，從而有效地避免了震顫現(xiàn)象的發(fā)生。具體地，本文旨在探索非震顫固定時間多智能體網(wǎng)絡(luò)的一致性問題，創(chuàng)新性如下：

（1）實現(xiàn)了多智能體網(wǎng)絡(luò)的固定時間一致性，同時對實現(xiàn)一致的時間上界進行了估計，其不再依賴于系統(tǒng)的初始狀態(tài)條件。

（2）設(shè)計了新穎的一致性控制策略，解決了傳統(tǒng)有限時間和固定時間一致性協(xié)議中存在震顫的問題，提高了系統(tǒng)的性能。

（3）通過運用Lyapunov穩(wěn)定性理論，得到了實現(xiàn)固定時間一致性的充分條件，且通過數(shù)值仿真驗證了理論分析的有效性和可行性。

2 問題描述

2.1 預(yù)備知識

形式上，用一個圖G=(V,E)來表示N個智能體所構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)。V={v1,v2,…,vN}為N個智能體構(gòu)成的點集。E?V×V為圖G的邊集。圖G中的無向邊記為aij=aji=(vi,vj)=(vj,vi)∈E。如果智能體j與智能體i(i≠j)間存在一條連接，則aij=aji=1，否則aij=0。圖G的拉普拉斯矩陣記為L=[lij]∈RN×N，其中l(wèi)ij=-aji(i≠j),lii=-。圖中一系列的連接邊構(gòu)成路徑。如果任意兩個智能體之間都存在一條路徑，則圖是連通的。‖x‖表示列向量x∈RN的2范數(shù)。

2.2 模型建立

網(wǎng)絡(luò)中每個智能體的動力學(xué)方程為：

其中，xi∈RN為第i個智能體的狀態(tài)，ui為待設(shè)計的一致性控制協(xié)議。

為了明確得出本文的主要結(jié)果，下面先給出固定時間一致性的定義和相關(guān)必備的引理。

定義 稱系統(tǒng)（1）中各智能體狀態(tài)在固定時間內(nèi)達到一致，如果存在不依賴于初始狀態(tài)的時間函數(shù)T，使得

這里，T也被稱作設(shè)定時間。

引理1[21]如果存在一個連續(xù)函數(shù)V(t):[0,∞)→[0,∞)，使得V正定，且存在正實數(shù)c＞0,0＜ρ＜1滿足V?(t)≤-cVρ(t),t≥t0，那么V1-ρ(t)≤V1-ρ(t0)-c(1-ρ)(t-t0),t0≤t≤t*,且V(t)=0,t≥t*,其中t*=t0+

引理2[22]如果存在一個連續(xù)的徑向無界函數(shù)V:Rn→R+∪{0}，使得：

（1）V(x)=0?x=0；

（2）任意狀態(tài)x(t)滿足不等式：

D*V(x(t))≤-(αVl(x(t))+βVm(x(t)))k

其中，參數(shù)α,β,l,m,k＞0,且lk＜1,mk＞1。D*V(x(t))為函數(shù)V(x(t))的右上界導(dǎo)數(shù)。那么，原點為全局固定時間穩(wěn)定點，且設(shè)定時間

引理2給出了一個相對保守的設(shè)定時間估計。考慮以下情形：常數(shù)l、m滿足形式l=1-γ＞1，可以得到更為精確的時間估計，見下述引理。

引理3[22]如果存在一個連續(xù)的徑向無界函數(shù)V:Rn→R+∪{0}，使得：

（1）V(x)=0?x=0；

（2）任意狀態(tài)x(t)滿足不等式：

D*V(x(t))≤-αVl(x(t))-βVm(x(t))

其中，參數(shù)α,β＞0,D*V(x(t))為函數(shù)V(x(t))的右上界導(dǎo)數(shù)。那么，原點為全局固定時間穩(wěn)定點，且設(shè)定時間

引理4[23]如果y1,y2,…,yN≥0，那么

引理5[24]對一個連通無向圖G而言，其拉普拉斯矩陣L有以下性質(zhì)：任意x=[x1,x2,…,xN]∈RN，有?？芍狶為半正定，0是其單特征值，對應(yīng)N元特征列向量1（每個元素都是1）。不妨設(shè)L的特征值為0,λ2,…,λN,并滿足0＜λ2≤…≤λN。此外，如果1Tx=0，那么xTLx=λ2xTx。λ2(L)也稱作拉普拉斯矩陣L的代數(shù)連通度。

3 主要結(jié)果

為實現(xiàn)多智能體網(wǎng)絡(luò)的非震顫固定時間一致性，設(shè)計如下的一致性協(xié)議：

其中，k1＞0,k2＞0為控制增益，A=[aij]∈RN×N,B=[bij]∈RN×N為多智能體之間信息傳輸網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣。p、q、r、s為正奇數(shù)，且滿足p＜q,r＞s。

注1受文獻[25]的啟發(fā)，本文設(shè)計了上述固定時間非震顫一致性協(xié)議（2）。與文獻[13-16，18-19]中的控制協(xié)議相比，本文所設(shè)計的控制協(xié)議（2）不再使用傳統(tǒng)的符號函數(shù)sign(?)，即式（2）是光滑連續(xù)型的一致性協(xié)議，從而有效地避免了震顫現(xiàn)象的發(fā)生。

定理 無向連通多智能體網(wǎng)絡(luò)中的各智能體i在一致性協(xié)議（2）的作用下，N個智能體能在固定時間內(nèi)達到平均一致狀態(tài)，且達到一致的時間上界滿足：

證明 考慮以下Lyapunov函數(shù)：

對上述Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)，可得：

根據(jù)引理4，可得：

再根據(jù)引理5，可以得到：

其中，Lq和Ls分別為權(quán)圖和的Laplacian矩陣。λ2(Lq)和λ2(Ls)分別表示矩陣Lq和Ls的代數(shù)連通度。

那么有：

最后再由引理2可知，多智能體網(wǎng)絡(luò)（1）可在固定時間內(nèi)實現(xiàn)一致，且設(shè)定時間：

證畢！

根據(jù)引理3，可直接得到以下推論：

推論1在一致性協(xié)議（2）的作用下，如果參數(shù)p、q、r、s滿足，且γ＞1，那么無向連通多智能體網(wǎng)絡(luò)（1）可以在固定時間Tmax:=內(nèi)實現(xiàn)一致性。

如果控制協(xié)議（2）僅含有第一項，那么利用引理1可推導(dǎo)出下述推論。

注2控制協(xié)議（2）中第一項的作用是初步實現(xiàn)有限時間多智能體網(wǎng)絡(luò)的一致性。但是從推論2可以看出，最終實現(xiàn)有限時間一致性的時間上界估計依賴于智能體系統(tǒng)的初始狀態(tài)。類似地，文獻[13-16]中對實現(xiàn)有限時間一致性時間上界的估計也高度依賴系統(tǒng)中各智能體的初始狀態(tài)。為了擺脫這一束縛，本文進一步在（2）中設(shè)計了第二項，其作用是實現(xiàn)固定時間一致性，即智能體系統(tǒng)（1）在控制協(xié)議（2）的作用下達到有限時間一致性的時間上界估計與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān)。這樣，對實現(xiàn)有限時間一致性的時間上界估計就可以事先根據(jù)實際需要，通過選取合適的控制增益k1、k2和參數(shù)r、s、p、q的值來調(diào)節(jié)。這是文獻[13-16]所不及的，同時也是固定時間一致性與有限時間一致性的本質(zhì)區(qū)別。另一方面，本文與文獻[18-19]都對實現(xiàn)固定時間一致性的時間上界進行了估計。因為本文和文獻[18-19]關(guān)于時間上界的估計式中的增益和參量選取都比較靈活，可根據(jù)現(xiàn)實需要進行適當(dāng)選取，所以對估計值之間的比較并沒有特殊意義。本文與文獻[18-19]相比，其優(yōu)點是本文所采取的控制策略是連續(xù)光滑型的，能夠有效地消除震顫現(xiàn)象。

4 數(shù)值仿真

這里通過一個數(shù)值例子來驗證理論結(jié)果的有效性和可行性。不妨設(shè)智能體網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模為N=5，其拓?fù)淙鐖D1所示。控制增益取k1=1,k2=2,參數(shù)p=1,q=3,r=5,s=3。各智能體初始狀態(tài)值xi(0)從區(qū)間[-10,10]中隨機選取。

圖1 多智能體網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?/p>

由圖2可以發(fā)現(xiàn)，各個智能體狀態(tài)能夠在固定時間不超過2.5 s內(nèi)達到一致。同時，圖3給出了控制協(xié)議（2）的演化軌跡?？梢钥闯觯@些曲線都是光滑的，不存在震顫現(xiàn)象。為了進一步驗證固定時間一致性能夠擺脫對系統(tǒng)初始狀態(tài)的依賴，本文隨機選取了6組不同的初始值進行模擬。圖4給出了完全誤差E(t)=‖ ‖e(t)軌跡?？梢园l(fā)現(xiàn)，對于任意的初始條件，多智能體網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)總能在2.5 s內(nèi)趨于一致。

5 結(jié)束語

圖2 智能體x i(i=1,2,…,5)狀態(tài)變化軌跡

圖3 控制協(xié)議ui(i=1,2,…,5)的演化軌跡

圖4 完全誤差軌跡

本文研究了多智能體網(wǎng)絡(luò)的固定時間一致性問題。一方面，克服了傳統(tǒng)有限時間一致性問題對智能體系統(tǒng)初始狀態(tài)的依賴性。另一方面，所設(shè)計的控制協(xié)議不再含有符號函數(shù)，解決了傳統(tǒng)帶有符號函數(shù)一致性協(xié)議中的震顫問題，提高了多智能體網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的性能。并且利用經(jīng)典的Lyapunov第二方法得到了實現(xiàn)固定時間非震顫一致性的充分條件。在后續(xù)工作中可進一步考慮隨機噪聲和時滯所帶來的影響，以及時間與能量的關(guān)系問題。