馬樹(shù)軍， 王霄霄

(東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院， 遼寧 沈陽(yáng) 110819)

近些年來(lái)，各種用途的微/納機(jī)電系統(tǒng)大量涌現(xiàn).由于其極小的質(zhì)量、極高的共振頻率和品質(zhì)因子(Q值)，它們作為超靈敏的傳感器被廣泛地應(yīng)用于多個(gè)科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域.其中，作為典型應(yīng)用的微納諧振式質(zhì)量傳感器由于較高的檢測(cè)精度，被廣泛應(yīng)用于生物、化學(xué)、醫(yī)學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域[1-4].其檢測(cè)原理為：當(dāng)微粒吸附在傳感器表面時(shí)，傳感器的共振頻率發(fā)生變化，通過(guò)檢測(cè)微粒引起的振動(dòng)偏差，從而來(lái)確定微粒的質(zhì)量和位置[5].并且隨著傳感器尺寸的減小，以及采用楊氏模密度比較高的材料，可以使傳感器的共振頻率增加，從而提高其靈敏度.最新的研究表明，傳感器的質(zhì)量分辨率已經(jīng)達(dá)到了10-18～10-21g的量級(jí)[6].Chen等[7]是最開(kāi)始研究應(yīng)用微納質(zhì)量傳感器測(cè)量微粒的可行性，從此以后微/納傳感器得到了穩(wěn)定的發(fā)展.Dohn等已經(jīng)利用多階傳感器的頻率移動(dòng)反求得到了待測(cè)微粒的質(zhì)量和位置信息[8]，并且驗(yàn)證了使用高階模態(tài)的共振頻率會(huì)大大提高傳感器的靈敏度[9].然而在現(xiàn)有的大多數(shù)研究中，吸附微粒的質(zhì)量要求比傳感器自身質(zhì)量小得多，因此假設(shè)傳感器的模態(tài)不受質(zhì)量負(fù)載的影響[10-14].該假設(shè)并不是永遠(yuǎn)成立的，在實(shí)際應(yīng)用中，總需要測(cè)量相對(duì)質(zhì)量較大的微粒.

不同于這種假設(shè)，本文利用攝動(dòng)理論來(lái)系統(tǒng)描述附著的離散微粒質(zhì)量對(duì)微懸空橋共振特性的影響.這將通過(guò)推導(dǎo)一個(gè)基于攝動(dòng)法的新理論模型來(lái)實(shí)現(xiàn)[15].所得到的結(jié)果可以用來(lái)估計(jì)吸附微粒對(duì)懸空橋在任意模態(tài)下的共振頻率和模態(tài)的影響.通過(guò)該影響可以進(jìn)一步得到更加精確的懸空橋的頻率移動(dòng)以及待測(cè)微粒的質(zhì)量.其結(jié)果也可以用來(lái)確定假設(shè)吸附微粒的質(zhì)量遠(yuǎn)小于傳感器的質(zhì)量的現(xiàn)有模型.該方法的正確性通過(guò)有限元進(jìn)行了驗(yàn)證.

1 微懸空橋的模態(tài)變化

將納米機(jī)械質(zhì)量傳感器建模為微懸空橋結(jié)構(gòu)，在橋的任意位置負(fù)載一個(gè)集中質(zhì)量的微粒(可以忽略微粒負(fù)載對(duì)懸空橋剛度的影響).如圖1所示，坐標(biāo)系原點(diǎn)位于橋的左夾持端中心，x軸指向梁的長(zhǎng)度方向.L代表微懸空橋的長(zhǎng)度，Δm代表負(fù)載微粒的質(zhì)量，xΔm代表微粒在懸空橋上的位置.

根據(jù)歐拉-伯努利梁理論，在不考慮應(yīng)力和剛度等變化因素的情況下，單位長(zhǎng)度的懸空橋自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程可表示為

(1)

現(xiàn)有一質(zhì)量為Δm的微納粒子吸附在懸空橋的xΔm處.由于負(fù)載，懸空橋的模態(tài)和共振頻率發(fā)生改變，其運(yùn)動(dòng)方程可表示為

(2)

其中：Un(x)和Ωn分別為微粒負(fù)載在傳感器表面時(shí)的n階模態(tài)及共振頻率的平方，換句話說(shuō)就是受擾動(dòng)后的懸空橋的模態(tài)和共振頻率；μ(x)為吸附微粒單位長(zhǎng)度的質(zhì)量.

利用攝動(dòng)理論，模態(tài)和共振頻率可以表示為

(3)

(4)

(5)

(6)

將式(6)代入到式(2)可以得到

(7)

將式(7)代入到式(6)有

(8)

因此

(9)

2 有限元模型的建立

在傳感器的應(yīng)用中，有限元仿真分析是設(shè)計(jì)納米機(jī)械傳感器，確定其動(dòng)態(tài)性能和驗(yàn)證分析模型的有效工具.本文使用ANSYS16.0創(chuàng)建了微懸空橋結(jié)構(gòu)的三維有限元模型，并且任意選取模型的材料和尺寸參數(shù).不失一般性,本文選擇微懸空橋的長(zhǎng)度、寬度和厚度分別為100,10,1 μm.另外，微懸空橋材料的彈性模量設(shè)定為120 GPa，密度為2 850 kg/m3，泊松比為0.28.為了計(jì)算微懸空橋的頻率移動(dòng)，一個(gè)微小粒子被剛性地吸附在橋的表面.吸附微粒采用一個(gè)相對(duì)較小的四面體模型,它的長(zhǎng)度、寬度和厚度均設(shè)為1 μm.并且通過(guò)調(diào)節(jié)微粒和微懸空橋的密度，來(lái)控制和實(shí)現(xiàn)微粒和橋質(zhì)量比的較大范圍.附加微粒的彈性模量被定義為1.2 GPa，足可以忽略其剛度對(duì)微懸空橋振動(dòng)的影響.仿真采用Soild186單元實(shí)體建模，并進(jìn)行模態(tài)分析，以確定微懸空橋的動(dòng)態(tài)特性.圖2為負(fù)載微粒的微懸空橋的有限元模型.

特別地，將微粒吸附在微懸空橋的ξΔm=xΔm/L=0.3位置處，并將微粒質(zhì)量設(shè)定為Δm.圖3為顆粒質(zhì)量在ξΔm=0.3位置處微懸空橋的模態(tài)變化的仿真及理論計(jì)算的對(duì)比.結(jié)果表明：仿真與理論計(jì)算的結(jié)果基本吻合，從而可以有效地驗(yàn)證利用攝動(dòng)理論推導(dǎo)的模態(tài)的一階攝動(dòng)的正確性，為進(jìn)一步的研究提供了重要的依據(jù).

3 結(jié)果與討論

本文通過(guò)Mathematica(Wolfram 10.3)軟件對(duì)式(5)和式(9)進(jìn)行數(shù)值求解，得到帶有吸附微粒的懸空橋隨負(fù)載質(zhì)量增加的精確模態(tài)和共振頻率.在數(shù)值計(jì)算中，只使用了式(9)中的10階振型函數(shù)的疊加(N=10)，通過(guò)與有限元仿真的比較，驗(yàn)證了疊加10次的振型函數(shù)為確定精確模態(tài)提供了足夠的精度.本文系統(tǒng)性地研究吸附微粒的質(zhì)量效應(yīng),質(zhì)量比α=Δm/M變化在一個(gè)大范圍(α=0.01，0.03，0.06，0.09，0.12)，其中，M為微懸空橋的質(zhì)量，負(fù)載到懸空橋的位置ξΔm=0.3.圖4表示微懸空橋前兩階精確的模態(tài).

從圖4中可以明顯看出，對(duì)于一階模態(tài)，在負(fù)載微粒后的微懸空橋的模態(tài)變化不大，然而對(duì)于二階模態(tài)而言，負(fù)載微粒后的微懸空橋的模態(tài)發(fā)生了很大的改變.并且隨著吸附微粒質(zhì)量的增加，微懸空橋的精確模態(tài)和未擾動(dòng)模態(tài)的差異越來(lái)越明顯.

在傳感器的實(shí)際應(yīng)用中，如果認(rèn)為此時(shí)的傳感器模態(tài)不變，則會(huì)嚴(yán)重影響檢測(cè)精度.為了進(jìn)一步研究吸附微粒對(duì)傳感器檢測(cè)精度的影響,應(yīng)用兩種方法來(lái)識(shí)別負(fù)載微粒后的頻率移動(dòng).第一種方法是使用文中所提出的模型得到的懸空橋的精確共振頻率，其中包括擾動(dòng)量.根據(jù)式(5)，對(duì)于沒(méi)有負(fù)載的懸空橋的頻率移動(dòng)為

(10)

其中，Δf為微懸空橋在負(fù)載微粒前后的頻率移動(dòng).

為了比較，本文還考慮了文獻(xiàn)中常用的近似模態(tài)的方法.該方法在計(jì)算傳感器時(shí)，忽略了吸附微粒引起的模態(tài)的變化，因此頻率移動(dòng)為

(11)

圖5展示了通過(guò)微懸空橋的頻率移動(dòng)所確定的微粒質(zhì)量.在不失一般性的前提下，以微粒被負(fù)載在微懸空橋的ξΔm=0.3位置處為例.其中精確地附加微粒的質(zhì)量和相應(yīng)的頻率移動(dòng)是由第2節(jié)中的有限元仿真計(jì)算得到的，這些頻率移動(dòng)被認(rèn)為是“實(shí)驗(yàn)結(jié)果”，并作為驗(yàn)證使用.然后將基于本文利用攝動(dòng)理論和近似模態(tài)的方法所得到的質(zhì)量預(yù)測(cè)值與有限元仿真的精確結(jié)果進(jìn)行比較.

如圖5所示，對(duì)于一階模態(tài)來(lái)說(shuō)，本文求解的精確模態(tài)法和文獻(xiàn)中常用的近似模態(tài)法所得到的頻率移動(dòng)差別較小.然而，對(duì)于二階模態(tài)，微懸空橋在負(fù)載前后的頻率移動(dòng)差異顯著.通過(guò)比較可知：精確模態(tài)法所得到的微粒質(zhì)量與仿真的精確質(zhì)量相差甚微.對(duì)比近似模態(tài)法所得的微粒質(zhì)量與仿真得到的微粒質(zhì)量可以看到,近似模態(tài)法大大低估了吸附微粒質(zhì)量的真實(shí)值.如表1所示，利用近似模態(tài)法計(jì)算了在不同頻率移動(dòng)下所求得微粒質(zhì)量與真實(shí)值之間的誤差.

顯然，從表1中可以看出，利用近似模態(tài)法，使用一階模態(tài)時(shí)得到的微粒質(zhì)量的最大誤差約為6%，而使用二階模態(tài)求解時(shí)最大誤差約為13%.

表1 近似模態(tài)法不同頻率移動(dòng)下的質(zhì)量誤差

因此，可以得出：當(dāng)被測(cè)微粒的質(zhì)量與傳感器的質(zhì)量之比相差較大時(shí)， 忽略微懸空橋的模態(tài)變化會(huì)導(dǎo)致不可忽略的測(cè)量誤差.因此在基于微懸空橋的質(zhì)量傳感器的應(yīng)用中，應(yīng)用近似模態(tài)方法時(shí)需要特別注意待測(cè)微粒的質(zhì)量信息.并且，基于本文利用攝動(dòng)法提出的理論精確模態(tài)求解方法，將微粒質(zhì)量對(duì)傳感器模態(tài)的影響應(yīng)用到傳感器的檢測(cè)計(jì)算，可能是未來(lái)質(zhì)量傳感器應(yīng)用的首選方法.

4 結(jié) 語(yǔ)

本文利用攝動(dòng)法理論，采用微懸空橋質(zhì)量傳感器為研究對(duì)象，系統(tǒng)研究了在相對(duì)質(zhì)量范圍較大的集中粒子吸附的作用下，梁式傳感器的動(dòng)力學(xué)特性.并將這些動(dòng)力學(xué)特性與常用的近似模態(tài)法推導(dǎo)出的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了比較.結(jié)果表明：隨著吸附微粒質(zhì)量的增加，精確模態(tài)法和近似模態(tài)法得到的待測(cè)質(zhì)量之間的差異是顯著的.因此在傳感器的應(yīng)用中，有必要考慮微粒自身質(zhì)量對(duì)傳感器模態(tài)的影響，從而提高傳感器的檢測(cè)精度.