陳靜安， 易文輝， 孟勝奇

(1.廣東第二師范學院 數(shù)學系， 廣東 廣州 510303； 2.東莞市教育局教研室，廣東 東莞 523000； 3.東莞市第一中學， 廣東 東莞 523000)

一、問題的提出

《高中數(shù)學課程標準(2017年版)》提出了六大核心素養(yǎng)，其中數(shù)學抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到研究對象的素養(yǎng)(主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學概念及概念之間的關(guān)系，從事物背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學語言予以表征),并明確指出“數(shù)學抽象主要表現(xiàn)為：獲得數(shù)學概念和規(guī)則，提出數(shù)學命題和模型，形成數(shù)學方法與思想，認識數(shù)學結(jié)構(gòu)與體系。通過高中數(shù)學課程的學習，學生能在情景中抽象出數(shù)學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗……”[1]4-5。課標關(guān)于數(shù)學抽象素養(yǎng)的概念界定不僅清楚表明獲得概念、提出命題、形成思想與方法、認識結(jié)構(gòu)與體系等教學過程正是學生發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)的過程，而且其中提到三次關(guān)系、兩次結(jié)構(gòu)和體系，表明引領(lǐng)學生建立數(shù)學整體觀對于發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)具有重要的意義?！读x務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版)》也強調(diào)：“教學方案是教師對教學過程的‘預(yù)設(shè)’，教學方案的形成依賴于教師對教材的理解、鉆研和再創(chuàng)造。理解和鉆研教材，應(yīng)以本標準為依據(jù)，把握好教科書的編寫意圖和教學內(nèi)容的教育價值”[2]50。因此，“教材作為教學的依據(jù)和藍本，尤其是教材中數(shù)學概念的界定、遣詞用句和內(nèi)容編排及其反映的嚴謹性對于教師的教材分析、教學設(shè)計和教學組織有沒有影響？具有怎樣的影響？”直接決定了數(shù)學概念教學中數(shù)學抽象素養(yǎng)目標的落實與達成。為此研究者應(yīng)用文獻研究法、課堂觀察法和案例分析法，基于數(shù)學教學和數(shù)學教材編寫“嚴謹性和量力性相結(jié)合”原則的視角，對人教版數(shù)學教材中的幾個概念課題，進行培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)的教材案例分析，旨在拋磚引玉、引發(fā)教材編寫者和教學同行們的思考，使教材的編寫與研究更好地引領(lǐng)教師培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)的教學實踐。

二、關(guān)于嚴謹與量力相結(jié)合的教學原則

正如《高中數(shù)學課程標準(2017年版)》指出的:“數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的一門科學。數(shù)學源于對現(xiàn)實世界的抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過符號運算、形式推理、模型構(gòu)建等，理解和表達現(xiàn)實世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律”[1]1。其中，科學指分科的系統(tǒng)知識；抽象則是確定和抽取事物的本質(zhì)屬性而舍棄其非本質(zhì)屬性的思維方法，簡而言之就是透過現(xiàn)象看本質(zhì)。特別地，數(shù)學抽象是舍棄事物即思維對象的其他非數(shù)學本質(zhì)特性，抽取其數(shù)量關(guān)系或空間形式的本質(zhì)特征，并加以概括，最終形成數(shù)學概念與結(jié)論的過程。概括是把從若干個別事物抽象出共同屬性，推廣到同類事物中去的思維過程。抽象和概括是互相聯(lián)系、不可分離的，數(shù)學的抽象程度越高，概括性就越強，應(yīng)用范圍也越廣。隨著數(shù)學的發(fā)展，數(shù)學的抽象呈現(xiàn)為逐級抽象、多次抽象。因此數(shù)學具有高度的抽象性、邏輯的嚴謹性、應(yīng)用的廣泛性等特點。抽象性和嚴謹性特點在數(shù)學科學的知識體系中具體表現(xiàn)為嚴密的公理化系統(tǒng)，即從盡可能少的未經(jīng)定義的原始概念和一組不證自明的原始命題出發(fā)，運用純邏輯演繹方法——具體而言就是概念必須定義、命題必須證明建立起來的演繹系統(tǒng)。因此，數(shù)學教材編排與教學設(shè)計組織中是否注重和落實這個嚴謹性、系統(tǒng)性特點，對于培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)具有直接的影響。

但是，由于中小學數(shù)學教學的對象大多是青少年，而青少年的認知結(jié)構(gòu)、思維水平等存在發(fā)展的階段性特點，使得作為連接數(shù)學與中小學學生的數(shù)學教材中的數(shù)學概念和命題體系難于或不能完全按數(shù)學科學的嚴謹性來呈現(xiàn)。這清楚地表明，中小學數(shù)學教材與生俱來的數(shù)學與教育雙重屬性的特點，決定了中小學數(shù)學教材的編寫和數(shù)學課堂教學的設(shè)計與組織勢在必然地產(chǎn)生數(shù)學的嚴謹性與學生的量力性匹配的問題。因此，作為連接數(shù)學科學和中小學學生的橋梁，嚴謹和量力相結(jié)合的原則——即在學生力所能及的基礎(chǔ)上盡可能的嚴謹，不僅是數(shù)學課堂教學的基本原則，也是數(shù)學教材的編寫原則，是數(shù)學教材的編寫和數(shù)學課堂教學設(shè)計與組織的應(yīng)然要求和必然結(jié)果。換言之，在數(shù)學教材的編寫、數(shù)學教學活動的設(shè)計與組織中，都要依據(jù)嚴謹性和量力性相結(jié)合的原則，在學生力所能及之處保證數(shù)學的嚴謹性，在學生力所不及之處適度淡化嚴謹性[3]。然而，課堂觀察及教材分析中發(fā)現(xiàn)，中學數(shù)學教材中某些數(shù)學概念界定的嚴謹性則是在學生的力所能及范圍內(nèi)而有所缺失、亟待加強的。

三、中學數(shù)學教材中概念嚴謹性缺失的案例分析

眾所周知，數(shù)學邏輯嚴謹性的要求，概念必須定義，命題必須證明。概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形式。數(shù)學概念則是反映空間形式與數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式。一個概念所反映對象的本質(zhì)屬性叫做這個概念的內(nèi)涵；內(nèi)涵是對概念質(zhì)的規(guī)定。而概念所反映對象的全體組成的集合叫做概念的外延。換言之，概念由內(nèi)涵與外延構(gòu)成，內(nèi)涵不同則概念相異。例：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形；僅有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。中小學數(shù)學教材由于受學生思維水平的限制，有的數(shù)學概念會采用不嚴格的描述性代替。因此，中小學數(shù)學概念嚴謹性的標準是概念的界定與表述應(yīng)在學生力所能及即量力性的基礎(chǔ)上達到最大化的嚴謹。倘若某個數(shù)學概念的表述，沒有充分滿足學生的量力性(教材中對這個數(shù)學概念呈現(xiàn)的嚴謹性再高一些，學生是能接受的)，則認為這個數(shù)學概念的嚴謹性是有缺失的。

(一)九年級教材中圓周角概念的嚴謹性分析與再建構(gòu)

基于這個標準，首先對課標人教版九年級上冊教材中圓周角概念的嚴謹性進行分析，其次嘗試對圓周角概念進行再建構(gòu)。

人教版九年級上冊將圓周角概念界定為：“頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角”[4]。這個概念是否嚴謹呢？這首先需要弄清楚角和邊的概念。依據(jù)七年級教材“有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩邊”[5]132。而七年級教材在四年級教材“把線段向一端無限延伸就得到一條射線。射線只有一個端點”[6]的敘述基礎(chǔ)上，對射線的界定是：“用圖1的方式來表示射線OA，其中點O是射線的端點”[5]126。由此概念界定可知，射線是包含端點的，而角是由射線組成的，所以角這個圖形是包含端點的。

OA

圖1 射線OA

那么，圖2所示的兩個角是圓周角嗎？

教材判定圖2所示的兩個角都不是圓周角。但是，愛鉆研的學生依據(jù)概念會發(fā)現(xiàn)自己的判斷與教材中給出的答案是相悖、矛盾的。首先，圖2所示這兩個角的頂點都在圓上；其次角的兩邊是射線，而射線是包含端點的，所以這兩個角的兩邊分別和圓都是相交的(與圓相交于兩條射線公共的端點)。因此，這兩個角都滿足圓周角的概念，所以它們都是圓周角。

上述悖論說明，教材中圓周角概念的嚴謹性有明顯的缺失。不僅如此，這個概念還制約著后續(xù)圓周角的定量研究。即圖2這樣的所謂圓周角的大小不滿足圓周角定理的條件與結(jié)論：圓周角等于同弧所對應(yīng)的圓心角的一半。

進一步地，由概念內(nèi)涵與外延的反變關(guān)系并結(jié)合以上分析不難發(fā)現(xiàn)，悖論來自圓周角概念界定的嚴謹性缺失，導(dǎo)致其外延包含了圖2這類本質(zhì)屬性有所缺失的角。要消除悖論，必須增加本質(zhì)屬性、進行圓周角概念的重構(gòu)，以剔除圖2這類特殊的角——即兩邊和圓相交于射線的公共端點的角。為此，對圓周角的概念進行以下再建構(gòu)就勢在必然：頂點在圓上，且兩邊與圓相交于頂點之外的兩個點所構(gòu)成的角叫做圓周角。

實踐證明，九年級的學生，其思維能力、認知水平都有了長足的發(fā)展，對圓周角概念進行科學、嚴謹?shù)慕缍?，既切實必要而又充分可行?/p>

O′O

圖2 圓周角的判斷

(二)八年級教材中分式概念的嚴謹性分析與再建構(gòu)

(三)高中教材中任意角概念界定的缺失及其對教師概念理解與教學組織的影響

1.人教版高中數(shù)學必修4第一章第一節(jié)“任意角”的教材分析

數(shù)學的嚴謹性主要表現(xiàn)為概念必須定義、命題必須證明。但遺憾的是，課標人教版高中數(shù)學必修4教材第一章“任意角的三角函數(shù)”中卻沒有給出任意角的概念。而任意角是后面弧度概念和“任意角的三角函數(shù)”的鋪墊性基礎(chǔ)知識。因此，教學中，具有教材分析能力和數(shù)學抽象素養(yǎng)的教師會對任意角的概念進行再創(chuàng)造。

事實上，深入分析高中必修4第一章第一節(jié)“任意角”課題，不難發(fā)現(xiàn)其中不僅包括按照射線的旋轉(zhuǎn)方向劃分而產(chǎn)生的正角、負角、零角及任意角，還包括按照終邊所在位置劃分而產(chǎn)生的象限角、軸線角、終邊相同的角，以及角的始邊、角的終邊共9個相關(guān)概念(7個角概念和2個邊概念)，因此這是一節(jié)典型的概念教學課。只有掌握這些概念，學生才能提高計算與判斷終邊相同的角的技能。

這些新知識的生長點也就是學生已有認知結(jié)構(gòu)，不僅與小學和初中的角概念、角的大小比較和角的范圍有關(guān)，也與坐標系、象限、軸線有關(guān)。這些生長點的內(nèi)容非常豐富，關(guān)系交錯復(fù)雜。其教學設(shè)計考驗著教師對9個概念形成的因果先后等內(nèi)在邏輯關(guān)系的認知與揭示，以及對于幾何教學必然蘊含的數(shù)形結(jié)合、觀察、比較的思想方法的認知與揭示，以及類比數(shù)系從自然數(shù)擴充到正數(shù)、負數(shù)的建構(gòu)，產(chǎn)生正角、負角、零角，以及類比七年級整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)的外延式定義去再創(chuàng)造與建構(gòu)任意角的概念，進而應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、抽象概括等思想方法獲得象限角、軸線角、終邊相同的角等創(chuàng)造活動[9]。

2.“任意角”教材對于教師理解任意角概念及其教學設(shè)計與教學組織的影響

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》在教材編寫建議中強調(diào)“教材的編寫既要充分反映數(shù)學的本質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學的邏輯性與嚴謹性，也要符合高中生的認知規(guī)律。教材不能只是數(shù)學結(jié)論的簡單表述，應(yīng)該體現(xiàn)結(jié)論產(chǎn)生的背景和形成發(fā)展過程，引導(dǎo)學生在背景和過程中主動探究、認識建構(gòu)、理解結(jié)論”[1]94。對于任意角課題能否從課題包含的9個概念、概念之間的內(nèi)在邏輯先后關(guān)系、概念形成發(fā)展過程中蘊含的思想方法這3個方面清晰剖析與理解，不僅反映了教師對數(shù)學概念的形成發(fā)展過程以及其中蘊含的思想方法的認知、理解與掌握，而且反映了教師對數(shù)學知識整體和本質(zhì)的理解，以及教師對概念界定的內(nèi)涵式定義與外延式定義等邏輯知識的應(yīng)用及其蘊含的抽象素養(yǎng)。

為此，研究者設(shè)計了以下問題串，并以某省普通高中數(shù)學教師職務(wù)網(wǎng)絡(luò)培訓專題研討的形式進行了問卷調(diào)查：“針對高中數(shù)學必修4的1.1.1任意角第一課時，請您分析解答以下問題：(1)該課題教學是不是概念教學課？(2)教科書中并沒有定義任意角，請問什么是任意角？(3)該課題包含哪些概念與哪些角？(4)請按照教科書中這些概念發(fā)生發(fā)展的過程，梳理出這些概念之間的邏輯順序或概念網(wǎng)絡(luò)圖，并分析其中蘊涵的數(shù)學思想與方法。(5)請界定這個課題具體的三維教學目標”。研究者考慮到網(wǎng)絡(luò)培訓的需要，在該專題研討網(wǎng)絡(luò)發(fā)布2周后，以答疑輯要的形式提供了上述問題的參考解答。

為了進一步調(diào)研任意角課題的教學現(xiàn)狀，運用課堂觀察法，研究者還對沿海地區(qū)與民族貧困地區(qū)重點高中6節(jié)任意角課題的課堂教學進行了觀摩實錄；運用訪談法，對任教的4位教師(包括一位資深特級教師)進行訪談。在分析教材的基礎(chǔ)上，研究者對教師的教案以及課堂教學的觀察和問卷調(diào)查進行分析和研究。

問卷調(diào)查結(jié)果顯示，有近30%的教師不能確定這是一節(jié)概念教學課；超過50%的教師既不能解答任意角的概念，也不能明確指出7個角概念及這些概念發(fā)生發(fā)展的內(nèi)在邏輯先后順序及其蘊含的思想方法。雖然調(diào)查問卷中明確了任意角指的是高中數(shù)學必修4中第一章第一節(jié)第一課時的內(nèi)容，問題聚焦、要求清晰、表述準確，但是調(diào)查問卷結(jié)果顯示，在問卷解答的教學目標界定中，近40%的教師不明題意、似是而非，甚至將任意角與第一章第一節(jié)第二課時的弧度、整個第一章任意角的三角函數(shù)混在一起討論、回答問題，由此可見這部分教師對于概念及其蘊含的數(shù)學思想方法的理解存在困難、教師專業(yè)發(fā)展的意識亟待加強。

課堂觀察發(fā)現(xiàn)，教師教學中大都重視正角、負角和零角的概念認知與建構(gòu)，不重視象限角、非象限角(也稱軸線角)、終邊相同的角的概念認知與建構(gòu)。觀察的6節(jié)課既沒有教師解釋何為任意角，也沒有教師解釋為什么要把角放在坐標系里研究。教學與例習題的重點是判斷象限角和終邊相同的角、終邊相同的角的計算及集合表示等技能掌握上。特別地，訪談授課教師“什么是任意角”，沒有教師能夠準確回答，有的教師竟然回答“隨便一個角就叫任意角”“我認為不是每一個概念都需要定義的，所以任意角不一定要定義”。另外，針對答疑輯要教學目標中的化歸思想方法，提問：任意角教學中化歸思想體現(xiàn)在哪里？值得一提的是，問卷調(diào)查的統(tǒng)計顯示，有個別教師能夠正確闡述本課題包括7個角概念以及7個角概念形成的先后順序：正角、負角、零角、任意角、象限角與軸線角、終邊相同的角，以及7個角概念建構(gòu)中蘊涵的數(shù)形結(jié)合、分類討論和類比、化歸等思想方法[10]。

四、研究結(jié)論與思考

(一)概念嚴謹性缺失對于教師課前教材分析與教學設(shè)計的影響

現(xiàn)行數(shù)學教材編寫中既存在部分概念界定及其遣詞用句嚴謹性缺失和不夠準確、簡潔的情形，也存在部分概念編排不符合數(shù)學知識發(fā)展和學生的認知規(guī)律。例如課標人教版教材高中數(shù)學必修一第二章，對于五類基本初等函數(shù)中前三類的編排順序是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，這與數(shù)學認知規(guī)律由易到難、由具體到抽象，即學生先學習相對低級和具體的乘方、開方運算，進而到相對抽象復(fù)雜的指數(shù)對數(shù)運算的邏輯順序相背離。研究者在教師培訓中也發(fā)現(xiàn)，這樣編排造成一線數(shù)學教師對于這三類函數(shù)概念教材的理解和教學設(shè)計產(chǎn)生困惑與混亂[11]。又如課標人教版七年級教材關(guān)于數(shù)軸的定義從過去言簡意賅的“規(guī)定了原點、方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸”，改成冗長累贅的四段文字表述，對于七年級學生而言既無此啰嗦贅述的必要，更無助于培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)。教材編寫中概念呈現(xiàn)排版邏輯上的無序與概念界定及其遣詞用句嚴謹性的缺失，一方面，不僅增大了教師備課的時間成本、考驗著教師對數(shù)學對象的本質(zhì)理解和數(shù)學再創(chuàng)造能力，另一方面又直接制約了教師的教材分析、教學設(shè)計的質(zhì)效，進而影響了學生在概念學習中數(shù)學抽象素養(yǎng)的發(fā)展。事實上，《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》在教材編寫建議中明確提出“編寫者要認真研究如何在數(shù)學內(nèi)容的表述中體現(xiàn)數(shù)學學科核心素養(yǎng)，編寫出數(shù)學內(nèi)容與數(shù)學學科核心素養(yǎng)融為一體的教材”[1]92。因此，如何在教材編寫中適切地解決這些問題，尤其在新版課程標準教材的概念內(nèi)容修訂中落實數(shù)學抽象素養(yǎng)的發(fā)展無疑是亟待研究的問題。

(二) 教材中概念界定嚴謹性缺失對于教師課中教學組織與實施的影響

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版)》提出“教師應(yīng)揭示知識的數(shù)學實質(zhì)及其體現(xiàn)的數(shù)學思想，幫助學生厘清相關(guān)知識之間的區(qū)別和聯(lián)系等。數(shù)學知識的教學，要注重知識的‘生長點’與‘延伸點’，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，引導(dǎo)學生感受數(shù)學的整體性”[2]45。課堂觀察及其觀評課研討活動分析顯示，教材中概念界定嚴謹性的缺失對于教師的課堂教學組織與實施帶來以下5個方面直接或間接的影響與困難：制約著教師對概念本質(zhì)屬性的認知、理解及其教學組織；制約著教師引領(lǐng)學生對新舊概念本質(zhì)屬性的聯(lián)系與區(qū)別的認知和探究；制約著教師對于概念形成發(fā)展過程中蘊含的數(shù)學思想方法的認知與揭示；助推了傳統(tǒng)重知識、輕方法，重結(jié)果、輕過程，概念教學蜻蜓點水、不痛不癢，沉溺于題海戰(zhàn)術(shù)的觀念與傳統(tǒng)做法，導(dǎo)致概念建構(gòu)半生不熟、本質(zhì)屬性認知零碎，學生思維負擔減負困難；制約教師對概念教學目標的精準界定和數(shù)學整體觀的建立，制約著教師運用數(shù)學課程標準的理念、目標、要求指導(dǎo)自己的教材分析和教學設(shè)計、組織、反思評價，以致增加了概念教學中數(shù)學核心素養(yǎng)及其所反映的三維目標界定與達成的難度。

五、教材編寫建議與啟示

(一)中小學數(shù)學教材編寫應(yīng)遵循學生的認知發(fā)展規(guī)律和嚴謹與量力相結(jié)合的原則，并力求體現(xiàn)數(shù)學概念的形成與發(fā)展過程

教材是教學的依據(jù)和藍本。中小學數(shù)學教材作為學科數(shù)學的主要載體，一個重要的目標就是要把數(shù)學知識的學術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)。數(shù)學知識在學術(shù)形態(tài)和教育形態(tài)之間進行轉(zhuǎn)換時，既要遵循由易到難、由具體到抽象、由低級到高級等學生認知規(guī)律，還要堅持嚴謹性和量力性相結(jié)合的原則，力求體現(xiàn)數(shù)學概念的形成與發(fā)展過程，將課程標準提出的課程目標和發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的目標轉(zhuǎn)化為實際的教學要求，“編寫出數(shù)學內(nèi)容與數(shù)學學科核心素養(yǎng)融為一體的教材”，以助力師生在背景和過程中主動探究概念所指對象的本質(zhì)屬性、能動建構(gòu)概念、進而理解和掌握概念，發(fā)展抽象素養(yǎng)。否則，不僅增大了教師備課的時間成本、考驗著教師對于數(shù)學對象的本質(zhì)理解和數(shù)學再創(chuàng)造能力，又直接或間接地制約了教師的教材分析、教學設(shè)計的質(zhì)效，進而影響著學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展。

(二)教材編寫中要重視和加強概念界定及遣詞用句的嚴謹性表達，助力學生抽象素養(yǎng)的發(fā)展

數(shù)學概念是反映空間形式和數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式。一個數(shù)學概念的內(nèi)涵和外延分別從質(zhì)和量兩個方面刻畫和規(guī)定了這個概念，每個概念都是其內(nèi)涵與外延的統(tǒng)一體。概念的內(nèi)涵嚴格確定了概念的外延，反之，概念的外延也完全確定了概念的內(nèi)涵[12]。因此，概念之間是彼此互相區(qū)別、界限分明的，不容混淆,更不容互換。這就在客觀上明確要求數(shù)學概念的教材編寫應(yīng)重視和加強對概念界定嚴謹性的研究與分析，并且在數(shù)學教材的概念界定及其遣詞用句中，應(yīng)力求基于學生力所能及基礎(chǔ)上的嚴謹，力求準確、簡潔、避免歧義。這不僅是助力師生對概念和數(shù)學本質(zhì)的理解，助力教師提高概念教學設(shè)計和教學組織的質(zhì)效，而且也是助力學生數(shù)學抽象素養(yǎng)發(fā)展不可或缺的重要保障。