王博 謝軍偉 葛佳昂 張晶

(1.空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西 西安 710051；2.陜西交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公路鐵道學(xué)院，陜西 西安 710018)

得到廣泛應(yīng)用的相控陣存在不能有效控制發(fā)射波束距離指向的問題。2006年，F(xiàn)DA(Frequency Diverse Array)陣列作為一種距離-角度二維相關(guān)波束形成技術(shù)由Antonik等[1]在雷達(dá)會議上首次提出。與相控陣?yán)走_(dá)(Phased Array，PA)通過移相器在陣元間引入固定相位差的電掃描方式不同，F(xiàn)DA陣列通過在陣元間引入一個相比載頻而言大小可忽略的固定頻偏實現(xiàn)了具有更高自由度的時間-距離-角度三維相關(guān)波束指向[2- 6]。雷達(dá)電子戰(zhàn)中，基于FDA陣列的干擾機其輻射信號被敵方預(yù)警探測雷達(dá)接收后，由于FDA陣列方向圖的時間-距離-角度相關(guān)特性，可以在敵方雷達(dá)對我方干擾機測角、測速的過程中實現(xiàn)有效欺騙，從而保護(hù)我方干擾機。

2017年，Abdallla等[7]系統(tǒng)闡述了基于FDA陣列實現(xiàn)干擾抑制的作用機理，指出FDA在多徑干擾抑制、有源干擾抑制等方面具有獨特的優(yōu)勢。許京偉等[8- 10]利用FDA-MIMO發(fā)射-接收空間角頻率的相對關(guān)系進(jìn)行欺騙干擾鑒別，蘭嵐等[11]提出了一種基于FDA-MIMO結(jié)構(gòu)的欺騙干擾抑制方法，都取得了較好效果。2018年，國內(nèi)學(xué)者[3- 5]發(fā)表了多篇綜述性文章，對FDA的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了系統(tǒng)總結(jié)，分析了FDA在射頻隱身雷達(dá)中的應(yīng)用前景。而基于FDA方向圖的“彎曲”特性，形成虛擬輻射源從而實現(xiàn)對敵方探測雷達(dá)的角度欺騙，無疑是實現(xiàn)射頻隱身的重要方法[12]。利用發(fā)射方向圖的彎曲現(xiàn)象，文獻(xiàn)[13]從原理上分析了FDA陣列對振幅法測向?qū)崿F(xiàn)角度欺騙的可能性。在此基礎(chǔ)上，本研究通過定量仿真，分析FDA陣列對測向系統(tǒng)及定位系統(tǒng)的欺騙效果。

1 FDA陣列結(jié)構(gòu)

N陣元的FDA陣列結(jié)構(gòu)[1]如圖1所示。

設(shè)載波頻率為f0，第n個陣元的載頻為

fn=f0+xnΔf

(1)

式中：n=1，2，…，N-1；xn表示編碼系數(shù)，xn=n時即為基本FDA陣列，xn=lg(n+1)時得到對數(shù)FDA陣列(lg-FDA)，xn=sinn時得到正弦FDA陣列(sin-FDA)，xn=1/(n+1)時得到倒數(shù)FDA陣列(reciprocal-FDA)[14]。

窄帶條件下，陣元n的發(fā)射信號為

(2)

式中：n=1，2，…，N-1。

陣元n發(fā)射信號到達(dá)遠(yuǎn)場觀測點(R，θ)的信號形式為

(3)

其中，rn=R-ndsinθ，R為參考陣元到目標(biāo)點的距離，d為陣元間距，c表示光速。

其發(fā)射方向圖可以表示為

(4)

一般的，陣元n與陣元0發(fā)射的信號傳播到遠(yuǎn)場觀測點(R，θ)時所形成的相位差為

Δψ=ψ0-ψn=

(5)

上式第一項為由距離差引起的傳統(tǒng)相控陣的相移量；第二項表明Δψ與距離R及頻偏Δf相關(guān)，這一項是FDA陣列輻射方向圖具有距離相關(guān)性的基礎(chǔ)；由于f0?N·Δf，第三項在運算中經(jīng)?？梢院雎?。

xn=n時，遠(yuǎn)場觀測點(R，θ)處的電場信號為[3，5]

(6)

取其陣列因子AF(t，R，θ)：

(7)

取其相位方向圖：

(8)

2 FDA干擾機對測向系統(tǒng)的欺騙

2.1 基于歐拉公式的FDA陣列因子

基于圖1所示的陣列模型，當(dāng)采用非線性頻控函數(shù)時，無法通過級數(shù)求和得到形如式(7)sinc函數(shù)的陣列因子。因此，本節(jié)考慮通過歐拉公式對式(6)進(jìn)行化簡[15]：

(9)

式中，

(10)

根據(jù)式(9)可得式(11)所示的基于歐拉公式的FDA陣列因子，以及式(12)所示的基于歐拉公式的FDA陣列相位方向圖：

(11)

Φ=

(12)

2.2 FDA陣列對干涉儀測向的角度欺騙

假設(shè)基本的兩天線干涉儀與圖1所示的FDA陣列在X-Y平面內(nèi)的位置關(guān)系如圖2所示。

圖2 FDA陣列與干涉儀的位置關(guān)系

Fig.2 Relationship of position between FDA and the interferometer

遠(yuǎn)場條件下，假設(shè)接收機2的坐標(biāo)為(xG，yG)，則接收機1的坐標(biāo)為(xG+B，yG)。由式(11)-(12)可得干涉儀比相器輸出的相差為

ψ=Φ22-Φ21

(13)

其中，Φ21和Φ22分別表示天線1、2測得的信號相位。

Φ21和Φ22按下式計算：

(14)

其中，

(15)

可得測得的信號到達(dá)角β為

(16)

由信號到達(dá)角可以進(jìn)一步計算出虛擬發(fā)射機在X軸的位置坐標(biāo)：

x=xG-yGtanβ

(17)

式中，yGtanβ為干涉儀計算出的輻射源所在方向與X軸交點(即為虛擬發(fā)射機位置)到干涉儀距離的絕對值。當(dāng)xG>yGtanβ時，交點在X軸正半軸，x1=xG-yGtanβ為整數(shù)，即為虛擬發(fā)射機位置坐標(biāo)；當(dāng)xG

3 FDA干擾機對定位系統(tǒng)的欺騙

當(dāng)我方干擾機掩護(hù)作戰(zhàn)飛機突防時，干擾機的輻射信號不可避免地會被敵方預(yù)警探測雷達(dá)所捕獲，敵方在測定信號來源方向的同時，可利用多個觀測站測得的信號源角度信息，經(jīng)三角定位解得干擾機的位置信息。圖3所示為X-Y平面內(nèi)基于兩個觀測站的測向交叉定位原理圖[16]。

圖3 測向交叉定位原理圖

Fig.3 Schematic diagram of direction finding cross positioning

圖3中觀測站1的坐標(biāo)為(x1，y1)，觀測站2的坐標(biāo)為(x2，y2)，干擾機位于(xt，yt)。觀測站1、2通過振幅法分別測得輻射源電磁波的到達(dá)方向角β1、β2，理想情況下兩條射線的交點即為干擾機所在位置。r1和r2分別表示兩個觀測站到信號源的距離。

根據(jù)圖3中的幾何關(guān)系，可得：

(18)

改寫為矩陣形式：

AX=Z

(19)

干擾機位置的解析解為

X=A-1Z

(20)

將矩陣展開，即可得干擾機的位置坐標(biāo)：

(21)

當(dāng)自衛(wèi)式干擾機采用FDA陣列結(jié)構(gòu)對空輻射信號時，其方向圖的距離-角度相關(guān)特性導(dǎo)致的測角誤差，將使測向交叉定位法測定的交點偏離干擾機真實位置，從而實現(xiàn)對測向交叉定位系統(tǒng)的欺騙。

4 定位精度分析

由式(21)可得虛擬干擾機位置T2的坐標(biāo)：

(22)

FDA干擾機實際位置與虛擬位置的歐式距離為

(23)

為定量確定FDA干擾機對測向交叉定位法交點坐標(biāo)的位置欺騙效果，進(jìn)一步對定位精度進(jìn)行分析。

圖4 FDA干擾機實際位置與虛擬位置的關(guān)系

Fig.4 Relationship between the actual position of the FDA jammer and the virtual position

4.1 定位模糊區(qū)

(24)

其面積近似為[13]：

(25)

4.2 圓概率誤差

由圖5可知，當(dāng)測向定位系統(tǒng)誤差較大時，干擾機的真實位置可能落入誤差分布區(qū)域。由式(25)可知，誤差區(qū)域的面積與兩個觀測站之間的間距及測向系統(tǒng)測得的信號到達(dá)角有關(guān)。上述近似較為粗略，為得到隨機分布的定位交點落在干擾機真實位置附近的概率，考慮基于圓概率誤差(Circular Error Probable，CEP)半徑r0.5對定位誤差做進(jìn)一步的分析。一般可近似認(rèn)為測向誤差服從零均值高斯分布，那么如圖6所示，測向交叉定位交點將在以T2為中心的斜橢圓中隨機散布，實際中常用圓概率誤差半徑r0.5作為近似，CEP半徑表示50%誤差概率時的誤差分布圓半徑。

圖5 測向交叉定位模糊區(qū)

圖6 測向交叉定位圓概率誤差

由式(25)可知：

(26)

對上式進(jìn)行全微分得：

(27)

進(jìn)而有：

(28)

上式方差為

(29)

假設(shè)兩個觀測站的測向誤差都服從零均值的高斯分布，且相互獨立，則其概率密度函數(shù)為

(30)

為計算圓概率誤差半徑r0.5，對上式進(jìn)行數(shù)值積分可近似求得：

(31)

(32)

將式(24)代入式(32)可得：

(33)

5 仿真分析

5.1 FDA陣列對測向系統(tǒng)的欺騙分析

按照圖2所示的FDA陣列與干涉儀在X-Y平面內(nèi)的位置關(guān)系，以FDA陣列參考陣元為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系，采用表1中的仿真參數(shù)，仿真分析FDA陣列對測向系統(tǒng)的欺騙效果。

5.1.1 干涉儀位置對測向欺騙效果的影響

當(dāng)干涉儀Y軸坐標(biāo)yG=20 km時，4種FDA陣列對干涉儀測向的角度欺騙效果的仿真結(jié)果如圖7所示。圖7中橫坐標(biāo)為干涉儀的X軸坐標(biāo)xG，縱坐標(biāo)為根據(jù)干涉儀測向原理得到的虛擬發(fā)射機在X軸的交點坐標(biāo)。

表1 仿真參數(shù)表

當(dāng)干涉儀X軸坐標(biāo)xG=200 km時，4種FDA陣列對干涉儀測向的角度欺騙效果的仿真結(jié)果如圖8所示。圖8中橫坐標(biāo)為干涉儀的Y軸坐標(biāo)yG，縱坐標(biāo)為根據(jù)干涉儀測向原理得到的虛擬發(fā)射機在X軸的交點坐標(biāo)。

圖7-8中兩條橫線為FDA陣列參考陣元1(X軸坐標(biāo)為0)及陣元N(X軸坐標(biāo)為(N-1)d)在X軸的坐標(biāo)，當(dāng)虛擬發(fā)射機在X軸的交點坐標(biāo)落入這個區(qū)域時，無法對干涉儀測向?qū)崿F(xiàn)有效的角度欺騙。

(a)yG=20 km時的欺騙效果

(b)圖(a)的局部放大圖

圖7yG=20 km時不同F(xiàn)DA陣列對測向系統(tǒng)的欺騙效果Fig.7 Deception effect of interferometers based on different FDAs on the direction finding system whenyG=20 km

(a)xG=200 km時的欺騙效果

(b) 圖(a)的局部放大圖

圖8xG=200 km時不同F(xiàn)DA陣列對測向系統(tǒng)的欺騙效果

Fig.8 Deception effect of interferometers based on different FDAs on the direction finding system whenxG=200 km

綜合分析圖7和圖8可知，基本FDA陣列的交點坐標(biāo)曲線最為平滑，角度欺騙效果最佳，但基本FDA陣列方向圖存在距離-角度耦合。采用非線性頻控函數(shù)的FDA陣列中，lg-FDA陣列的虛擬發(fā)射機交點坐標(biāo)隨著干涉儀X軸坐標(biāo)xG的增加而逐漸偏離FDA陣列位置，當(dāng)xG=200 km時，偏移量為190 m；sin-FDA陣列的虛擬發(fā)射機交點坐標(biāo)隨著干涉儀X軸坐標(biāo)xG的增加在FDA陣列附近變化，當(dāng)xG=200 km時，偏移量為100 m。當(dāng)干涉儀X軸坐標(biāo)xG=200 km時，3種FDA陣列的虛擬發(fā)射機交點坐標(biāo)隨著干涉儀Y軸坐標(biāo)yG的增加而逐漸逼近FDA陣列位置，交點偏移量FDA>lg-FDA>sin-FDA>reciprocal-FDA。reciprocal-FDA的偏移量最小，且reciprocal-FDA發(fā)射方向圖的距離維及角度維分辨力較低，實際中價值較低，所以本研究后續(xù)主要對lg-FDA及sin-FDA兩種陣列展開分析。

5.1.2 Δf取值對測向欺騙效果的影響

干涉儀Y軸坐標(biāo)yG=20 km，其余仿真參數(shù)如表1所示時，Δf取值對2種FDA陣列的角度欺騙效果的影響如圖9所示。由圖9可知，在一定范圍內(nèi)，F(xiàn)DA陣列對干涉儀的角度欺騙效果隨著頻偏增量Δf的增大而增強。遠(yuǎn)場條件下，虛擬發(fā)射機在X軸的交點坐標(biāo)逐漸偏離FDA陣列坐標(biāo)位置，可以實現(xiàn)有效的角度欺騙，且lg-FDA陣列的角度欺騙效果優(yōu)于sin-FDA陣列。

5.1.3 陣元間距d對測向欺騙效果的影響

干涉儀Y軸坐標(biāo)yG=20 km、其余仿真參數(shù)如表1所示時，陣元間距d對2種FDA陣列的角度欺騙效果的影響如圖10所示。由基準(zhǔn)載頻f0=1 GHz 可知波長λ=0.3 m。圖10(b)中d=0.45λ，陣元N的X軸坐標(biāo)為4.05；圖10(c)中d=0.9λ，陣元N的X軸坐標(biāo)為8.1；圖10(d)中d=1.9λ，陣元N的X軸坐標(biāo)為17.1。由圖10中xG=200 km時FDA陣列虛擬發(fā)射機的交點坐標(biāo)可知，在一定范圍內(nèi)交點偏移量隨陣元間距的增大而增加。

(a)Δf=1 kHz

(b)Δf=2.5 kHz

(c)Δf=3 kHz

(d)Δf=5 kHz

(a)d=0.1 m

(b)d=0.45λ=0.135 m

(c)d=0.9λ=0.27 m

(d)d=1.9λ=0.57 m

Fig.10 Deception effect of the value ofdon the direction finding system

5.2 FDA干擾機對定位系統(tǒng)的欺騙分析

基于上述FDA陣列對振幅法測向的欺騙效果仿真，本節(jié)以lg-FDA干擾機為例分析其對測向交叉定位系統(tǒng)的定位欺騙性能。建立如圖6所示的X-Y坐標(biāo)系，其中觀測站1的坐標(biāo)為(0 km，0 km)，觀測站2的坐標(biāo)為(5 km，0 km)，F(xiàn)DA干擾機的縱坐標(biāo)為5 km，其余參數(shù)如表1所示。

5.2.1 干擾機位置、測向精度、頻偏增量對定位系統(tǒng)的欺騙影響

圖11為lg-FDA陣列在觀測站測向精度分別為1°、5°、10°時的圓概率誤差半徑，圖中D值代表FDA干擾機真實位置與虛擬位置的距離。xt=200 km時，計算得到的交叉定位模糊區(qū)面積如表2所示。

綜合分析圖11及表2可知，定位模糊區(qū)會隨著干擾機距離的增加、測向精度誤差的增大以及頻偏增量的增大在一定范圍內(nèi)而增大。當(dāng)測角誤差較大時，遠(yuǎn)場條件下，干擾機真實位置會落入圓概率誤差半徑r0.5范圍內(nèi)。

(a)Δf=1 kHz

(b)Δf=3 kHz

(c)Δf=4.5 kHz

Fig.11 Deception effect of Δf，σβ，yton direction finding system

表2 不同干擾機位置、測向精度、頻偏增量下的模糊區(qū)面積S

Table 2 Area of fuzzy areaSunder different jammers position，direction finding accuracy，and frequency offset

yt/km精度誤差σβ/(°)定位模糊區(qū)面積S/km2Δf=1kHzΔf=3kHzΔf=4.5kHz311.921.931.6459.619.638.191019.2319.2716.38513.273.293.1516.4316.4415.511032.8532.8831.01

5.2.2 FDA陣元間距d、載頻f0對CEP的影響

本例中取xt=200 km、yt=5 km、Δf=4.5 kHz，其余參數(shù)如表1所示。圖12所示為FDA陣列陣元間距d對測向交叉定位系統(tǒng)的圓概率誤差半徑CEP的影響；表3為d的取值變化時，定位模糊區(qū)面積S；圖13所示為FDA陣列載頻f0對測向交叉定位系統(tǒng)的圓概率誤差半徑CEP的影響；表4為f0的取值變化時，定位模糊區(qū)面積S。

綜合分析圖12-13及表3-4可知，遠(yuǎn)場條件下，當(dāng)其他參數(shù)固定時，隨著陣元間距d及載頻f0的增加，定位模糊區(qū)面積S及CEP取值變動較??；當(dāng)陣元間距d及載頻f0固定時，測向精度誤差對CEP的影響更為主要，測向精度誤差較大時，干擾機真實位置將落入圓概率誤差半徑r0.5范圍內(nèi)。

圖12 FDA陣元間距d對定位系統(tǒng)的欺騙影響

Fig.12 Deception effect of the FDA array spacingdon direction finding system

表3 不同測向精度、不同陣元間距d取值下的S值

Table 3Svalue under different direction finding accuracy and different array element spacingd

測向精度/(°)定位模糊區(qū)面積S/km2d=0.11md=0.12md=0.13md=0.14md=0.15m13.363.303.153.073.10516.5816.5015.7515.3315.511033.1632.9931.5030.6631.01

圖13 FDA載頻f0對定位系統(tǒng)的欺騙影響

Fig.13 Deception effect of the FDA carrier frequencyf0on direction finding system

表4 不同測向精度、不同載頻f0取值下的S值

Table 4Svalue with different direction finding accuracy and different carrier frequencyf0

測向精度/(°)定位模糊區(qū)面積S/km2f0=1.0GHzf0=1.4GHzf0=1.8GHzf0=2.2GHzf0=2.6GHzf0=3.0GHz12.943.123.063.423.373.32514.7215.6015.3017.0816.8416.621029.4431.2030.6034.1533.6733.25

5.2.3 FDA干擾機陣元不一致性對欺騙的影響

由圖14和圖16可知，當(dāng)考慮陣元不一致性時，遠(yuǎn)場條件下的偏移量與圖8相比增大，但采用4種不同頻控函數(shù)的FDA陣列其虛擬發(fā)射機交點將更多地落入FDA陣列范圍。由圖15和圖17可知，遠(yuǎn)場條件下，當(dāng)其他參數(shù)固定時，隨著陣列載頻f0的增加，CEP取值變動較小。當(dāng)載頻f0固定時，測向精度誤差對CEP的影響更為主要，測向精度誤差較大時，干擾機真實位置將更多地落入圓概率誤差半徑r0.5范圍內(nèi)。

圖14 陣元位置誤差下干涉儀位置對測向系統(tǒng)的欺騙效果

Fig.14 Deception effect of interferometer position on direction finding system under array element position error

圖15 陣元位置誤差下FDA載頻f0對定位系統(tǒng)的欺騙影響

Fig.15 Deception effect of the FDA carrier frequencyf0on direction finding system under array element position error

圖16 陣元相位誤差下干涉儀位置對測向系統(tǒng)的欺騙效果

Fig.16 Deception effect of interferometer position on direction finding system under phase error

圖17 陣元相位誤差下FDA載頻f0對定位系統(tǒng)的欺騙影響

Fig.17 Deception effect of the FDA carrier frequencyf0on direction finding system under phase error

6 結(jié)論

FDA雷達(dá)能夠產(chǎn)生距離-角度-時間相關(guān)波束，在雷達(dá)目標(biāo)的距離-方位角聯(lián)合估計、射頻隱身以及前視探測與成像等領(lǐng)域都有廣闊的應(yīng)用前景。文中基于FDA陣列波束指向的距離-角度相關(guān)特性，在分析FDA陣列對相位法測角系統(tǒng)欺騙效果的基礎(chǔ)上，仿真分析了FDA干擾機對測向交叉定位系統(tǒng)的欺騙效果。由仿真結(jié)果可知，測向精度誤差對CEP具有較大的影響；誤差精度較小時，遠(yuǎn)場條件下，F(xiàn)DA干擾機對測向及定位系統(tǒng)有著較好的欺騙效果。