汪磊 楊慧中 陶洪峰 Wojciech Paszke

(1.江南大學(xué) 教育部輕工過程先進(jìn)控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無錫，214122；2.Institute of Control and Computation Engineering，University of Zielona Gora，ul.Szafrana 2，65- 516 Zielona Gora，Poland)

迭代學(xué)習(xí)控制(Iterative Learning Control，ILC)適用于有限時(shí)間重復(fù)運(yùn)行的控制過程，它通過反復(fù)學(xué)習(xí)，利用系統(tǒng)以往的控制經(jīng)驗(yàn)，不斷修正當(dāng)前的輸入信號，實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)對期望軌跡的完全跟蹤[1- 3]。迭代學(xué)習(xí)控制過程能夠同時(shí)改善系統(tǒng)在時(shí)間和周期兩個(gè)維度上的控制性能，顯示出巨大的優(yōu)越性，因此受到了學(xué)術(shù)界和工程界的廣泛關(guān)注[4- 5]。

以往對于迭代學(xué)習(xí)控制技術(shù)的研究大多著眼于被控系統(tǒng)在時(shí)域的收斂性[6- 7]。有關(guān)頻域范圍的迭代學(xué)習(xí)控制研究成果也比較常見，值得注意的是現(xiàn)有的迭代學(xué)習(xí)控制方法都是在全頻范圍內(nèi)討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可保證系統(tǒng)在全頻范圍內(nèi)穩(wěn)定，但這樣設(shè)計(jì)其實(shí)具有較大的保守性。因?yàn)閷?shí)際系統(tǒng)往往只需要運(yùn)行在特定工作頻率范圍，只需保證系統(tǒng)在有限工作頻率范圍內(nèi)的穩(wěn)定性即可。隨著廣義KYP引理的應(yīng)用，迭代學(xué)習(xí)控制問題深入到有限頻域范圍。文獻(xiàn)[8]將線性重復(fù)過程在有限頻域的有界輸入有界輸出性能轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality，LMI)問題，并推廣到連續(xù)迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)中，但并未同時(shí)考慮系統(tǒng)的二維特性；文獻(xiàn)[9]基于KYP引理，探討了線性離散系統(tǒng)在有限頻域的魯棒收斂性；文獻(xiàn)[10]則在有限頻域范圍內(nèi)設(shè)計(jì)出前饋-反饋迭代學(xué)習(xí)控制策略，通過廣義KYP引理和LMI進(jìn)一步分析系統(tǒng)沿時(shí)間方向的穩(wěn)定性及沿迭代方向的收斂性；文獻(xiàn)[11]在有限頻域中利用KYP引理和LMI分析出了迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)單調(diào)收斂及控制器存在的必要條件。然而，上述研究成果關(guān)注于迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)在迭代批次方向的魯棒收斂性，對控制系統(tǒng)在時(shí)間方向上的性能關(guān)注較少，沒有展現(xiàn)出控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特征。

鑒于此，本研究將迭代學(xué)習(xí)控制過程的閉環(huán)極點(diǎn)置于指定區(qū)域內(nèi)，基于有限頻域研究系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)方法，在迭代學(xué)習(xí)控制作用下，先在時(shí)域中將線性重復(fù)過程轉(zhuǎn)化為二維(2D)連續(xù)Roesser模型；再利用KYP引理，將閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤性能分析和區(qū)域極點(diǎn)約束問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的LMI問題，進(jìn)而獲得系統(tǒng)二維特性和動(dòng)態(tài)性能的充分條件；最后，通過實(shí)例仿真對文中所提方法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。

文中，對于矩陣X，用XT表示其轉(zhuǎn)置，X>0和X<0分別表示矩陣X是正定和負(fù)定；I和0分別代表適當(dāng)維數(shù)的單位陣和零矩陣；符號“*”代表對稱位置上的元素的轉(zhuǎn)置；sym(A)=A+AT表示方陣A的Hermitian部分；Φ?P表示Kronecker乘積；diag{?}表示對角矩陣。

1 問題描述

考慮式(1)所示的線性連續(xù)重復(fù)過程

(1)

式中：k=0，1，2，…，表示迭代次數(shù)；t∈[0，T]為系統(tǒng)的連續(xù)時(shí)間變量；xk(t)∈Rn、uk(t)∈Rm和yk(t)∈Rp分別是系統(tǒng)的狀態(tài)、輸入和輸出；邊界條件xk(0)=x0是系統(tǒng)第k次迭代的初始條件；A、B、C和D是相應(yīng)的適當(dāng)維數(shù)的系統(tǒng)矩陣。

在式(1)所示的系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)過程中，令其期望軌跡為yd(t)，同時(shí)定義跟蹤誤差：

ek(t)=yd(t)-yk(t)

(2)

其中，期望軌跡滿足以下條件：

yd(0)=yk(0)=Cxk(0)。

本研究的目標(biāo)是設(shè)計(jì)一種迭代學(xué)習(xí)控制律，使得系統(tǒng)的實(shí)際輸出逐漸跟蹤上期望軌跡yd(t)，同時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)位于復(fù)平面的指定區(qū)域，保證系統(tǒng)在時(shí)間方向上的性能。

對于式(1)所示系統(tǒng)，考慮如下迭代學(xué)習(xí)控制律：

(3)

式中：uk(t)為本批次的控制輸入變量；uk-1(t)為前一批次的控制輸入量；Δuk(t)為對控制進(jìn)行更新的修正量。同時(shí)定義

ηk(t)=xk(t)-xk-1(t)

(4)

由式(1)所示系統(tǒng)的初始狀態(tài)可知ηk(0)=0。利用式(1)-(3)可得：

Aηk(t)+BΔuk(t)

(5)

ek(t)=ek-1(t)-[yk(t)-yk-1(t)]=

ek-1(t)-C[xk(t)-xk-1(t)]-

D[uk(t)-uk-1(t)]=

ek-1(t)-Cηk(t)-DΔuk(t)

(6)

設(shè)計(jì)迭代學(xué)習(xí)控制更新律如式(7)所示：

Δuk(t)=K1ηk(t)+K2ek-1(t)

(7)

從而可得如下的2D閉環(huán)系統(tǒng)：

(8)

其中：A1=A+BK1，B1=BK2，C1=-C-DK1，D1=I-DK2。

2 穩(wěn)定性分析

引理1[12]假設(shè)W、L和V為給定的適當(dāng)維數(shù)的矩陣，且W和V為正定矩陣，則LTVL-W<0等價(jià)于

(9)

或者

(10)

引理2[13]給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣X、Y，以及適當(dāng)維數(shù)的對稱矩陣Z，則對任意滿足ΔTΔ≤I的Δ，不等式

Z+XΔY+YTΔTXT<0

(11)

成立的充要條件是存在ε>0，使得

Z+εXXT+ε-1YTY<0

(12)

引理3[14](投影引理) 設(shè)、Λ、Σ為適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣，且=T，存在矩陣W使不等式

(13)

成立的充要條件為當(dāng)且僅當(dāng)以下兩個(gè)不等式成立

(14)

引理4[15]式(8)所描述的迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為以下條件同時(shí)成立：

(i)ρ(D1)<1，其模值嚴(yán)格小于1，保證閉環(huán)系統(tǒng)迭代批次方向上的漸近穩(wěn)定性；

(ii) 矩陣A1的所有特征值均位于復(fù)平面的左半平面，保證閉環(huán)系統(tǒng)在時(shí)間方向上的穩(wěn)定；

(iii) 傳遞函數(shù)矩陣G(s)=C1(sI-A1)-1·B1+D1，s=jω，?ω≥0，其模值嚴(yán)格小于1，同時(shí)保證閉環(huán)系統(tǒng)在時(shí)間和批次上的二維性能，使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

引理5[16]考慮到系統(tǒng)(式(8))的傳遞函數(shù)G(s)和頻率響應(yīng)矩陣G(jω)=C1(jωI-A1)-1B1+D1，若存在對稱矩陣P以及適當(dāng)維數(shù)的正定矩陣Q，滿足下式

(15)

那么下列頻域不等式也成立

(16)

其中，Π為給定的實(shí)對稱矩陣，Ω表示頻率范圍，

Ψ=

此外，引理4的條件(iii)可改寫為以下不等式：

|G(jω)|<γ，?ω∈Ω，γ∈(0，1]

(17)

|Ge(jω)|<ε1，?ω∈Ω

(18)

2.1 標(biāo)稱系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制

(19)

(20)

其中：

則進(jìn)一步可得迭代學(xué)習(xí)控制更新律(式(7))的增益矩陣為

(21)

此時(shí)在低、中頻段范圍內(nèi)，迭代學(xué)習(xí)控制律(式(3))作用下的閉環(huán)系統(tǒng)(式(8))穩(wěn)定，同時(shí)系統(tǒng)的跟蹤誤差單調(diào)收斂，且系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)位于圓心(-q，0)、半徑為r的圓域內(nèi)。

證明若不等式(20)成立，則下列不等式也成立

(22)

(23)

(24)

根據(jù)引理3的結(jié)論，存在

使得

(Σ⊥)T

(25)

(Λ⊥)T

(26)

由式(25)可得

(Σ⊥)TΣ⊥=

(27)

若不等式(27)成立，當(dāng)且僅當(dāng)對角線上元素滿足

(28)

由式(20)成立可得，其左側(cè)矩陣對角線上的元素

(29)

由式(26)可得

(Λ⊥)T

(30)

即存在對稱矩陣P以及適當(dāng)維數(shù)的矩陣Q>0，滿足以下不等式

(31)

根據(jù)引理5，式(31)可進(jìn)一步改寫為

(32)

即不等式(18)成立。

另外，根據(jù)參考文獻(xiàn)[17]，若矩陣A1的所有特征值都位于中心(-q，0)、半徑r的圓域內(nèi)，則：

(33)

(34)

(35)

其中：

則迭代學(xué)習(xí)控制更新律(式(7))的增益矩陣為

(36)

此時(shí)在高頻段范圍內(nèi)，迭代學(xué)習(xí)控制律(式(3))作用下的閉環(huán)系統(tǒng)(式(8))穩(wěn)定，同時(shí)系統(tǒng)的跟蹤誤差單調(diào)收斂，且系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)位于圓心(-q，0)、半徑為r的圓域內(nèi)。

則(Σ⊥)TΣ⊥=

(37)

其余證明過程同定理1。

2.2 不確定性系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制

在式(8)所示模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮如下不確定性線性連續(xù)重復(fù)過程：

(38)

其中，系統(tǒng)的不確定性結(jié)構(gòu)為

(39)

式中：E1、E2、F1和F2是已知的常值矩陣，不確定性擾動(dòng)系數(shù)δ滿足

δTδ≤I

(40)

同樣采用迭代學(xué)習(xí)控制器(式(3))及其更新律(式(7))，得到2D閉環(huán)模型為

(41)

其中：A2=A+ΔA+(B+ΔB)K1，B2=(B+

ΔB)K2，C2=-(C+ΔC)-(D+ΔD)K1，

D2=I-(D+ΔD)K2。

(42)

(43)

則在低、中頻段范圍內(nèi)2D閉環(huán)系統(tǒng)(式(41))穩(wěn)定，同時(shí)系統(tǒng)的跟蹤誤差也單調(diào)收斂，并且系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)都在圓心(-q，0)、半徑r的圓域內(nèi)，此時(shí)迭代學(xué)習(xí)控制器更新律(式(7))的增益矩陣同樣為式(21)形式。

證明根據(jù)由定理1的結(jié)論，考慮系統(tǒng)的不確定性后，Η12就變?yōu)?/p>

(44)

由引理2可知，式(44)成立當(dāng)且僅當(dāng)存在標(biāo)量λ1>0，使得以下不等式成立

(45)

運(yùn)用引理1可得

(46)

(47)

(48)

證明在推論1的基礎(chǔ)上考慮系統(tǒng)的不確性，證明過程同定理2。

3 仿真結(jié)果

為驗(yàn)證文中算法的有效性，考慮典型的跟蹤伺服系統(tǒng)，執(zhí)行機(jī)構(gòu)為單位質(zhì)量塊-彈簧-阻尼器組成的二階機(jī)械位移系統(tǒng)[19]，式(1)中狀態(tài)空間模型參數(shù)為

3.1標(biāo)稱系統(tǒng)的仿真

控制系統(tǒng)低頻、中頻、高頻的閉環(huán)極點(diǎn)分別是{-3.557 5±j2.982 8}、{-4.343 7±j2.450 7}、{-3.621 1±j2.949 7}，都在圓心、半徑r=8的圓域內(nèi)。仿真結(jié)果如圖1-3所示。由圖1-3可見，迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)在各頻段都保持穩(wěn)定。

3.2 不確定性模型的仿真

圖1 標(biāo)稱系統(tǒng)頻域傳遞函數(shù)在低頻段的幅值特性曲線

Fig.1 AmplitudE-versus-frequency curve of the frequency domain transfer function of the nominal system over lowfrequency range

圖2 標(biāo)稱系統(tǒng)頻域傳遞函數(shù)在中頻段的幅值特性

Fig.2 AmplitudE-versus-frequency curve of the frequency domain transfer function of the nominal system over middle frequency range

圖3 標(biāo)稱系統(tǒng)頻域傳遞函數(shù)在高頻段的幅值特性曲線

Fig.3 AmplitudE-versus-frequency curve of the frequency domain transfer function of the nominal system over high frequency range

當(dāng)系統(tǒng)含有不確定性參數(shù)時(shí)，控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)分布如圖4-6所示，由圖4-6可見系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)都在指定的圓域內(nèi)。圖7-9為不確定性系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)G(jω)的幅值特性，G(jω)的模值嚴(yán)格小于1，則由引理4可知，不確定性系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)在時(shí)間軸方向上穩(wěn)定性。

圖4 不確定性系統(tǒng)在低頻段的閉環(huán)極點(diǎn)分布圖

Fig.4 Closed-loop pole distribution plot for the uncertain system over low frequency range

圖5 不確定性系統(tǒng)在中頻段的閉環(huán)極點(diǎn)分布圖

Fig.5 Closed-loop pole distribution plot for the uncertain system over middle frequency range

圖6 不確定性系統(tǒng)在高頻段的閉環(huán)極點(diǎn)分布圖

Fig.6 Closed-loop pole distribution plot for the uncertain system over high frequency range

圖7 不確定性系統(tǒng)頻域傳遞函數(shù)在低頻段的幅值特性曲線

Fig.7 AmplitudE-versus-frequency curve of the frequency domain transfer function of the uncertain system over low frequency range

圖8 不確定性系統(tǒng)頻域傳遞函數(shù)在中頻段的幅值特性曲線

Fig.8 AmplitudE-versus-frequency curve of the frequency domain transfer function of the uncertain system over middle frequency range

圖9 不確定性系統(tǒng)頻域傳遞函數(shù)在高頻段的幅值特性曲線

Fig.9 AmplitudE-versus-frequency curve of the frequency domain transfer function of the uncertain system over high frequency range

4 結(jié)語

文中研究了有限頻域范圍線性連續(xù)重復(fù)過程在區(qū)域極點(diǎn)約束下的迭代學(xué)習(xí)控制器設(shè)計(jì)方案。首先，結(jié)合2D系統(tǒng)理論，在時(shí)域中建立迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)的2D連續(xù)Roesser模型；然后利用KYP引理，將迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)在時(shí)間方向和迭代批次方向的性能分析和區(qū)域極點(diǎn)約束問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線性矩陣不等式問題，進(jìn)而給出控制器存在的充分條件及其增益矩陣；最后，通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了文中所提方法的有效性。